力求創(chuàng)新，穩(wěn)中有變
——2015年高考數(shù)學(xué)廣東卷評(píng)析

☉廣東省東莞市第一中學(xué) 孟勝奇

力求創(chuàng)新，穩(wěn)中有變
——2015年高考數(shù)學(xué)廣東卷評(píng)析

☉廣東省東莞市第一中學(xué) 孟勝奇

2015年高考數(shù)學(xué)廣東卷文、理科試題，背景熟悉、題型常規(guī)，基礎(chǔ)題明顯增多；考查內(nèi)容與要求緊扣課標(biāo)和考綱，表述簡(jiǎn)練、語(yǔ)言明了；解析幾何、統(tǒng)計(jì)概率試題來(lái)自于教材，反映出命題者回歸教材、重視基礎(chǔ)的意圖；文、理兩套試題在考基礎(chǔ)、考常規(guī)方法的同時(shí)，又透著靈活與新意，一些問題的解決需要扎實(shí)的基礎(chǔ)、較強(qiáng)的問題解決能力和運(yùn)算能力，難易適當(dāng)，既有利于高等學(xué)校選拔人才，也有利于中學(xué)教學(xué)，具有很好的導(dǎo)向功能，是兩套難得的好試卷.

一、試題分析

1.試題平實(shí)，難度穩(wěn)中有降

與近幾年廣東卷試題相比，今年試題在題型、題量、考查知識(shí)面等方面保持相對(duì)穩(wěn)定，與2014年試題比起來(lái)，難度有所降低，以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主線，沒有晦澀難懂、超越考綱的偏、怪試題，溫和樸實(shí).如兩套試卷中立體幾何解答題取材熟悉、構(gòu)圖簡(jiǎn)潔，設(shè)問抓住了主要知識(shí)點(diǎn)，能夠很好地區(qū)分不同層次的學(xué)生.近年來(lái)廣東高考數(shù)學(xué)試題，難度波動(dòng)較大.如2009年理科數(shù)學(xué)試題、2011年和2014年的文、理科數(shù)學(xué)試題難度較大，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維量大，運(yùn)算量也大，既不能有效評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，也給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)一定的困擾.

理科卷第17題，是一道概率統(tǒng)計(jì)題，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，涉及抽樣、對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，源于現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材，?？汲Ｐ拢卦诶斫?，基礎(chǔ)又靈動(dòng)，屬于簡(jiǎn)單題.

題目中已對(duì)36名工人進(jìn)行了編號(hào)，給出樣本容量為9，因而確定組距為4，故而容易列出樣本的年齡數(shù)據(jù)為44，40，36，43，36，37，44，43，37.進(jìn)而可順利完成第（2）問中“計(jì)算（1）中樣本的平均值x和方差s2”和第（3）問“36名工人中年齡在x-s與x+s之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01%）？”

文科卷第17題要求根據(jù)某城市100戶居民的月平均用電量的頻率分布直方圖計(jì)算缺失的縱坐標(biāo)，以及樣本的眾數(shù)、中位數(shù)等數(shù)據(jù)，試題表述中規(guī)中矩，設(shè)問?？汲Ｐ?，創(chuàng)意足，重在理解，基礎(chǔ)又靈活.

2.全面考查，突出主干內(nèi)容

命題者并沒有刻意追求對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的全面考查，而是立足于主干內(nèi)容，突出對(duì)重點(diǎn)知識(shí)、思想方法的考查，如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、不等式、概率統(tǒng)計(jì)等板塊著力考查（見下表）.

?

3.重視基礎(chǔ)，力求創(chuàng)新

今年一改往年三類題型都有壓軸題、難度偏大的現(xiàn)象，以基礎(chǔ)考點(diǎn)為主，考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力.如理科的1～18題、文科1～9題和11～18題都屬于基礎(chǔ)問題，文、理科數(shù)學(xué)從第19題到第21題依次呈現(xiàn)出中高檔難度，每題設(shè)置3問，第1問都為基礎(chǔ)問題，入手容易，第2、3問難度依次增加，能夠有效區(qū)分不同水平的學(xué)生.

