縱橫交錯八方聯(lián)系
——例談高考對線性規(guī)劃的考查

☉湖南省衡陽縣職業(yè)中專 文自林

縱橫交錯八方聯(lián)系
——例談高考對線性規(guī)劃的考查

☉湖南省衡陽縣職業(yè)中專 文自林

線性規(guī)劃在近幾年高考中備受青睞，但是在高考中多以容易題出現(xiàn)，只要我們對該類問題加以總結，相信這類問題就容易解決.筆者經(jīng)過多年的教學實踐，歸納了線性規(guī)劃的幾種考查方式，歡迎同行批評指正.

一、考查線性目標函數(shù)的最值或值域

已知線性約束條件，求目標函數(shù)的最值或值域問題，在高考中是最基本的考查題型，一般分為四類：第一類是求線性目標函數(shù)的最值或值域；第二類是可轉化為求可行域內一點到一定點的距離或距離的平方；第三類是可轉化為可行域內一點與一定點連線的斜率；第四類是可轉化為可行域內一點到一條定直線的距離.根據(jù)線性約束條件求線性目標函數(shù)的最值問題是標準的線性規(guī)劃問題，在高考中是最常見的題型之一.

1.線性約束條件下，線性目標函數(shù)的最值

已知目標函數(shù)為z=ax+by（a＞0，b＞0），求z的最值.

解決策略：將z=ax+by轉化為再通過平移直線在可行域中找使得直線在y軸上的截距取得最大值（或最小值）的點的坐標（x，y），即得線性規(guī)劃的最優(yōu)解.此時，直線在y軸上的截距取得最大值（或最小值）點的坐標（x，y）是z取得最大值（或最小值）時的最優(yōu)解，兩者恰好一致.

圖1

解析：由z=2x+y，得y= -2x+z.如圖1，當直線l0：y= -2x平移至經(jīng)過點C（2，1）時，直線在y軸上的截距最大.所以，最優(yōu)解為C（2，1），故zmax= 2×2+1=5.

點評：把線性目標函數(shù)轉化為一族平行直線是圖解法的核心，這種轉化就是線性規(guī)劃問題轉化為一族平行直線與平面區(qū)域有交點時，直線在y軸上截距的最大值與最小值，此時要特別注意直線斜率的正負.

2.線性約束條件下，非線性目標函數(shù)的最值

圖2

圖3

解析：由z=（x+2）2+y2，得求z的最小值轉化為求可行域內的點P（x，y）與定點M（-2，0）兩點間距離的最小值的平方，如圖3.所以，當點P（x，y）取A（0，1）時

圖4

3.非線性約束條件下，線性目標函數(shù)的最值

此類問題關鍵是要能弄清楚非線性約束條件在平面區(qū)域內所表示的圖形，解法與第一大類型問題一致.

例5已知x，y滿足x2+y2=1，求z=2x+y的最大值和最小值.

解析：由z=2x+y，得y=-2x+z.又x2+y2=1表示圓，如圖5，當直線l0：y=-2x平移至經(jīng)過點C時，直線在y軸上的截距最大.所以如圖5，當直線l0：y=-2x平移至經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最小.所以

用規(guī)劃思想求目標函數(shù)的最值，關鍵是要弄清目標函數(shù)的幾何意義及掌握約束條件所表示的幾何圖形.

圖5

二、考查可行域的面積

這一類問題通常是先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，根據(jù)平面區(qū)域的形狀來求可行域的面積，若可行域是三角形，可根據(jù)三角形面積公式求解，若可行域是四邊形或更復雜的圖形，除可用面積公式求解外，也可用分割法求圖形面積.

解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，它是由直線x+y=0，x-y+4=0和x=1圍成的三角形區(qū)域，三角形的三個頂點坐標為（-2，2）、（1，-1）、（1，5），可求得三角形的面積為9.

三、考查參數(shù)的值或取值范圍

已知目標函數(shù)的最優(yōu)解求解參數(shù)范圍，這種逆向考查線性規(guī)劃問題是近幾年高考的熱點題型，旨在考查學生的逆向思維能力.在所考查的試題中，參數(shù)的位置有的在線性約束條件中，也有的在目標函數(shù)中.

