《曲線運動》之難點巧學(xué)

李恒林

一、巧用“兩邊夾”確定物體的曲線運動情況

曲線運動是變速運動，從運動學(xué)的角度可以確定物體加速度與速度、軌跡之間的關(guān)系，也可以從動力學(xué)的角度確定合外力F與速度、軌跡之間的關(guān)系.

物體做曲線運動的軌跡不外乎以下三種情況：物體的加速度a與其速度υ之間的夾角為銳角、直角或鈍角.所謂“兩邊夾”就是加速度（或合外力）與速度把軌跡夾在中間，即：物體做曲線運動的軌跡總在a與υ兩方向的夾角中，且和υ的方向相切，向加速度一側(cè)彎曲.如圖1所示中的三種情況.

例1 一質(zhì)點在某恒力F作用下做曲線運動，圖2中的曲線AB是該質(zhì)點運動軌跡的一段，質(zhì)點經(jīng)過A、B兩點時的速率分別為υA、υB.

（1）用作圖法找出該恒力方向的可能范圍.

（2）該恒力的方向能否在過A點或B點的切線上？

（3）該質(zhì)點從4點到B點的過程中其速度大小如何變化？

（4）若速率有變化，且υA=υB，則速率最大或最小時在什么位置？

解析（1）過A、B兩點分別作曲線的切線①和③、法線②和④，如圖3所示，從4點看，恒力F應(yīng)在①線的右側(cè)；從B點看F應(yīng)在③線的左側(cè)；因恒力的方向是不變的，故應(yīng)同時滿足上述兩條件.若平移③線過A點，則①、③兩線之間箭頭所指的區(qū)域即為F在A點的方向可能的范圍.

（2）若F在①線上，則它與υA在同一直線上，由于F為恒力，故質(zhì)點不可能再做曲線運動，這說明F不可能在①線上.若F在③線上，則在A點時υA在垂直于F的方向上有分量，而到B點時垂直于③線的運動分量沒有了，這與該方向上沒有F分量相矛盾，故F不可能在③線上.

（3）由于F在A點時與υA夾角大于90。，而在B點時與υB夾角小于90。，故質(zhì)點的速率應(yīng)該是先減小后增大.

（4）由于已經(jīng)判定速率為先減小后增大，且υA=υB，則運動過程中速率有最小值，且發(fā)生在F與υ垂直的位置.

二、效果法——運動的合成與分解的法寶

力的分解如果不考慮該力產(chǎn)生的效果，對求解往往影響不大，但運動的分解如果不考慮實際效果，就有可能得出錯誤的結(jié)論.反之，若根據(jù)運動效果進(jìn)行分解，會有意想不到的收獲.下面以一個曲線運動中常見的題型——“繩連物”模型為例進(jìn)行說明，

例2如圖4所示，用繩牽引小船靠岸，收繩的速度為υ1，在繩子與水平方向夾角為α的時刻，船的速度υ有多大？

解析先用“微元法”解答.小船在

極短時間At內(nèi)從A點移到C位移為△s，如圖5所示，由于△t很小，因此繩子轉(zhuǎn)過的角度△β很小，由數(shù)學(xué)知識可認(rèn)為△s2⊥OA，△s2⊥OC，所以有△s=△s1+△s2，△s2為物體垂直繩方向的位移，△s.為沿繩方向的位移.再由速度的定義，當(dāng)△t很小時，υ=△s/△t=△s1/△t+△s2/△t，所以υ=υ1+υ2，即船的速度分解為沿繩方向的速度υ1和垂直于繩方向的速度υ2.

用“效果法”解答.船的速度υ的方向就是合速度的方向，這個速度產(chǎn)生了兩個運動效果：（1）假如繩與水平方向夾角α不變，只是在拉繩，小船將沿繩收縮方向以υ1速度運動，（2）假如繩長AO不變，只是α在變，小船將以O(shè)為圓心、OA長為半徑做圓周運動，速度υ2垂直于OA而α、OA均改變時，即小船向右運動時，υ1、υ2就可以看成是它的兩個分運動，矢量圖如圖6所示，從圖中易知υ = υ1/cos α

比較兩種方法可知，效果法簡便易行，又可幫助同學(xué)們理解網(wǎng)周運動知識，同時也讓學(xué)生懂得不能將繩的速度進(jìn)行正交分解.

三、妙用平拋運動中的“二級結(jié)論”

解決平拋及類平拋運動問題，重在把握水平方向的勻速運動和豎直方向初速度為零的勻加速直線運動的獨立性、等時性、等效性，充分利用矢量三角形、勾股定理、三角函數(shù)等知識解答.特別提醒：①強調(diào)落點的問題必須抓住兩個分位移之間的關(guān)系.②強調(diào)末速度的“大小”或“方向”（特別是“方向”）的問題必須抓住兩個分速度之間的關(guān)系.

另外，記住以下三個“二級結(jié)論”（也可稱作定理）會讓我們在今后解決平拋及類平拋運動問題中收到意想不到的效果.

