正視函數(shù)應(yīng)用中的幾個(gè)易錯(cuò)問(wèn)題
——以函數(shù)的單調(diào)性為例

☉浙江省寧波鄞州高級(jí)中學(xué) 葉琪飛

正視函數(shù)應(yīng)用中的幾個(gè)易錯(cuò)問(wèn)題
——以函數(shù)的單調(diào)性為例

☉浙江省寧波鄞州高級(jí)中學(xué) 葉琪飛

函數(shù)性質(zhì)是高考對(duì)函數(shù)考查的主要內(nèi)容，其中主要涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、零點(diǎn)等.考生在解答此類問(wèn)題時(shí)由于對(duì)性質(zhì)的把握不準(zhǔn)確，易陷入解題誤區(qū).本文以函數(shù)的單調(diào)性為例，就其中常見誤區(qū)舉例分析.

一、定義域優(yōu)先原則

定義域是函數(shù)的兩個(gè)要素之一，函數(shù)的性質(zhì)也是在定義域范圍內(nèi)的性質(zhì)，因此在涉及單調(diào)性相關(guān)問(wèn)題的解答中勿忽視對(duì)函數(shù)定義域的考慮.

解析：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知g（x）=x2-2mx+3在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)為減函數(shù)，函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸為x=m，所以m≥1.又由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，故應(yīng)有g(shù)（1）≥0，即4-2m≥0，解得m≤2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為［1，2］.

評(píng)注：復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］單調(diào)性的處理原則，當(dāng)f（x）與g（x）的單調(diào)性相同時(shí)，y=f［g（x）］為增，當(dāng)f（x）與g（x）的單調(diào)性相異時(shí)，y=f［g（x）］為減.本題的解答中易忽視對(duì)函數(shù)定義域的考慮，即函數(shù)在區(qū)間（-∞，1）上應(yīng)有x2-2mx+3>0.

A.（0，＋∞）B.（-∞，0）C.（2，＋∞）D.（-∞，-2）

答案：D.

二、準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”

函數(shù)f（x）的“單調(diào)區(qū)間是D”與“在區(qū)間D上單調(diào)”的含義，這是兩個(gè)不同的范圍.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I，而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞減，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間的子集.

例2若函數(shù)f（x）=x2+2（a-1）x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，4］，則實(shí)數(shù)a的取值為________.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，4］，且函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x＝1-a，所以1-a＝4，即a＝-3.

評(píng)注：正確理解“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”的含義，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)單調(diào)的最大范圍，而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

變式：若函數(shù)f（x）=x2+2（a-1）x+4在區(qū)間（-∞，4］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

答案：（-∞，-3］.

三、函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的整體性質(zhì)

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的整體性質(zhì)，若f（x）在區(qū)間（-∞，0），［0，+∞）上均為單調(diào)增函數(shù)，但在（-∞，+∞）內(nèi)不一定為增.如反比例函數(shù)等.

解析：由已知f（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，應(yīng)滿足如下條件：（1）g1（x）=（3a-1）x+4a在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減，即3a-1<0，；（2）g2（x）=logax在［1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以0

評(píng)注：上述解答中易忽視對(duì)條件（3）的考慮，即g1（1）≥g2（1），7a-1≥0，a≥

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的整體性質(zhì)，分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，在保證左右分支分別滿足單調(diào)的前提下，應(yīng)保證在定義域范圍內(nèi)單調(diào)性的連續(xù)性，即在分段點(diǎn)處的單調(diào)性.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B.

四、奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的異同

偶函數(shù)是特殊的對(duì)稱函數(shù)，其關(guān)于y軸對(duì)稱，且在對(duì)稱兩區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相異.奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在對(duì)稱兩區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相同.

例4（2015年新課標(biāo)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）-則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（）.

評(píng)注：若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于O對(duì)稱，且在其定義域范圍內(nèi)滿足f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數(shù)，且有f（-x）= f（x）=f（|x|），據(jù)此可將不確定區(qū)間內(nèi)的變量范圍變換到確定的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而得出變量的范圍.

變式：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f（log2a）2f（1），則a的取值范圍是_________.

五、f（x+1）>f（x）與f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)的關(guān)系

圖1

若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則“?x∈R，f（x+ 1）>f（x）”并不能保證“函數(shù)f（x）在R內(nèi)為增函數(shù)”，如函數(shù)f（x）的圖像，如圖1，則當(dāng)a<1時(shí)，滿足f（x+1）>f（x），但此時(shí)f（x）為非單調(diào)函數(shù).但當(dāng)f（x）為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，則有f（x+1）>f（x），故“?x∈R，f（x+1）> f（x）”是“函數(shù)f（x）在R內(nèi)為增函數(shù)”的必要非充分條件.

例5（2014年湖北卷）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)（|x-a2|＋|x-2a2|-3a2）.若則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

圖2

評(píng)注：解答本題時(shí)需要正確認(rèn)識(shí)“?x∈R，f（x-1）≤f（x）”，即使f（x）最小時(shí)條件成立，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.

變式：已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x-a2|-a2，且對(duì)x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

綜上，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題的一條主線，由于這一部分內(nèi)容具有較強(qiáng)的抽象性，常因缺乏透徹的理解，而出現(xiàn)錯(cuò)解.為了避免錯(cuò)誤的重演，錯(cuò)過(guò)之后的反思就顯得非常重要，因此學(xué)習(xí)中要善于歸納易錯(cuò)點(diǎn)，分析錯(cuò)因，加強(qiáng)訓(xùn)練，方能取得好的效果.