在考查基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，注重對(duì)數(shù)學(xué)概念和法則的理解、定理和公式靈活運(yùn)用能力的考查，而不是機(jī)械記憶或者表面了解.選擇題、填空題基礎(chǔ)而靈活，知識(shí)點(diǎn)相對(duì)單一、運(yùn)算量小，為解答中高檔題目留下相對(duì)充裕的時(shí)間；前兩個(gè)解答題，靈動(dòng)又有新意，在吃透題意的基礎(chǔ)上，考生能夠較快完成求解.

如理8題：若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值為（）.

A.至多等于3B.至多等于4

C.等于5D.大于5

以往，該位置題目，往往背景新穎、思維量大，多是新定義類的創(chuàng)新題型，解答時(shí)，需要有較強(qiáng)的閱讀理解與領(lǐng)悟能力；而對(duì)于該題，學(xué)生從熟悉的空間四面體入手，容易排除C、D，選擇B；這道題反而沒有文科選擇題10的難度大.

再如文10題：若集合E={（p，q，r，s）|0≤p

A.200B.150C.100D.50

該題涉及的變?cè)芏?，分析變?cè)年P(guān)系，抓住主要矛盾，才能找到破解的節(jié)點(diǎn).集合E中三組不等式都與s有關(guān)，故以s的取值為題眼進(jìn)行分解剖析，不難解之.當(dāng)s取4時(shí)，p，q，r從0、1、2、3中任取一個(gè)，有4×4×4=64（種）；當(dāng)s取3時(shí)，p，q，r從0、1、2中任取一個(gè)，有3×3×3=27（種）；當(dāng)s取2時(shí)，p，q，r從0、1中任取一個(gè)，有2×2×2=8（種）；當(dāng)s取1時(shí)，p，q，r都取0，只有1種.所以card（E）=64+27+8+1= 100（種）.當(dāng)t取0時(shí)，u取1、2、3、4中的一個(gè)，有4種；當(dāng)t取1時(shí)，u取2、3、4中的一個(gè)，有3種；當(dāng)t取2時(shí)，u取3、4中的一個(gè)，有2種；當(dāng)t取3時(shí)，u取4，有1種，所以t，u的取值有1+2+ 3+4=10（種）；同理，v，w的取值也有10（種），所以，card（F）=10×10=100種.綜上，card（E）+card（F）=200（種）.

4.取舍得當(dāng)，考點(diǎn)切入視角新

文理兩套試卷，不刻意追求考查的全面性，在考點(diǎn)的選擇上，與往年相比，顯得靈活有新意.如一改連續(xù)四年的三角函數(shù)圖像與求值問題為三角化簡(jiǎn)求值，解析幾何大題改為考查直線與圓的位置關(guān)系、軌跡等問題，再如統(tǒng)計(jì)試題設(shè)問的著力點(diǎn)也發(fā)生了變化；另外，最后三道壓軸題的順序也作了調(diào)整，文科改為數(shù)列、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，理科改為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、數(shù)列.

整份試卷基礎(chǔ)性強(qiáng)、靈活、新意足.

5.重視思維，突出能力考查

試題將對(duì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法探索、分析、解決問題的思維能力的考查，重點(diǎn)放在最后幾道解答題中，著力于對(duì)抽象概括能力、空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，以及應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)的考查.

如理（文）17題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，理（文）18題考查空間想象能力和推理論證能力，理19題、文19題考查靈活分析問題及推理論證能力，理（文）20題考查數(shù)形結(jié)合思想，理（文）21題考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想與運(yùn)算求解能力，文10題、理8題考查創(chuàng)新意識(shí)等.

