一類發(fā)展p（x）－Laplace方程解的存在唯一性

趙江艷，詹華稅

(1.集美大學(xué)理學(xué)院,福建廈門361021;

2.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建廈門361024)

一類發(fā)展p（x）－Laplace方程解的存在唯一性

趙江艷1，詹華稅2

(1.集美大學(xué)理學(xué)院,福建廈門361021;

2.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建廈門361024)

研究了具有p（x）增長(zhǎng)條件且吸附項(xiàng)為 －uq（x）的一類非線性拋物型方程ut＝div（|?u|p（x）－2?u）－uq（x），x∈Ω，0＜t＜T的初邊值問題，其中inf p（x）＞2，運(yùn)用差分方法將拋物問題轉(zhuǎn)化為橢圓型問題，證明了該問題解的存在性與唯一性.

初邊值問題；p（x）－Laplace方程；差分法

假設(shè)Ω是具有Lipschitz連續(xù)條件的有界區(qū)域,考慮如下初邊值問題

其中ΓT＝?Ω×(0,T］,p(x)是可測(cè)函數(shù).

當(dāng)p(x),q(x)為常數(shù)時(shí),很多研究者已經(jīng)對(duì)這類問題做了深入的研究［1－5］,并且證明了解的存在性、唯一性及其正則性等.1931年,波蘭數(shù)學(xué)家W.Orlicz首先提出了變指數(shù)Lebesgue空間的概念［6］.隨后,O.Kovacik對(duì)變指數(shù)Lebesgue空間及Sobolev空間進(jìn)行了深入的研究［7］,并取得了突破性的進(jìn)展.在80年代中期,V.V.Zhikov對(duì)與變指數(shù)空間有著密切相關(guān)的空間展開了研究,即具有非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)條件的變分空間［8］.范先令在1995年前后將V.V.Zhikov的工作繼續(xù)研究,并得到了很好的結(jié)果［9］.p(x)增長(zhǎng)問題可以看成是非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)問題的一種特殊情況,它在非線性彈性力學(xué)、流變電流學(xué)以及其他物理現(xiàn)象方面有著重要的應(yīng)用.關(guān)于具有變指數(shù)增長(zhǎng)條件問題的研究已經(jīng)得到了很多結(jié)論［10－14］.本文采用對(duì)時(shí)間差分方法研究帶有吸附項(xiàng)的發(fā)展的p(x)－Laplace方程初邊值問題在p(x)＞2時(shí)解的存在性.文獻(xiàn) ［10］中吸附項(xiàng)為f(x,t,u),本文采用類似的思想,將其吸附項(xiàng)給定為 －uq(x),由于涉及到不同的計(jì)算技巧,文中對(duì)其進(jìn)行了具體的不同于文獻(xiàn) ［10］的處理.

1 主要結(jié)論

定義1稱函數(shù)u(x,t)是式 (1)～(2)的弱解,如果u滿足以下條件：

在跡的意義下,并且對(duì)于任意的φ∈C∞0(QT),以下積分等式成立：

對(duì)任意的ψ(x)∈C∞0(Ω),有成立,其中QT＝Ω×(0,T).

為了研究式 (1)～(2)解的整體存在性,需要對(duì)q(x)做出限制,即0≤q(x)＜p－－1.下面給出本文的主要結(jié)果.

定理2滿足定理1的非負(fù)解是唯一的.

2 一類差分方程的弱解存在性

首先,令

定義

類似文獻(xiàn)可證明引理1.

引理2令u＋＝max｛0,u｝假設(shè)u是引理1所得最小值,則對(duì)任意k≥1,u和－u滿足

其中Dk＝｛x∈Ω：u(x)＞k｝.

證明對(duì)于任意0≤ε＜1,有u－ε(u－k)＋∈S,以及

記

現(xiàn)在考慮以下問題：

其中h為大于零的常數(shù).

證明根據(jù)引理1,類似于引理2,對(duì)于0＜ε＜1和η∈C∞0,有ui±εη∈S,并且有

因此可得

將ψi(u)的定義代入即可得：

即證ui是式 (9)～(10)的一個(gè)弱解.

3 弱解的整體存在性和唯一性

假設(shè)lh≤T＜(l＋1)h,其中l(wèi)為整數(shù).定義u(h)：Ω×［0,∞)→R使得

其中ui是引理3中得到的弱解.

下面將證明序列u(h)收斂,并且證明極限函數(shù)u即是問題 (1)～(2)的解.

令

因此,

在上式中對(duì)i進(jìn)行求和,結(jié)合u(h)的定義,可以得到

注釋1根據(jù)引理4的證明過程,在其過程中取k＝0和q＝1,則有

定義一個(gè)新的泛函w(h),

則可以得到：

證明直接計(jì)算可得

引理8根據(jù)注釋2,可得存在一個(gè)新定義的子序列｛u(h)｝使得：當(dāng)h→0時(shí)

從而可得,

即證存在一個(gè)子列u(h)使得 (23)成立.接下來考慮w(h).因?yàn)?/p>

根據(jù)式 (26)(27)和引理7,可以得到w(h)和?w(h)在L2(QT)中一致有界.因?yàn)?/p>

根據(jù)H?lder不等式,當(dāng)h→0時(shí)

對(duì)τ～進(jìn)行積分,結(jié)合引理7,8和注釋1可以證得u是方程(1)的一個(gè)弱解.同時(shí),類似于［10］可以證明u滿足初始條件.

證明定理2下面證明式(1)～(2)解的唯一性,證明方法類似于文獻(xiàn) ［10］.

假設(shè)u,v是式 (1)～(2)的兩個(gè)非負(fù)解,取u－v作為試驗(yàn)函數(shù),可以得到：

由中值定理可得,

由此可得u＝v,即唯一性得證.

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Existence and Uniqueness of Solutions to the Evolutionary p（x）－Laplacian Equation

ZHAO Jiang-yan1，ZHAN Hua-shui2
（1.School of Sciences，Jimei University，Xiamen 361021，China；2.School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China）

initial-boundary value problem；p（x）－Laplacian equation；difference method

O175.26

A

1673－4432（2015）05－0094－07

（責(zé)任編輯 李 寧）

2015－04－01

2015－09－30

趙江艷 (1987－),女,碩士研究生,研究方向?yàn)槠⒎址匠?通訊作者：詹華稅 (1966－),男,教授,博士,研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)物理方程、微分幾何與系統(tǒng)工程.E-mail：2012111007＠xmut.edu.cn