圖6

解析：由已知約束條件，作出可行域，如圖6中△ABC內部及邊界部分，由目標函數(shù)z=2x+y的幾何意義為直線l：y=-2x+z在y軸上的截距知，當直線l過可行域內的點B（1，-2a）時，目標函數(shù)z=2x+ y的最小值為1，則2-2a=1，即故選B.

四、線性規(guī)劃知識的交匯問題

將線性規(guī)劃與其他數(shù)學知識進行交匯命題，在近幾年的高考試題中，成為考查線性規(guī)劃問題的熱點.線性規(guī)劃可以與函數(shù)和導數(shù)、集合、數(shù)列、不等式、向量、概率、解析幾何等數(shù)學知識進行綜合，重點考查函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想，考查分析問題、解決問題和綜合運用數(shù)學知識的能力.解決線性規(guī)劃與其他數(shù)學知識的交匯問題，不僅要掌握解決線性規(guī)劃問題的基本方法，還要具有將與線性規(guī)劃相交匯的知識進行轉化的能力.

1.與函數(shù)或導數(shù)知識相結合

線性規(guī)劃與函數(shù)或導數(shù)知識相結合，近幾年的高考試題出現(xiàn)的題目比較多.與函數(shù)問題相結合，主要是在線性約束條件下，曲線經(jīng)過可行域的何處時有適合題意的最優(yōu)解；與導數(shù)問題相結合，主要是先求出曲線在某點處的切線，再轉化為線性規(guī)劃問題.

例8拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域為D（包含三角形內部和邊界）.若點P（x，y）是區(qū)域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是________.

解析：因為y′=2x，所以當x=1時，y=1，y′=2，則過點（1，1）的切線方程為y=2x-1，所以切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域端點為（0，0）、（0，-1），所以x+2y在點處取最大值在點（0，-1）處取最小值-2，即x+2y的取值范圍為

2.與向量知識相結合

線性規(guī)劃與向量知識相結合，在近幾年的高考中出現(xiàn)的題目也比較多，題型主要是在線性規(guī)劃背景下加入向量問題（由向量條件得到目標函數(shù)），或是在向量背景下加入線性規(guī)劃問題，也有的是由向量條件得到線性約束條件從而轉化為線性規(guī)劃問題.解決這類問題的關鍵是準確地利用向量知識將問題轉化為線性規(guī)劃問題，結合線性規(guī)劃問題的類型進行求解.

例9已知O是坐標原點，點A（-1，1），若點M（x，y）是平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是（）.

A.［-1，0］B.［0，1］C.［0，2］D.［-1，2］

3.與概率（幾何概型）知識相結合

線性規(guī)劃與概率知識相結合，主要是借助于線性規(guī)劃的可行域，考查幾何概型的概率求解問題，其中線性約束條件所滿足可行域的面積對應于幾何概型問題中的幾何測度.

4.與多個知識點相綜合

這類問題通常是在選擇題或填空題的壓軸題位置，試題將線性規(guī)劃問題與多個知識點相綜合，具有相當高的難度，試題難在解題方法的創(chuàng)新上和轉化與化歸的能力上.這類問題的解題關鍵是要讀懂題目，根據(jù)條件的結構特征進行適當?shù)淖冃?，利用適當?shù)臄?shù)學方法（如換元法等）轉化為線性規(guī)劃問題.

例11已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a， clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.

解析：由5c-3a≤b≤4c-a及clnb≥a+clnc，得：則本題可化為下列問題：已知x>0，y>0，且的取值范圍.作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖則當直線y=kx與曲線y=ex相切時，k取最小值e，此時切點坐標為（1，e）；當直線y=kx過直線3x+ y=5與x+y=4的交點）時，k取最大值7，從而的取值范圍為［e，7］，即的取值范圍是［e，7］.

圖7

當然，線性規(guī)劃與其他知識點的交匯問題遠不止這些，例如線性規(guī)劃與數(shù)列、解析幾何等數(shù)學知識的交匯等，但是解決問題的一般思路和方法是類似的，關鍵是要掌握線性規(guī)劃基本問題的解法，合理地將問題中所涉及的知識點進行轉化.對一些較為復雜的問題，可從問題結構形式入手，將問題轉化為熟悉的知識進行解決.線性規(guī)劃思想在解決牽涉各類不同問題的題目中，有很重要的應用價值，巧用線性規(guī)劃知識，可使問題變得更清晰，過程更簡捷.