此題以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn為基礎(chǔ)，構(gòu)造了新的數(shù)列{Sn}的遞推關(guān)系4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1，情境熟悉，又具一定的靈活性.廣東歷年試卷中，將數(shù)列作為重要知識(shí)點(diǎn)放在壓軸位置進(jìn)行考查，并融入遞推公式變形技術(shù)，有時(shí)還與不等式等知識(shí)結(jié)合、與課標(biāo)及考綱要求不甚相符，一直受人詬病，但依然堅(jiān)持.

在這一大背景下，學(xué)生基本掌握這類問題的解決方法，將其轉(zhuǎn)化為4（Sn+2-Sn+1）=4（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1），即4an+2= 4an+1-an，所以由此得出是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.第（3）問隨之而解.

再如理19題：設(shè)a>1，函數(shù)f（x）=（1+x2）ex-a.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M（m，n）處的切線與直線OP平行（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），證明：

第（1）問簡(jiǎn)單，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

第（2）問需要選擇一個(gè)區(qū)間，便于判斷函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)，區(qū)間左端點(diǎn)選為0，右端點(diǎn)選為lna，這樣f（0）=1-a，f（lna）=（1+ln2a）elna-a=aln2a>0，故f（lna）f（0）< 0，從而在（0，lna）上有零點(diǎn)，也就在R上有零點(diǎn).這里，區(qū)間端點(diǎn)的選取很有藝術(shù)，關(guān)鍵在于方便計(jì)算判斷.

第（3）問主要難點(diǎn)在于論證方向的探索與確定，事實(shí)上，易于求出P點(diǎn)坐標(biāo)為故而f′（m）=（m+1）2em，從而得到

只需證（m+1）3只需證m+1≤em.

需要構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex-x-1（x∈R），利用導(dǎo)數(shù)證明h（x）=ex-x-1≥0，即可證明m+1≤em.

二、存在的問題

（1）試卷簡(jiǎn)單題偏多，中檔題偏少，難以拉開中等水平與中下水平考生的分?jǐn)?shù)差距；在考綱中，要求易、中、難題目的比例為4∶4∶2，但在現(xiàn)實(shí)中，這一要求經(jīng)常被打破，往往中檔題偏少.

（2）理科試題中，圓這一知識(shí)點(diǎn)分值達(dá)19分（第5小題和第20題），比重偏大，而圓錐曲線分值僅有5分（僅第7小題），比重偏輕；若能將圓的一部分考查用于對(duì)于圓錐曲線知識(shí)的考查，更為理想.

（3）算法、線性回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)、理科的條件概率等知識(shí)沒有考查到.

（4）答卷中反映出存在的主要問題有：審題不細(xì)致、概念不清、數(shù)學(xué)符號(hào)書寫不規(guī)范，解答題的表述邏輯混亂，推理論證能力薄弱.這是一些老生常談的問題，需要學(xué)生深度參與，才能有較好的解決.

三、教學(xué)建議

近年來(lái)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)國(guó)外先進(jìn)教育思想、方法的同時(shí)，也對(duì)國(guó)內(nèi)教育進(jìn)行了反思，許多人認(rèn)為我國(guó)基礎(chǔ)教育扎實(shí)，尤其在一些國(guó)際測(cè)試（如PⅠSA）中取得優(yōu)異成績(jī)后，在過于樂觀的情緒下，不愿正視和解決教育現(xiàn)實(shí)中存在的弊端.如中學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)間上的高投入（每天高達(dá)12個(gè)學(xué)時(shí)）、只重視考試學(xué)科的教學(xué)與學(xué)習(xí)；甚至一些學(xué)校將數(shù)學(xué)課標(biāo)中規(guī)定的每周4學(xué)時(shí)，而在具體操作中改為每周8學(xué)時(shí)，同時(shí)要求學(xué)生每天花在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的時(shí)間不能少于2小時(shí)；學(xué)期末尾為了應(yīng)對(duì)統(tǒng)考，提前兩到三周停止體育、藝術(shù)及信息技術(shù)課的教學(xué)與學(xué)習(xí)，專攻應(yīng)試學(xué)科.這些極端行為不利于學(xué)生的身心健康成長(zhǎng)，因而，我們不能在某些數(shù)據(jù)下盲目樂觀，忽視亟待解決的問題，把極端行為視為正常，忽視其產(chǎn)生的危害.

