引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的兩個(gè)重要數(shù)學(xué)思想—“數(shù)形結(jié)合思想”和“分類討論思想”

廣東省中山市民眾鎮(zhèn)浪網(wǎng)中學(xué) 張愛銀

舊版的人教版教材《一次函數(shù)》這章內(nèi)容是安排在八年級(jí)上冊(cè)的，八年級(jí)下冊(cè)都學(xué)習(xí)《反比例函數(shù)》了，最新的人教版教材把《一次函數(shù)》這章內(nèi)容放到了八年級(jí)下冊(cè)，而把《反比例函數(shù)》這章內(nèi)容放在九年級(jí)的教材。往屆的學(xué)生《一次函數(shù)》學(xué)得怎么樣，我都已經(jīng)沒有什么印象了，今年我任教的八年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生，雖然他們考出來的成績都還不錯(cuò)，比我們學(xué)校同年級(jí)其他班要好得多，但我感覺他們學(xué)習(xí)《一次函數(shù)》這章還是比較吃力的。不但我有這種感覺，教同年級(jí)其他班的數(shù)學(xué)老師也有同感。可能是第一次接觸函數(shù)，而且比較抽象，所以學(xué)生覺得難以理解。由于學(xué)生在學(xué)這章的過程中遇到比較多的問題，所以，我花了更多的時(shí)間和精力去研究教材和教參，翻閱課外參考書，還在網(wǎng)上買了《數(shù)學(xué)教學(xué)方法思考與探究》和《中學(xué)經(jīng)典教學(xué)方法》兩本書來閱讀和學(xué)習(xí)，從這兩本書里也學(xué)到了一些很實(shí)用的教學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。以下是我在處理《一次函數(shù)》這一章內(nèi)容的教學(xué)過程中總結(jié)出來的一些經(jīng)驗(yàn)和粗淺看法。

一、引領(lǐng)學(xué)生用“數(shù)形結(jié)合思想”來學(xué)習(xí)函數(shù)

數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想的方法應(yīng)用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助于形的幾何直觀來闡述數(shù)之間的某種關(guān)系。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”和“以數(shù)定形”。

在用數(shù)形結(jié)合思想解數(shù)學(xué)問題時(shí)，關(guān)鍵在于數(shù)與形之間的互相轉(zhuǎn)換，同時(shí)還要對(duì)一些常見的數(shù)形結(jié)合的形式加以記憶，才能做到數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合就是把數(shù)學(xué)關(guān)系的精確刻劃（代數(shù)關(guān)系）與幾何圖形的直觀形象有機(jī)地結(jié)合起來，從而充分暴露問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題來解決。

在《一次函數(shù)》這一章知識(shí)里可以讓學(xué)生通過“形”的直觀來學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)函數(shù)的感念、性質(zhì)、值域、自變量的取值范圍等。在學(xué)習(xí)過程中，數(shù)形結(jié)合的主要思維方法是：用一次函數(shù)的圖象解決有關(guān)問題。數(shù)形結(jié)合的主要題型為：研究一次函數(shù)圖象的形狀、性質(zhì)、它們之間的位置關(guān)系等；通過一次函數(shù)的圖象寫出方程（或方程組）的解，不等式的解集等。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想能使問題簡單化、直觀化，能讓學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和邏輯思維能力有一定的提高。下面我就舉幾個(gè)簡單的例子。

（一）用數(shù)形結(jié)合的思想來研究一次函數(shù)圖象的形狀、性質(zhì)、它們之間的位置關(guān)系等

新人教版教材P91例2畫出函數(shù)y=-6x與y=-6x+5的圖象。在這個(gè)例題的教學(xué)過程中，除了讓學(xué)生動(dòng)手畫出函數(shù)圖象之外，可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖象得出很多結(jié)論。它們的形狀：都是直線，但函數(shù)y=-6x的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，而函數(shù)y=-6x+5的圖象與y軸交于點(diǎn)（0,5）。它們的位置關(guān)系：平行。從而得到結(jié)論比例系數(shù)相同的一次函數(shù)的圖象都是平行的。解析式有什么不同。 是正比例函數(shù)，y=-6x+5是普通的一次函數(shù)，即b≠0。它們之間可以通過變換得到。一次函數(shù)y=-6x+5的圖象可以看作由y=-6x的圖象向上平移5個(gè)單位長度得到。

