空時(shí)頻域中欠定混合條件下的波達(dá)方向估計(jì)*

朱立為，汪亞，王翔，黃知濤(.國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙40073；.電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南洛陽(yáng)47003)

空時(shí)頻域中欠定混合條件下的波達(dá)方向估計(jì)*

朱立為1，2，汪亞1，王翔2，黃知濤2
(1.國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410073；
2.電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南洛陽(yáng)471003)

波達(dá)方向估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題，但經(jīng)典的波達(dá)方向估計(jì)方法通常要求陣元數(shù)大于源信號(hào)個(gè)數(shù)，即滿足超定條件，而在實(shí)際中往往面臨的是源信號(hào)個(gè)數(shù)大于陣元數(shù)的欠定條件。基于此，提出了一種基于空間時(shí)頻分布的多重信號(hào)分類擴(kuò)展算法，通過(guò)將空間時(shí)頻分布矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)了欠定條件下的波達(dá)方向估計(jì)。相比時(shí)頻多重信號(hào)分類算法，所提算法能同時(shí)適應(yīng)超定和欠定條件；相比已有的欠定波達(dá)方向估計(jì)方法，其不但保證了波達(dá)方向估計(jì)的精度，而且放寬了對(duì)源信號(hào)稀疏性的要求，同時(shí)還降低了對(duì)快拍數(shù)的要求。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方法的有效性。

波達(dá)方向；時(shí)頻分布；欠定

在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域，波達(dá)方向(Direction Of Arrival，DOA)估計(jì)是聲吶、雷達(dá)、地震學(xué)的一個(gè)重要研究課題。傳統(tǒng)的DOA估計(jì)方法，如多重信號(hào)分類(MUltiple SIgnal Classification，MUSIC)方法［1］、改進(jìn)MUSIC方法［2-3］、時(shí)頻MUSIC方法［4］、極大似然方法［5］、空間譜估計(jì)方法［6］、波束成形方法［7］等，一般要求信號(hào)環(huán)境滿足超定條件，即接收天線的陣元個(gè)數(shù)要大于潛在的源信號(hào)個(gè)數(shù)。但在實(shí)際的信號(hào)環(huán)境下，這一條件并不總能滿足。例如，在機(jī)載或星載的非合作通信應(yīng)用中，由于地面雷達(dá)、通信等各種輻射源的大量使用，并且使用的頻段不斷擴(kuò)展、相互重疊，加上各種自然輻射產(chǎn)生的無(wú)意干擾，使得機(jī)載或星載接收設(shè)備面臨時(shí)域高度密集、頻域嚴(yán)重混疊、空間相互交錯(cuò)的復(fù)雜電磁環(huán)境，而實(shí)際上機(jī)載或星載設(shè)備本身受體積限制，陣元數(shù)不能隨意增加，且陣元數(shù)目越多，接收設(shè)備結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，價(jià)格也越昂貴。因此需要利用有限的接收陣元對(duì)盡可能多的源信號(hào)的DOA進(jìn)行估計(jì)，即需要研究可以適用于欠定混合條件下的DOA估計(jì)方法。

近年來(lái)，相繼出現(xiàn)了一些適應(yīng)欠定混合條件的DOA估計(jì)算法。主要可分為兩類:一是基于高階累積量的欠定DOA估計(jì)算法［8-9］。文獻(xiàn)［9］利用四階累積量代替協(xié)方差矩陣，將MUSIC算法擴(kuò)展成4-MUSIC算法(4-MUSIC)。為了進(jìn)一步提高陣列對(duì)多個(gè)潛在源信號(hào)的DOA估計(jì)能力，文獻(xiàn)［10］將四階累積量推廣到任意偶數(shù)階累積量，提出了2q-MUSIC(q＞1)算法，并詳細(xì)分析了采用不同陣列結(jié)構(gòu)等價(jià)的虛擬陣元數(shù)目。雖然這些高階累積量算法可以通過(guò)擴(kuò)展產(chǎn)生虛擬的陣元以適應(yīng)欠定混合條件，但是高階累積量的計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且需要較多的樣本數(shù)目才能保證算法的估計(jì)精度。二是其他一些基于時(shí)頻域稀疏性的DOA估計(jì)算法，如退化分解估計(jì)技術(shù)(Degenerate Unmixing Estimation Technique，DUET)等也能適應(yīng)欠定混合條件［11-15］，但這些方法對(duì)信號(hào)的時(shí)頻域稀疏性要求過(guò)于嚴(yán)格，即任意時(shí)頻點(diǎn)只有一個(gè)源信號(hào)起主導(dǎo)作用，其余源信號(hào)取值為0［16］，這在實(shí)際應(yīng)用中并不能完全滿足。