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要講清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，重視滲透數(shù)學(xué)思想，注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力；對(duì)推理論證問題，重在思路探索.我們始終提倡編選高三數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，力求做到“少、精、活”，讓學(xué)生參與到問題解決“節(jié)點(diǎn)”的破解中，使學(xué)生獲得問題解決的直接經(jīng)驗(yàn)與技能.

在解答規(guī)范表述上，要發(fā)揮教師、教材的示范作用.

四、給命題專家的建議

1.關(guān)于自主命題風(fēng)格的延續(xù)

明年，由國(guó)家考試中心統(tǒng)一組織命題，一些人擔(dān)心這一改變，會(huì)在內(nèi)容側(cè)重點(diǎn)上發(fā)生變化、試題難度有所增加，加重學(xué)生負(fù)擔(dān).事實(shí)上，自主命題省份經(jīng)過多年摸索，初步形成了適合本省教育現(xiàn)實(shí)水平的命題機(jī)制、試卷結(jié)構(gòu)與試題風(fēng)格，并積累了一定的命題經(jīng)驗(yàn)，具有一定的地域特色.建議對(duì)自主命題省份，做好充分調(diào)研，適當(dāng)兼顧他們的風(fēng)格與特色.

2.關(guān)于試題難度的把握

一份高考數(shù)學(xué)試題的命制，都由從事數(shù)學(xué)教育的專家命制完成，但被考查的對(duì)象，只有少數(shù)學(xué)生以后會(huì)從事與數(shù)學(xué)有關(guān)的職業(yè)，因而，命題專家要站在提升公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以及有利于后續(xù)學(xué)習(xí)的視角，確定試題的形式、難度等，提高均分水平，不能將全部學(xué)生當(dāng)做數(shù)學(xué)系學(xué)生來(lái)考，以免多數(shù)學(xué)生受到傷害.

3.要重視知識(shí)生成性試題的命制

高考試題具有很強(qiáng)的導(dǎo)向性，你考解題，我就教如何解題，這個(gè)選擇很自然；課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要重視知識(shí)生成過程的教學(xué)，無(wú)疑是非常正確的，但多年來(lái)，高考試題中，關(guān)于知識(shí)生成過程、探究新知類試題非常稀缺，不利于課標(biāo)理念的實(shí)施和學(xué)生發(fā)展；數(shù)學(xué)高考聚焦于應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問題，基本沒有涉及知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，這就導(dǎo)致教學(xué)中，教師總是壓縮知識(shí)的生成過程，從而為解題教學(xué)及解題訓(xùn)練留下相對(duì)充裕的時(shí)間，以期在相關(guān)測(cè)試中能夠取得好的成績(jī).

數(shù)學(xué)來(lái)自于實(shí)踐，是人類思維的結(jié)晶，不像物理、化學(xué)等自然學(xué)科依賴于實(shí)驗(yàn)，因而，在高考中考查知識(shí)的生成過程成為可能，如在某一新概念（定義）下，探究這一概念相關(guān)的主要性質(zhì)，產(chǎn)生的結(jié)論等.這對(duì)于教師對(duì)教育本真的追求，是大有裨益的.

我們要從人的教育這一高度審視學(xué)科教學(xué)，也要立足學(xué)科教學(xué)仰望教育總目標(biāo)，使學(xué)科教學(xué)最大限度地發(fā)揮育人功能；同樣，數(shù)學(xué)高考試題的命制，也應(yīng)站在有利于學(xué)生發(fā)展這一高度審視，試題形式更為多樣，考查內(nèi)涵更為豐富，不要刻意刁難學(xué)生，避免出現(xiàn)偏題、怪題.