m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)收斂性及推廣應(yīng)用*

廖 輝，廖 平

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川遂寧629000）

m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)收斂性及推廣應(yīng)用*

廖 輝，廖 平

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川遂寧629000）

本文給出了m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)概念，得到了交錯項(xiàng)an（m）的兩個(gè)極限值及這類級數(shù)的收斂性，給出了這類級數(shù)和的積分式及其收斂值，并把結(jié)果推廣應(yīng)用到通項(xiàng)分母呈等差數(shù)列（公差d＞0）的一類交錯級數(shù)求和上，解決了更多級數(shù)求和問題.

調(diào)和級數(shù)；m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)；斂散性；求和

1.問題

我們知道，調(diào)和級數(shù)并不收斂，但對其相鄰項(xiàng)給正負(fù)符號，組成的交錯級數(shù)

一般地，依次把調(diào)和級數(shù)相鄰m項(xiàng)結(jié)合并給正負(fù)符號構(gòu)造交錯級數(shù)：

我們把級數(shù)（1）叫做m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù).

從前面的討論中知道，m＝1時(shí)，交錯調(diào)和級數(shù)收斂.下面討論m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)（m≥2，m∈N）的收斂情況.

2.m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)的斂散性

定理

an（m）＝s（n+1）m-snm＝［s（n+1）m-ln（nm+m）］-［snm-ln（nm）］+ln（n+1）-ln n.（2）

由定理1（i），有

3.m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)的和

對于m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)的和，首先給出一個(gè)引理：

引理1［6］

下面是幾個(gè)關(guān)于m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)的收斂值的定理.

定理2

證明 首先不難得到

顯然，上式右端的級數(shù)當(dāng)0＜t＜δ（＜1）時(shí)一致收斂，故可逐項(xiàng)積分，即

由狄利克雷一致收斂判別法知，（4）式右端級數(shù)在［0，1］上一致收斂.當(dāng)δ＝1時(shí)，左連續(xù).于是有

關(guān)于這個(gè)積分的計(jì)算結(jié)果，有下面的結(jié)論：

證明 在積分式（5）中，令tm＝u，得到

注意到

故有

于是

4.推廣應(yīng)用

將級數(shù)（1）中的an（m）換成bn（m）構(gòu)成更一般的m項(xiàng)交錯級數(shù)：

其中a∈R，d＞0，bn（m）

對級數(shù)（8），給定m∈N，有bn（m）＞bn+1（m＝0，從而它收斂［1］.

采用上面定理2求m項(xiàng)交錯調(diào)和級數(shù)積分和同樣的方法，得

利用（9）式和定理3結(jié)果中Jm的值，即可解決更多類別［7-8］的級數(shù)求和問題.

解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J6的值，得

注：利用J6避免了計(jì)算非常繁難的原積分.

解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J3的值，得

我們還可將（8）式中的bn（m）換成更一般的，只要數(shù)列｛un｝單減且得到的m項(xiàng)交錯級數(shù)都是收斂的.

［1］陳傳璋，金福臨.數(shù)學(xué)分析（第二版下冊）［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］歐陽光中、朱學(xué)炎.數(shù)學(xué)分析（第三版下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］張筑生.數(shù)學(xué)分析新講（第二版第3冊）［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1991.

［4］舒陽春.高等數(shù)學(xué)中的若干問題解析［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［5］武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：人民教育出版社，1978.

［6］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（第五版下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2008，317—318.

［7］楊傳林.等間距交錯級數(shù)的收斂性及求和法［J］.浙江師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2000，23（2）：115—118.

［8］鄭繼明，唐興莉.一類雙交錯級數(shù)的收斂性及求和法［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，19（1）：33—34.

（責(zé)任編輯 李艷梅）

The Convergence and Application of M-terms Alternative Harmonic Series

LIAO Hui＆LIAO Ping
（Department of Practical Mathematics and Economics，Sichuan Vocational and Technical College，Suining，629000，Sichuan Province）

In this paper，a definition of m-terms alternative harmonic series，the convergence property of this kind of series and two limits of its alternative terms an（m）are proposed at first，then formulas to compute the sum of such series are presented.After that，these results are also generalized to alternative series that the denominator of its alternative terms make up an arithmetic sequence（the common difference d＞0），and this generalization allow us to deal with more kinds of summation of series.

harmonic series；m-terms alternative harmonic series；convergence；summation

O174.3

A

1671-7406（2015）09-0005-04卻收斂于ln2［1］.由此想到，依次把調(diào)和級數(shù)相鄰兩項(xiàng)結(jié)合給正負(fù)符號，組成交錯級數(shù)：

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：11ZA264。

2015-08-25

廖 輝（1957—），男，教授，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育。