（二）用數(shù)形結(jié)合的思想通過一次函數(shù)的圖象寫出方程（或方程組）的解，不等式的解集等

在《一次函數(shù)》這章知識(shí)內(nèi)容里，還有一個(gè)目標(biāo)就是認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程（組）、一元一次不等式之間的聯(lián)系，會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解釋方程和不等式及解或解集的意義。其實(shí)，在學(xué)習(xí)這些知識(shí)的過程中，就是學(xué)生經(jīng)歷用函數(shù)圖象表示方程和不等式的過程，進(jìn)一步體會(huì)“以形表數(shù)，以數(shù)釋形”的數(shù)形結(jié)合思想。下面我就列幾個(gè)題型作為例子。

1.函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程kx+b=0的解是_______。分析：本題是通過觀察圖象找到函數(shù)與x軸的交點(diǎn)（2,0），然后直接寫出方程的解：x=2

2.函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是_______。分析：本題是通過觀察找到函數(shù)值大于0的圖象部分，然后直接寫出它對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍即為不等式kx+b＞0 的解集：x＜2

以上的兩個(gè)題都充分體現(xiàn)了在遇到一次函數(shù)與方程（組）、不等式之間的聯(lián)系這類問題時(shí)更加要用數(shù)形結(jié)合的思想來解決。

二、引領(lǐng)學(xué)生用“分類討論思想”來學(xué)習(xí)函數(shù)

分類討論是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)基本知識(shí)（如法則、公式、定理、性質(zhì)、基本方法等）的應(yīng)用都是有一定條件的，就是說只能在一定的范圍內(nèi)應(yīng)用它們。當(dāng)在一個(gè)比它能適應(yīng)的條件更廣的范圍內(nèi)求解問題時(shí)，要應(yīng)用這些基本知識(shí)，就需要把這一更廣的范圍劃分成幾個(gè)較小的范圍以適應(yīng)基本知識(shí)所需用的條件，在每一個(gè)較小的范圍上都把問題解決掉，通俗地講，就是“化整為零，各個(gè)擊破”，或者說不同情況要采取不同的方法去對(duì)待，這種處理數(shù)學(xué)問題的思想，就是“分類討論思想”。

一次函數(shù)需要分類討論的原因：一次函數(shù)性質(zhì)和圖形在不同的條件下有不同的結(jié)論，如一次函數(shù)的增減性、所經(jīng)過的象限等。實(shí)際上，學(xué)生九年級(jí)要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)、二次函數(shù)，以及他們升入高中后要學(xué)習(xí)的各類函數(shù)，都是要進(jìn)行分類討論的。

例如，一次函數(shù)的增減性主要是由它的比例系數(shù)k （k≠0）決定的，所以在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類時(shí)，主要是以k＞0和中k＜0來區(qū)分記憶。當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)中k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小。而對(duì)于這一點(diǎn)，正比例函數(shù)和一次函數(shù)都是統(tǒng)一的，因?yàn)檎壤瘮?shù)是一次函數(shù)的特殊情況。

函數(shù)是描述運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它刻畫了變化過程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。而一次函數(shù)又是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的第一階段，所以學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的興趣直接影響著他們以后學(xué)習(xí)二次函數(shù)、反比例函數(shù)等的興趣。所以本人在教學(xué)過程中是想通過“數(shù)形結(jié)合思想”和“分類討論思想”來激發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)的興趣，使學(xué)生能潛移默化地感受、體會(huì)函數(shù)內(nèi)容中最基本的東西，希望他們今后在數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)方面有所收獲。