核心概念教學(xué)要循序漸進(jìn)和濃墨重彩*
——談“函數(shù)的單調(diào)性”的難點(diǎn)突破及概念辨析

☉安徽省亳州市第一中學(xué) 史 嘉

核心概念教學(xué)要循序漸進(jìn)和濃墨重彩*
——談“函數(shù)的單調(diào)性”的難點(diǎn)突破及概念辨析

☉安徽省亳州市第一中學(xué) 史 嘉

一、引言

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素.“如果不先教明概念，便是教得不好的.”（夸美紐斯語(yǔ)）因此，核心概念教學(xué)要循序漸進(jìn)和濃墨重彩.循序漸進(jìn)，即考慮數(shù)學(xué)的整體性和思維的系統(tǒng)性，教學(xué)設(shè)計(jì)注重“低起點(diǎn)、高立意”，講清概念從哪里來(lái)、能做什么和到哪里去；濃墨重彩，即課堂教學(xué)能突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，在核心內(nèi)容上“不惜時(shí)、不惜力”，從正反面剖析，多角度深入理解，認(rèn)清概念的內(nèi)涵和外延.

2014年12月，筆者參加了第七屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評(píng)比活動(dòng).教授課題是“函數(shù)的單調(diào)性”（共指定八個(gè)課題，此是第一個(gè)），屬于概念課、性質(zhì)課，也是經(jīng)典課題.文件附說(shuō)明：“函數(shù)的單調(diào)性是最重要的函數(shù)性質(zhì)，在解決實(shí)際問(wèn)題中有著重要作用.要引導(dǎo)學(xué)生借助具體函數(shù)，經(jīng)歷從圖像直觀到定性刻畫(huà)，再到用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)的過(guò)程.要注意思考如何采取有效措施突破自變量在區(qū)間［a，b］上的“任意”取值這一難點(diǎn).”

二、濃墨重彩奠思維

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，而函數(shù)的單調(diào)性是高中學(xué)習(xí)函數(shù)概念后研究的第一個(gè)、也是最重要最基本的性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性及后面的對(duì)稱性（奇偶性）、周期性，以及高等數(shù)學(xué)中的有界性和凹凸性，在學(xué)習(xí)活動(dòng)的本質(zhì)上是相同的，都是用抽象的代數(shù)式去刻畫(huà)函數(shù)圖像的某種幾何特征；學(xué)習(xí)過(guò)程也是相似的，都是讓學(xué)生經(jīng)歷這種探尋抽象的代數(shù)式的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程歷經(jīng)從直觀到抽象、從有限到無(wú)限、從直覺(jué)到嚴(yán)謹(jǐn)，每一步都是一個(gè)很大的思維跨度，而高一學(xué)生的思維正處在從經(jīng)驗(yàn)型向理論型跨越的階段，他們的邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強(qiáng)，代數(shù)推理論證能力也比較薄弱，這些都很容易產(chǎn)生思維障礙.因此，函數(shù)單調(diào)性概念生成的過(guò)程正是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、形成數(shù)學(xué)思維方式的過(guò)程，為后繼研究各種具體函數(shù)及性質(zhì)，包括學(xué)習(xí)導(dǎo)函數(shù)的內(nèi)容奠定了理性思維基礎(chǔ)，具有積極的遷移和促進(jìn)作用.所以，這個(gè)過(guò)程必須濃墨重彩，讓學(xué)生親力親為.

三、循序漸進(jìn)破難點(diǎn)

中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)是“螺旋式上升”的：圖像直觀（直觀化定義）→文字描述（描述性定義）→符號(hào)表達(dá)（形式化定義）→精確刻畫(huà)（導(dǎo)函數(shù)定義）.本節(jié)課處在最關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其難點(diǎn)是如何突破用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號(hào)（不等式）刻畫(huà)動(dòng)態(tài)的函數(shù)變化趨勢(shì)，其中“任意”一詞是最大難點(diǎn).以增函數(shù)為例，我們思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的形式定義？（回答學(xué)習(xí)的必要性）

（2）為什么非要從左向右看，從右向左行不行？（遵照x軸正方向）

（3）怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)描述自變量x逐漸增大？（抽象出x1

（4）能否檢驗(yàn)幾個(gè)具體數(shù)值判斷函數(shù)單調(diào)遞增？（幾何畫(huà)板驗(yàn)證）

（5）如何做到取遍無(wú)窮多個(gè)自變量x的值？（逼出任意性）

（6）是不是所有的x都要取出來(lái)？（強(qiáng)調(diào)區(qū)間性）

（7）取遍所有的x就能保證函數(shù)單調(diào)遞增嗎？（比較f（x）的大小，傳遞性）

（8）怎么用數(shù)學(xué)符號(hào)描述因變量y隨x的增大而增大？（當(dāng)x1

圍繞上述問(wèn)題，我們采取遞進(jìn)式“問(wèn)題串”的形式組織學(xué)習(xí)材料，分散難點(diǎn)，并尋找已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，使得函數(shù)單調(diào)性的形式化定義水到渠成.