本文提出了基于空間時(shí)頻分布(Spatial Time-Frequency Distributions，STFD)的MUSIC算法(STFD-MUSIC)，通過(guò)擴(kuò)展空間時(shí)頻混合矩陣［17］來(lái)實(shí)現(xiàn)欠定條件下的DOA估計(jì)。該方法并不需要假設(shè)信號(hào)是稀疏的，且能夠降低算法對(duì)快拍數(shù)的要求。

1 算法分析

假設(shè)N個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)S(t)=［s1(t)，…，sN(t)］T入射到由M個(gè)陣元組成的天線陣上，觀測(cè)信號(hào)可以寫為:

其中，X(t)=［x1(t)，…，xM(t)］T和V(t)=［v1(t)，…，vM(t)］T分別表示M個(gè)陣元的輸出即觀測(cè)信號(hào)和噪聲，θ=［θ1，…，θN］代表各源信號(hào)的入射角度，混合矩陣A(θ)=［a1(θ1)，…，aN(θN)］表示傳輸矩陣，作為線性矩陣，其K列可以表示為:

本文研究的欠定條件指的是陣元數(shù)小于源信號(hào)數(shù)目，即N＞M；研究目的是估計(jì)θ。

1.1 空間時(shí)頻分布基本理論

本文算法的核心思路是利用觀測(cè)信號(hào)的空間時(shí)頻分布矩陣實(shí)現(xiàn)陣列的虛擬擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)欠定混合條件下的DOA估計(jì)。

空間時(shí)頻分布矩陣定義如式(3)、式(4):

聯(lián)立式(4)和式(5)，可得接收信號(hào)的空間時(shí)頻分布矩陣與源信號(hào)的空間時(shí)頻分布矩陣之間的關(guān)系，其表示如式(6):

由文獻(xiàn)［18］易知，接收信號(hào)的空間時(shí)頻分布矩陣的對(duì)角元素稱為自源點(diǎn)(auto-terms)，也稱自項(xiàng)，其對(duì)應(yīng)著X(t)中代表各個(gè)信號(hào)的向量平方；而反對(duì)角元素稱為互源點(diǎn)(cross-terms)，對(duì)應(yīng)著多個(gè)信號(hào)向量的線性組合。

1.2 算法假設(shè)條件

為了能夠在時(shí)頻域上估計(jì)出源信號(hào)的DOA，采用了Wigner-Vill分布。同時(shí)，假設(shè)源信號(hào)滿足以下條件:

假設(shè)1:在時(shí)頻平面上信號(hào)的自源時(shí)頻點(diǎn)與互源時(shí)頻點(diǎn)幾乎是不混疊的；

根據(jù)假設(shè)2可知本文算法在天線陣元數(shù)一定時(shí)可接收處理的最大源信號(hào)個(gè)數(shù)。

1.3 算法描述

1.3.1 自源點(diǎn)選擇

對(duì)于任意自源點(diǎn)(t，f)∈Ωs(Ω表示整個(gè)時(shí)頻平面)，接收信號(hào)X(t)的空間時(shí)頻分布矩陣可以表示為:

式中，DˉSS(t，f)表示對(duì)角矩陣，其表示為DˉSS(t，f)=diag［Ds1s1(t，f)，…，DsNsN(t，f)］。

先找出自源點(diǎn)，同時(shí)抑制互源點(diǎn)，則可以實(shí)現(xiàn)對(duì)各個(gè)源信號(hào)的DOA估計(jì)。利用的準(zhǔn)則如式(8)所示:

在超定混合條件下，直接對(duì)DXX(t，f)進(jìn)行奇異值分解可以很容易地估計(jì)出源信號(hào)的DOA。但在欠定混合條件下，不能直接分解來(lái)估計(jì)源信號(hào)的DOA。下面將介紹一種能適用于欠定混合條件下基于空間時(shí)頻分布的DOA估計(jì)算法。1.3.2基于空間時(shí)頻分布的擴(kuò)展矩陣構(gòu)造

根據(jù)式(8)所述的準(zhǔn)則，求出自源點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)在式(8)準(zhǔn)則下找出K個(gè)自源點(diǎn)，則K個(gè)自源點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)頻分布矩陣表示如式(9)所示:

定義矩陣D∈K×M，其中(D)km=(Dk)mm(k =1，…，K，m=1，…，M)，則C可以表示成如式(11)所示的形式:

式中，A⊙A*=［a1θ1)，…，aN(θN)?θN)］，其中*，⊙和?分別表示復(fù)數(shù)的轉(zhuǎn)置、ri-Rao乘積和Kronecker乘積。因此，要解決的問(wèn)題就是當(dāng)N＞M時(shí)，如何利用矩陣C來(lái)估計(jì)角度θ。

一般來(lái)說(shuō)，假設(shè)N≤min(M2，K)。根據(jù)文獻(xiàn)［19］中的證明可知，當(dāng)潛在源信號(hào)個(gè)數(shù)與陣元數(shù)滿足假設(shè)2的關(guān)系式時(shí)，則A⊙A*和D是列滿秩的。而A⊙A*和D是列滿秩的，意味著C也是列滿秩的，并且C的秩就等于源信號(hào)個(gè)數(shù)N。

1.3.3 子空間求解與角度估計(jì)

與傳統(tǒng)的MUSIC方法類似，可以直接對(duì)自相關(guān)陣RC=CCH進(jìn)行奇異值分解來(lái)獲得噪聲子空間。在本文算法中，雖然信號(hào)子空間和噪聲子空間可以通過(guò)任意一個(gè)RCi進(jìn)行奇異值分解求得，但是當(dāng)RCi奇異性較強(qiáng)時(shí)，子空間的估計(jì)精度會(huì)很差，進(jìn)而影響DOA的估計(jì)結(jié)果。因此，提出對(duì)擴(kuò)展自相關(guān)矩陣集合{RCi|i=1，…，K}進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化的方法求解信號(hào)子空間和噪聲子空間。相比單一矩陣的處理方法，利用多個(gè)矩陣的估計(jì)方法可以同時(shí)保證算法的估計(jì)精度和信噪比適應(yīng)能力。采用聯(lián)合對(duì)角化的方法分解自相關(guān)陣RC= CCH，其分解后的主要形式如式(12):

式中，RDi=(，Λ為×對(duì)角陣。Λ的N個(gè)較大對(duì)角對(duì)應(yīng)著信號(hào)子空間，M2-N個(gè)較小對(duì)角線元素代表著噪聲子空間。因此，可以利用V矩陣相應(yīng)的M2-N列向量構(gòu)成的噪聲子空間來(lái)估計(jì)源信號(hào)的DOA。根據(jù)文獻(xiàn)［20］中的研究，可以使用式(13)所示的代價(jià)函數(shù)進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化。

當(dāng)式(13)的值最小時(shí)，可以估計(jì)出信號(hào)子空間與噪聲子空間。因?yàn)镽Ci是Hermitian陣，所以RCi中組成信號(hào)子空間的列向量與組成噪聲子空間的列向量是正交的。詳細(xì)來(lái)說(shuō)，Span{VS}= Span{Α⊙Α*}，其中VS是N維信號(hào)子空間的基，則Α⊙Α*中所有列向量都與VN中的列向量正交，而且是M2-N維噪聲子空間的基。因此，所有{ai(θi)(θi)，1≤i≤N}向量都與VN中的列向量正交，因此有式(14)所示的關(guān)系式:

在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中，常常定義空間偽譜的概念來(lái)運(yùn)用上述正交性進(jìn)行DOA估計(jì)，如式(15):

從式(15)可知，只要找出最大“譜線”P(θ)的位置處對(duì)應(yīng)的角度，則這個(gè)角度就等于要估計(jì)的某一源信號(hào)的DOA。

綜上所述，本文所提出的基于空間時(shí)頻分布的欠定混合條件下DOA估計(jì)的核心算法步驟如下:

(i-1)M+j，k)ij計(jì)算拓維后的新矩陣，同時(shí)求出C^的協(xié)方差矩陣=，然后對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化，估計(jì)出VN。

2 仿真分析

2.1 評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

為了驗(yàn)證算法的性能，仿真時(shí)采用平均測(cè)向均方根誤差作為指標(biāo)來(lái)衡量DOA的估計(jì)性能，定義平均測(cè)向均方根誤差(Root-Mean-Square Error，RMSE):

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真分析中，用4個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)作為源信號(hào)，其頻率分別為:1000MHz，1000.1MHz，1000.4MHz，1000.5MHz，碼速率都為200kbit/s，角度分別為:-43°，-13°，26°，48°。仿真實(shí)驗(yàn)1到4中接收天線是陣元數(shù)目為3的均勻線陣，仿真實(shí)驗(yàn)5中接收天線是陣元數(shù)目分別為4和5的均勻線陣，相鄰陣元間距為半波長(zhǎng)。為降低采樣率和計(jì)算量，先將射頻信號(hào)的頻率變到中頻，中頻頻率分別為350kHz，450kHz，750kHz和850kHz，采樣率為2MHz。仿真將［-90°，90°］的空域以0.1°間隔均勻采樣，得到離散的假設(shè)角度集θ～，進(jìn)行500次蒙特卡洛試驗(yàn)。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，對(duì)本文算法與4-MUSIC算法進(jìn)行了性能比較，而沒(méi)有將本文算法與基于時(shí)頻稀疏性的DOA估計(jì)算法進(jìn)行比較，這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)設(shè)置的源信號(hào)在時(shí)頻域是重疊的，不滿足時(shí)頻域稀疏性，基于稀疏性的DOA估計(jì)算法無(wú)法完成源信號(hào)DOA的估計(jì)。

在圖1中，仿真實(shí)驗(yàn)給出了信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)為10dB，采樣點(diǎn)數(shù)分別為1024和512時(shí)，本文算法與4-MUSIC算法的任意10次仿真實(shí)驗(yàn)的空域偽譜估計(jì)結(jié)果。從圖1(a)可以看出本文算法的空間譜中出現(xiàn)了4個(gè)顯著的譜峰，能夠清晰地分辨出四個(gè)源信號(hào)的DOA；圖1(b)是4-MUSIC算法的空間譜，圖中出現(xiàn)了4個(gè)大致的譜峰，勉強(qiáng)能分辨出四個(gè)源信號(hào)的DOA。當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)降低時(shí)，從圖1(c)中可以看出，本文算法仍然可以清晰地分辨出源信號(hào)的DOA；而圖1(d)中4-MUSIC算法的空間譜上的譜峰已很不明顯，難以分辨出源信號(hào)的DOA。

圖1本文算法與4-MUSIC算法空間偽譜Fig.1 Spatial pseudo-spectrums of the proposed and 4-MUSIC algorithm

圖2 為信噪比為10dB時(shí)，本文算法與4-MUSIC算法的平均測(cè)向均方根誤差RMSE隨采樣點(diǎn)數(shù)變化的曲線(圖中CRLB為克拉美羅下限)。從圖中可看出，隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，平均測(cè)向均方根誤差隨之減少；在相同的采樣點(diǎn)數(shù)條件下，本文算法的平均測(cè)向均方根誤差更小，DOA估計(jì)精度更高；而在相同的DOA估計(jì)精度下，本文算法需要采樣點(diǎn)數(shù)要少，因?yàn)樵谙嗤墓烙?jì)性能條件下，相比4-MUSIC的高階累積量的估計(jì)，本文算法的空間時(shí)頻分布矩陣估計(jì)需要的采樣數(shù)據(jù)更少。

圖2不同采樣點(diǎn)數(shù)的RMSE估計(jì)結(jié)果Fig.2 Estimation results of RMSE for different sample points

圖3 為采樣點(diǎn)數(shù)等于1024、信噪比從-5dB到30dB變化時(shí)，本文算法與4-MUSIC算法的平均測(cè)向均方根誤差RMSE隨信噪比變化曲線。從圖中可以看出，隨著信噪比的變化，本文算法的平均測(cè)向均方根誤差更接近CRLB，DOA估計(jì)精度更高。當(dāng)DOA估計(jì)精度相同時(shí)，本文算法比4-MUSIC算法適應(yīng)的信噪比更低。