結(jié)論一：做平拋（或類平拋）運動的物體在任一時刻任一位置處，設(shè)其末速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為β，則tanθ=2tanβ.

結(jié)論二：做平拋（或類平拋）運動的物體任意時刻瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖7中A點和B點.

結(jié)論三：平拋運動的物體經(jīng)過時間t后，位移s與水平方向的夾角為β，則此時的速度與初速度的關(guān)系為υ=

例3如圖8所示，與水平面的夾角為θ的直角三角形木塊固定在地面上，有一質(zhì)點以初速度υ。從三角形木塊的頂點上水平拋出.試求質(zhì)點距斜面的最遠(yuǎn)距離.

解析 當(dāng)質(zhì)點

做平拋運動的末速度方向平行于斜面時，質(zhì)點距斜面的距離最遠(yuǎn).此時末速度方向與初速度方向成θ角，如圖9所示.

A為末速度的反向延長線與水平位移的交點，AB即為所求的最遠(yuǎn)距離.根據(jù)平拋運動規(guī)律有

由平拋運動的“二級結(jié)論”可知：OA=

據(jù)圖中幾何關(guān)系可得：AB =AOsin θ

得：AB=

即為質(zhì)點距斜面的最遠(yuǎn)距離.

例4一質(zhì)量為m的小物體從傾角為30。的斜面頂點A水平拋出，落在斜面上碗內(nèi)壁上做圓周運動的小球，其軌道平面為水平面，網(wǎng)心在軌道網(wǎng)平面上，而不是在球心.

②向心力不是與重力、彈力、摩擦力等并列的“性質(zhì)力”，而是據(jù)效果命名的“效果力”，故在分析做圓周運動的質(zhì)點受力時，切不可在性質(zhì)力上再添加一個向心力.

③坐標(biāo)系的建立：應(yīng)用牛頓第二定律解答圓周運動問題時，常用正交分解法，其坐標(biāo)原點是做圓周運動的物體（視為質(zhì)點）所在的位置，相互垂直的兩個坐標(biāo)軸中，其中一個坐標(biāo)軸的方向一定沿半徑指向圓心.

六、現(xiàn)代科技和社會熱點問題——STS問題

這類試題往往利用物理新模型將教材中難度不大、要求不高，但屬重點內(nèi)容的基礎(chǔ)知識及與其相關(guān)的例題、習(xí)題加以有效拼接，演變成各種立意新穎、設(shè)計科學(xué)的題目，從更高層次上考查學(xué)生對所學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度和遷移能力、綜合能力、創(chuàng)新能力.這類題具有“高起點、低落點”的特點，起點高是指科技成果新，題型新穎、獨特，為題海所無法包容；落點低是指完成這些題目所需的基礎(chǔ)知識不超綱.

例6 從空間同一點O，同時向各個方向以相同的速率拋出許多小球，不計空氣阻力，試證明在這些球都未落地之前，它們在任一時刻的位置可構(gòu)成一個球面.

解析 假設(shè)在O點另有一個小球A，當(dāng)所有小球被拋出的那一瞬間，讓O點處的這個假設(shè)小球做自由落體運動.

因為做拋體運動的所有小球與假設(shè)做自由落體運動的小球A的加速度都相等（都等于重力加速度），所以，做拋體運動的各小球相對于A球都做勻速直線運動，其位移（注意：是相對于做自由落體運動的小球A的位移）的大小都是.s= vot（v0為各小球拋出時的初速率，t為小球運動的時間），也就是說，在同一時刻，各小球與A的距離都相等，因各小球在同一時刻在空中的位置可構(gòu)成一個球面，這個球面的半徑為R= vot.可見，不同時刻，這些小球的位置構(gòu)成不同球面，當(dāng)然，這些球面的球心就是假設(shè)做自由落體運動的小球A.

這可解釋節(jié)日的夜晚燃放的煙花在空中為什么是球形的.

例7 早在19世紀(jì)，匈牙利物理學(xué)家厄缶就明確指出：“沿水平地面向東運動的物體，其重量，即：列車的視重或列車對水平軌道的壓力一定要減輕.”后來，人們常把這類物理現(xiàn)象稱之為“厄缶效應(yīng)”，

我們設(shè)想，在地球赤道附近的地平線上，有一列車質(zhì)量是m，正在以速度v沿水平軌道向東勻速行駛.已知地球的半徑R及地球自轉(zhuǎn)周期T.今天我們像厄缶一樣，如果僅僅考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，火車隨地球做線速度為

的圓周運動時，火車對軌道的壓力為FN；在此基礎(chǔ)上，又考慮到這列火車相對地面附加了一個線速度更快的勻速圓周運動，并設(shè)此時火車對軌道的壓力為F'N，那么，單純地由于該火車向東行駛而引起火車對軌道壓力減輕的數(shù)量FN一F'N為（

）

解析把火車看作一個質(zhì)點在向東繞地心做勻速圓周運動，向心力由地球?qū)疖嚨囊引和地面對火車支持力的合力提供，根據(jù)牛頓第二定律得