下面把這節(jié)課的核心環(huán)節(jié)簡(jiǎn)述如下.

通過(guò)觀察一次、二次和反比例函數(shù)，明確單調(diào)性的相關(guān)概念（學(xué)習(xí)單1的內(nèi)容），學(xué)生心中難免會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，而且利用幾何直觀很容易判斷.為什么高中還要學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性（代數(shù)證明）呢？為此，我們創(chuàng)設(shè)了如下認(rèn)知沖突情境，讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)形式化定義的必要性，在“憤悱”狀態(tài)下自然開(kāi)始探索.

學(xué)習(xí)單2：設(shè)置問(wèn)題，形成沖突.

問(wèn)題2：（1）圖1是函數(shù)y=f（x）的圖像，它在定義域R上是遞增的嗎？（先展示該問(wèn)題，之后推出函數(shù)f（x）的解析式為（fx）=0.001x+1）

圖1

設(shè)計(jì)說(shuō)明：函數(shù)圖像雖然直觀，但是缺乏精確性，必須結(jié)合函數(shù)解析式；但僅憑解析式常常也難以判斷其單調(diào)性.以此得出“函數(shù)圖像不可靠，解析式也不明朗”，為形式化定義的出場(chǎng)“造勢(shì)”.

學(xué)習(xí)單3：引導(dǎo)探索，生成新知.

問(wèn)題3：（1）如何理解“y隨著x的增大而增大”，怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)表示函數(shù)圖像的“上升”特征？

以二次函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間［0，+∞）上的單調(diào)性為例，用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（共15對(duì)數(shù)據(jù)）.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生借助具體函數(shù)，經(jīng)歷從圖像直觀到定性刻畫(huà)，再到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫(huà)的過(guò)程.此問(wèn)題即為從定性描述到定量刻畫(huà)所搭建的橋梁，充分發(fā)揮信息技術(shù)，先借助圖形、動(dòng)畫(huà)和表格等直觀感受“y隨著x的增大而增大”，引導(dǎo)學(xué)生思考“x增大”怎么用符號(hào)表示，對(duì)應(yīng)的“y隨著增大”又該如何表示？概括出符號(hào)表示：若有x1

（2）已知a

拖動(dòng)“點(diǎn)M”改變函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增等.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：此問(wèn)題是符號(hào)化后設(shè)法把“任意”一詞從學(xué)生的潛意識(shí)中“逼”出來(lái)的開(kāi)始，要先讓學(xué)生充分討論交流，師生對(duì)話步步深入，然后借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)說(shuō)明驗(yàn)證兩個(gè)定點(diǎn)并不能確定函數(shù)的單調(diào)性.

（3）已知a

拖動(dòng)“點(diǎn)M”，觀察函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像變化.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：有了第（2）問(wèn)作基礎(chǔ)，學(xué)生很容易判定三個(gè)點(diǎn)也不能保證函數(shù)在區(qū)間［a，b］上遞增.取很多點(diǎn)行不行，取無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)行不行呢？再次讓學(xué)生展開(kāi)討論交流.

（4）已知a

設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生討論期間，教師要下去巡查，了解學(xué)生的觀點(diǎn)，先請(qǐng)持贊同觀點(diǎn)的學(xué)生說(shuō)明理由，再請(qǐng)持反對(duì)意見(jiàn)的學(xué)生畫(huà)圖反駁.有意引發(fā)爭(zhēng)論，強(qiáng)化過(guò)程性理解，以此突破難點(diǎn).然后追問(wèn)：無(wú)數(shù)個(gè)x還不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦？若學(xué)生回答全部取完或任取，追問(wèn)“總不能一個(gè)一個(gè)的驗(yàn)證吧？”緊接著師生一起回顧子集的概念，（PPT展示教材上子集定義）回顧對(duì)“任意一個(gè)”進(jìn)行操作，突破“無(wú)限”的數(shù)學(xué)方法，再次讓學(xué)生體驗(yàn)借助代數(shù)符號(hào)（字母表示數(shù)的任意性），用“任意”刻畫(huà)“無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的強(qiáng)大力量和無(wú)限魅力.

由學(xué)生歸納并完善增函數(shù)的形式化定義后，很快類比出減函數(shù)的定義，然后緊跟下面一組判斷題：

你認(rèn)為下列說(shuō)法是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

①設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋踑，+∞），若對(duì)任意x>a，都有f（x）>f（a），則y=f（x）在區(qū)間［a，+∞）上遞增；

②設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，若對(duì)任意x1，x2∈（a，+∞），且x1>x2，都有f（x1）>f（x2），則y=f（x）是遞增的；

④設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，任取x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0，則y=f（x）是遞減的.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)辨析正、反例幫助學(xué)生對(duì)概念再次進(jìn)行深入思考，逐步形成對(duì)概念本質(zhì)正確、全面而深刻的理解，這是對(duì)概念的及時(shí)鞏固，也是豐富其內(nèi)涵和外延，更是培養(yǎng)學(xué)生批判性思維和嚴(yán)謹(jǐn)性思維的絕好機(jī)會(huì).總之，要體現(xiàn)并強(qiáng)調(diào)“回到定義”思考問(wèn)題的重要性.

