一類非自治捕食系統(tǒng)的動力學(xué)研究

陳新一

(西北民族大學(xué)中國民族信息技術(shù)研究院,甘肅蘭州730030)

一類非自治捕食系統(tǒng)的動力學(xué)研究

陳新一

(西北民族大學(xué)中國民族信息技術(shù)研究院,甘肅蘭州730030)

文章研究了一類更廣泛的非自治捕食系統(tǒng)的動力學(xué)行為. 利用比較原理及構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)的方法得到了保證此系統(tǒng)持久性和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件,通過Brouwer不動點定理及伴隨系統(tǒng)作Lyapunov函數(shù)的方法得到了正周期解和正概周期解的存在性和惟一性，也推廣了已有的結(jié)果.

非自治捕食系統(tǒng); 持久性; 全局漸近穩(wěn)定性; 周期; 概周期

0 引言

物種的多樣性,會使捕食系統(tǒng)中物種之間的關(guān)系相對復(fù)雜[1～3].文獻(xiàn)[4]討論一類非自治捕食—兩共存食餌模型的動力學(xué)行為.模型為：

我們在后續(xù)的討論中發(fā)現(xiàn),上述模型中功能反應(yīng)函數(shù)中x1(t)和x2(t)的指數(shù)是無關(guān)的.因此本文討論由文獻(xiàn)[4]模型推廣得到的一類更為廣泛的非自治捕食-兩共存食餌模型的動力學(xué)行為.模型如下：

(1)

其中xi(t)(i=1,2,3)表示t時刻的種群密度；p≥0,q≥0是整數(shù);系數(shù)ai(t),bi(t),ci(t),di(t),ei(t),gi(t),Di(t)(i=1,2),f(t),a3(t),t∈[0，+∞)都是連續(xù)有界嚴(yán)格正的函數(shù).

xi(t0)>0,t0≥0,i=1,2,3.

(2)

本文中我們討論系統(tǒng)的持久性和全局漸近穩(wěn)定性[5], 并討論周期和概周期意義下,周期解和概周期解的存在惟一性和全局吸引性的充分條件[6].

1 一致持久性和全局漸近穩(wěn)定性

(3)

定理1 若系統(tǒng)(1)滿足文獻(xiàn)[4]引理3的條件,則系統(tǒng)(1)是一致持久的.

定理2 若系統(tǒng)(1)滿足文獻(xiàn)[4]引理3的條件,且下面的條件也成立.

則系統(tǒng)(1)的滿足初始條件(2)的解(x1(t),x2(t),x3(t))是全局漸近穩(wěn)定的.

由定理的條件可知，存在η>0，使得

定理證畢.

例 應(yīng)用定理2可以判定系統(tǒng)

2 正周期解的存在惟一性和全局吸引性

研究種群在周期環(huán)境(如季節(jié)交替、食物供給及物種繁殖等等)中的一個最基本、最重要的問題是周期解的存在性與穩(wěn)定性.如果系統(tǒng)(1)為一個ω的周期系統(tǒng).與文獻(xiàn)[4]相仿可得相關(guān)結(jié)論.

3 正概周期解的存在惟一性和全局吸引性

假設(shè)系統(tǒng)(1)是一個概周期系統(tǒng),考慮此時這個系統(tǒng)的正概周期解的存在性、惟一性和全局吸引性.

定理4 如果概周期系統(tǒng)(1)滿足文獻(xiàn)[4]中引理3 及定理2的條件,則系統(tǒng)(1)存在惟一的正概周期解,且此解是大范圍一致漸近穩(wěn)定的.

證明 由引理2和引理3知Γ為系統(tǒng)(1)的最終有界區(qū)域.考慮系統(tǒng)(1)及其伴隨系統(tǒng)

令xi(t)=exp{xi(t)},ui(t)=exp{ui(t)},則系統(tǒng)(5)可以寫成

再求V(t)沿(6)解的上右導(dǎo)數(shù)得

D+V(t)=sgn[exp{x1(t)}-exp{u1(t)}]{-b1(t)[exp{x1(t)}-exp{u1(t)}]-e1(t)[exp{x1(t)}-

sgn[exp{x2(t)}-exp{u2(t)}]{-b2(t)[exp{x2(t)}-exp{u2(t)}]-e2(t)[exp{x2(t)}-

sgn[exp{x3(t)}-exp{u3(t)}]{-f(t)[exp{x3(t)}-exp{u3(t)}]+D1(t)[exp{x1(t)}-exp{u1(t)}]+

D2(t)]|exp{x2(t)}-exp{u2(t)}|-[f(t)-e1(t)-e2(t)]|exp{x3(t)}-exp{u3(t)}|. (7)

由中值定理得

exp{xi(t)}-exp{ui(t)}=exp{ξi(t)}{xi(t)-ui(t)},

其中exp{ξi(t)}位于exp{xi(t)}與exp{ui(t)}之間，于是由(7)可以得到

D+V(t)≤-ηV(t).

其中η可取定理2中三個數(shù)的最小者.所以由文獻(xiàn)[7]的引理5知系統(tǒng)(1)存在惟一全局漸近穩(wěn)定的正概周期解.

注 當(dāng)p=q時,系統(tǒng)(1)即為文獻(xiàn)[5]的系統(tǒng)(1),從而立即得到文獻(xiàn)[5]的結(jié)果.當(dāng)p=q=0,gi(t)=1(i=1,2)時,系統(tǒng)(1)即是文獻(xiàn)[7]的系統(tǒng)(1.1),文獻(xiàn)[7]所討論的模型更是本文模型(1)的特例.

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2015-01-20

陳新一(1957—)，男，教授，主要從事微分方程方面的研究.

O175.7

A

1009-2102(2015)02-0008-04