一類帶吸附項(xiàng)雙重退化奇異擴(kuò)散方程的解

歐陽(yáng)苗

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建廈門361024)

一類帶吸附項(xiàng)雙重退化奇異擴(kuò)散方程的解

歐陽(yáng)苗

(廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建廈門361024)

雙重退化；擴(kuò)散方程；存在性；唯一性

關(guān)于一般的雙重退化奇異擴(kuò)散方程

文獻(xiàn) ［1］詳細(xì)給出了解的存在唯一性.當(dāng)α＝0,方程 (1)為發(fā)展P-Laplace方程

式(3)中：Ω是RN中邊界?Ω充分光滑的有界區(qū)域；d(x)＝dist(x,?Ω)；p＞1；q＞1；α＞0；φ∈C2,且存在δ＞0使得φ′(s)＞δ＞0.

1 弱解的定義及主要結(jié)論

根據(jù)文獻(xiàn) ［2］,方程 (3)在邊界上退化,即使在有界區(qū)域上,邊值問(wèn)題依賴于熱擴(kuò)散系數(shù)消失比率α的大小.若0＜α＜p－1,給齊次Dirichlet邊值條件：

若α≥p－1,方程 (3)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題不受邊界條件的限制.初值條件總是必需的：

對(duì)于方程 (1),文獻(xiàn) ［1］得到了命題1和命題2.

命題2設(shè)α≥p－1,無(wú)需邊值條件,方程 (1)(5)最多只有一個(gè)解.

本文證明帶吸附項(xiàng)的雙重退化奇異擴(kuò)散方程 (3)有以下結(jié)論：

定理2設(shè)α≥p－1,無(wú)需邊值條件,方程 (3)(5)最多只有一個(gè)解.

2 證明

為研究方程 (3),考慮它的正則化問(wèn)題：

其中dε＝d＋ε,ε＞0.解的性質(zhì)與發(fā)展P－Laplace方程類似,即：

且 (8)在跡的意義下成立.

故引理得證.

2.1 定理1的證明

由于α/(p－1)＜1,p－α＞1,存在常數(shù)β∈(α/(p－1),1)使得p－α/β＞1.由β＜1,p－α/β＞1,不難得知存在常數(shù)γ∈(1,p－α/β)使得βγ＜1.故

C是與ε無(wú)關(guān)的正常數(shù).即?uε在Lγ(QT)中一致有界,得證u滿足邊界條件 (4).

唯一性：設(shè)u和v均是初邊值問(wèn)題 (3)(4)(5)的弱解,u(x,0)＝v(x,0).由弱解定義,任何φ∈(QT)應(yīng)滿足：

將任意固定的s∈［0,T］,通過(guò)光滑化,選取X［0,s］(u－v)作為以上等式的檢驗(yàn)函數(shù),其中X［0,s］是［0,s］上是特征函數(shù).于是

注意到φ∈C2,由微分中值定理,?ξ∈Qs,使得φ(u)－φ(v)＝φ′(ξ)(u－v).又φ′＞0,由積分第一中值定理知,?ξ0∈Qs,使得

s)＝v(x,s)對(duì)(x,s)∈QT幾乎處處成立.

定理1得證.

2.2 定理2的證明

存在性已由引理1給出,以下證明唯一性.

成立.對(duì)任意固定s∈［0,T］,通過(guò)光滑化,選取X［0,s］φ(u)－φ(v)ξε作為上式的檢驗(yàn)函數(shù),這里X［0,s］是［0,s］上的特征函數(shù),即

由微分中值定理,?ξ∈Qs,使得φ(u)－φ(v)＝φ′(ξ)(u－v).又φ′＞0,由積分第二中值定理知,存在ξ1,ξ2∈Qs,使得

從而

定理2得證.

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Properties of Singular Solutions of the Doubly Degenerate?Diffusion Equation with Adsorption

OUYANG Miao
（School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361000，China）

doubly degeneracy；diffusion equation；existence；uniqueness

O175.27

A

1673－4432（2015）05－0084－05

（責(zé)任編輯 李 寧）

2015－04－20

2015－09－21

歐陽(yáng)苗 (1981－),女,講師,碩士,研究方向?yàn)槲⒎址匠探獾倪m定性.E-mail：mouyang＠xmut. edu.cn