四、求同存異待商榷

在備課時(shí)，筆者對(duì)比研讀了六套教材，發(fā)現(xiàn)各版本有關(guān)函數(shù)單調(diào)性概念的表述略有差異，歸類羅列如下，供讀者朋友思考.

以增函數(shù)為例，六套教材的定義句式基本相同：

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1

（1）（人教A版和B版）就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù).如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間I叫y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）（蘇教版和上教版）就說(shuō)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I為y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間.

（3）（湘教版）就說(shuō)f（x）是區(qū)間I上的遞增函數(shù).如果函數(shù)y=f（x）是區(qū)間I上的遞增函數(shù)或遞減函數(shù)，就說(shuō)f（x）在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)，區(qū)間I叫做f（x）的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間.

（4）（北師大版）就稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增加的，有時(shí)也稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是遞增的.

一般地，對(duì)于函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)的一個(gè)子集I，如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈I，當(dāng)x1

對(duì)比定義發(fā)現(xiàn)有兩大差異：

第一，增函數(shù)名稱的差異.

人教A版和B版稱為增函數(shù)，蘇教版和上教版稱為單調(diào)增函數(shù)，湘教版稱為遞增函數(shù)，即這五個(gè)版本都直接稱函數(shù)y=f（x）是區(qū)間I上的（單調(diào)或遞）增函數(shù).只有北師大版稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增加的，并且明確指出，當(dāng)函數(shù)y=f（x）在整個(gè)定義域內(nèi)是增加的，才稱這個(gè)函數(shù)為增函數(shù).

定義域是函數(shù)的生命之域，函數(shù)的一切性質(zhì)都是依存在定義域上的.而函數(shù)的單調(diào)性對(duì)區(qū)間具有更加直接的依存性，沒(méi)有區(qū)間就談不上單調(diào)性.函數(shù)在區(qū)間I上具有“任意兩數(shù)x1，x2∈I，當(dāng)x1

第二，區(qū)間和數(shù)集的差異.

六個(gè)版本定義時(shí)都指出了I是定義域D的子區(qū)間，但只有北師大版又另外指出了函數(shù)在數(shù)集I上具有單調(diào)性.我們知道，區(qū)間一定是數(shù)集，但數(shù)集不一定是區(qū)間.看來(lái)前五個(gè)版本教材只是定義在區(qū)間上的單調(diào)性，并沒(méi)有拓展到一般的數(shù)集上.事實(shí)上，單調(diào)性并非只有在區(qū)間上才能研究，在一般的數(shù)集上也是可以研究的，比如數(shù)列.

高等數(shù)學(xué)中函數(shù)單調(diào)性概念是怎么定義的呢，我們看看頗具影響力的華東師大版《數(shù)學(xué)分析》中的定義：設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若對(duì)任何x1，x2∈D，當(dāng)x1

初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展.相同的概念，比如函數(shù)的單調(diào)性，還是盡可能統(tǒng)一的好.

五、結(jié)束語(yǔ)

李邦河院士曾告誡我們“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的”.那么，如何在教學(xué)實(shí)踐中“玩概念（尤其是核心概念）”？可謂見(jiàn)仁見(jiàn)智.章建躍先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)中“玩概念”包含兩個(gè)方面：一是定義概念，二是利用概念研究數(shù)學(xué)規(guī)律.

因此，對(duì)于數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，我們要繼承我國(guó)“雙基”教學(xué)的傳統(tǒng)，挖掘其內(nèi)涵和外延，即重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；更要踐行新課程理念，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等的雛形，即注重基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、基本數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)和提煉.在“玩”的過(guò)程中，歸納、抽象出變化中的不變性、規(guī)律性和特殊性等基本內(nèi)容.

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.張婕.新課程理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)施與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（5）.

3.劉宗博，羅新兵.用活教材，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（11）.

4.劉紹學(xué).數(shù)學(xué)（A版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

5.高存明.數(shù)學(xué)（B版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

6.嚴(yán)士健，王尚志.數(shù)學(xué)（必修1）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

7.單墫.數(shù)學(xué)（必修1）［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

8.張景中，黃楚芳.數(shù)學(xué)（必修1）［M］.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2013.

9.袁震東.數(shù)學(xué)（高一年級(jí)第一學(xué)期）［M］.上海：上海教育出版社，2009.

10.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2010.

*本文系安徽省教育規(guī)劃課題《“文化數(shù)學(xué)”理念下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)單的實(shí)踐研究》（項(xiàng)目編號(hào)：JG13105）和《基于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究》（項(xiàng)目編號(hào)：JG14071）的部分研究成果.