圖3 不同的SNR的估計(jì)結(jié)果(欠定條件)Fig.3 Estimation results of RMSE for different SNR(underdetermined)

假設(shè)陣列誤差矢量ei(1≤i≤2)是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，即滿足E{eieHj}=σ2δIN，令σ2= 0.000 3，圖4給出了本文算法和4-MUSIC算法的平均測(cè)向均方根誤差RMSE隨信噪比變化的曲線。從圖中可以看出，相比4-MUSIC算法，本文算法的陣列誤差適應(yīng)能力更強(qiáng)。

圖4不同的SNR的估計(jì)結(jié)果(考慮陣列誤差)Fig.4 Estimation results of RMSE for different SNR(model error)

圖5 為采樣點(diǎn)數(shù)設(shè)為1024，信噪比從-5dB到30dB變化，陣元數(shù)分別為5和6時(shí)，本文算法與4-MUSIC算法的平均測(cè)向均方根誤差RMSE隨信噪比變化曲線。結(jié)合圖3的結(jié)果可以看出，本文的DOA估計(jì)算法可以有效應(yīng)用于適定和超定的接收條件，極大地?cái)U(kuò)展了算法的實(shí)際應(yīng)用范圍，并且隨著陣元數(shù)的增加，DOA估計(jì)性能也隨之提高。

3 結(jié)論

針對(duì)欠定混合條件下DOA估計(jì)問(wèn)題，提出了一種基于空間時(shí)頻域的估計(jì)算法。該方法通過(guò)Khatri-Rao乘積和Kronecker乘積對(duì)空間時(shí)頻混合矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，以適應(yīng)欠定混合條件。提出的欠定DOA估計(jì)算法中，采用聯(lián)合對(duì)角化的方法來(lái)處理空間時(shí)頻矩陣，增強(qiáng)了算法的穩(wěn)健性，提高了算法在低信噪比條件下的DOA估計(jì)能力。仿真結(jié)果表明，所提算法的DOA估計(jì)性能優(yōu)于4-MUSIC算法。同時(shí)，隨著天線陣元數(shù)的增加，所提算法對(duì)DOA的估計(jì)性能還會(huì)大幅度提升。

圖5 不同的SNR的估計(jì)結(jié)果(接收陣元為5，6)Fig.5 Estimation results of RMSE for different SNR(5 and 6 array elements)

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Underdeterm ined direction of arrival estimation based on spatial time-frequency distributions

ZHU Liwei1，2，WANG Ya1，WANG Xiang2，HUANG Zhitao2
(1.College of Electronic Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China；2.The State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System，Luoyang 471003，China)

In the field of array signal processing，direction of arrival(DOA)estimation is a hotspot problem.Classical DOA estimation methods usually require the number of sensor should be larger than the source signals’(which the so-called over-determined case is).However，whatwe encounter in practice is always the underdetermined case in which the number of source signal is larger than the sensors’.To solve the problem，amultiple signal classification(MUSIC)extension algorithm based on spatial time-frequency distribution was proposed to achieve the underdetermined DOA estimation by expanding the dimension of the spatial time-frequency distributionsmatrices.Compared with the existing timefrequency MUSIC，the proposed algorithm can be applied to both the over-determined and the underdetermined cases.The proposed algorithm also has advantages over the existing underdetermined DOA estimation methods for it guarantees the estimation precision，relaxes the requirements for source signal sparseness and lowers standards of the number of snapshots.Simulation results confirm the validity and high performance of the proposed algorithm.

direction of arrival；time-frequency distributions；underdetermined

TN911

A

1001-2486(2015)05-149-06

10.11887/j.cn.201505023

http://journal.nudt.edu.cn

2014-09-28

CEMEE國(guó)家實(shí)驗(yàn)室開放課題基金資助項(xiàng)目(2014K104B)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61401490)

朱立為(1985—)，男，湖南郴州人，博士研究生，E-mail:iendwin@163.com；黃知濤(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail:taldcn@yahoo.com.cn