服務(wù)航天器超近程逼近目標(biāo)的相對(duì)姿軌耦合控制

張慶展，靳永強(qiáng)，康志宇，肖余之

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109）

服務(wù)航天器超近程逼近目標(biāo)的相對(duì)姿軌耦合控制

張慶展，靳永強(qiáng)，康志宇，肖余之

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109）

針對(duì)服務(wù)航天器超近程逼近目標(biāo)的相對(duì)姿態(tài)軌道耦合控制問(wèn)題，推導(dǎo)了耦合動(dòng)力學(xué)模型并設(shè)計(jì)了相應(yīng)控制律。通過(guò)引入描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量，將相對(duì)軌道跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。推導(dǎo)了考慮對(duì)接機(jī)構(gòu)安裝位置的相對(duì)姿態(tài)軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了考慮未知有界干擾的相對(duì)姿態(tài)軌道耦合控制律?？紤]控制輸入受限進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制律是有效的，并具有較好的性能。

在軌服務(wù)；相對(duì)姿軌；耦合控制；動(dòng)力學(xué)；期望相對(duì)位置矢量

0 引 言

在軌服務(wù)是通過(guò)一系列綜合在軌操作使在軌運(yùn)行航天器的能力得到改善的過(guò)程［1］。服務(wù)航天器通過(guò)對(duì)目標(biāo)在軌燃料補(bǔ)加、在軌維修或捕獲清除等服務(wù)操作，延長(zhǎng)目標(biāo)在軌壽命、提升工作能力或減少空間碎片數(shù)量。執(zhí)行上述操作的關(guān)鍵是服務(wù)航天器完成與目標(biāo)的逼近至對(duì)接任務(wù)。在超近程逼近目標(biāo)至對(duì)接過(guò)程中，需控制服務(wù)航天器使其沿目標(biāo)被動(dòng)對(duì)接口方向逼近，同時(shí)跟蹤目標(biāo)的姿態(tài)，使其主動(dòng)對(duì)接口沿逼近方向指向被動(dòng)對(duì)接口。顯然，逼近過(guò)程中的相對(duì)位置和姿態(tài)是耦合的，其耦合性主要體現(xiàn)在：服務(wù)航天器期望相對(duì)位置隨目標(biāo)航天器的姿態(tài)變化而變化［2］；服務(wù)航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的推力與目標(biāo)航天器及其自身的姿態(tài)都有關(guān)。

相對(duì)姿軌耦合控制的研究是伴隨服務(wù)操作任務(wù)的需求提出的：文獻(xiàn)［3］采用T-H方程描述相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，是較成熟的方法；文獻(xiàn)［4］以非線性軌道動(dòng)力學(xué)描述航天器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，參考軌道為圓軌道；文獻(xiàn)［5］針對(duì)衛(wèi)星的編隊(duì)飛行問(wèn)題，推導(dǎo)了追蹤星相對(duì)目標(biāo)星的姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)跟蹤控制律；文獻(xiàn)［6- 7］針對(duì)航天器的繞飛任務(wù)設(shè)計(jì)了姿態(tài)或軌道的跟蹤控制律；文獻(xiàn)［8］針對(duì)交會(huì)對(duì)接問(wèn)題，考慮參數(shù)不確定性，設(shè)計(jì)了相對(duì)姿軌輸出反饋控制律；文獻(xiàn)［9］設(shè)計(jì)了航天器間接近操作的最優(yōu)控制律；文獻(xiàn)［10- 11］研究了衛(wèi)星近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)的姿軌同步問(wèn)題，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的姿軌跟蹤控制律；文獻(xiàn)［12］研究了接近翻滾目標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題。上述研究在相對(duì)動(dòng)力學(xué)建模中未考慮航天任務(wù)中對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型設(shè)計(jì)需求的靈活性，并且多是基于航天器間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的跟蹤控制來(lái)設(shè)計(jì)控制律的。

本文綜合考慮在軌服務(wù)操作任務(wù)的多樣性及對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型需求的靈活性，引入了描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量。通過(guò)此矢量描述的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)方程將相對(duì)軌道跟蹤控制轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)?？紤]對(duì)接裝置安裝位置，建立了相對(duì)姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型。基于此動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了考慮姿軌耦合及未知有界干擾的控制律?？紤]工程實(shí)際中控制量受限的約束，仿真中對(duì)控制加速度和力矩進(jìn)行向量限幅。

1 問(wèn)題描述

服務(wù)航天器超近程逼近目標(biāo)的過(guò)程中，需要同時(shí)控制其相對(duì)目標(biāo)的位置和姿態(tài)，來(lái)保證兩對(duì)接裝置之間的相對(duì)狀態(tài)滿足捕獲條件。為方便問(wèn)題描述，定義以下坐標(biāo)系：①地心慣性坐標(biāo)系（OiXiYiZi）原點(diǎn)Oi位于地心，OiXi軸指向春分點(diǎn)，OiZi軸與地球的自轉(zhuǎn)軸一致，OiYi軸與OiXi、OiZi軸形成右手系；②相對(duì)軌道坐標(biāo)系（OTXTYTZT）原點(diǎn)OT位于目標(biāo)質(zhì)心，OTXT軸沿地心與目標(biāo)質(zhì)心連線方向背離地心，OTYT軸在軌道平面內(nèi)指向目標(biāo)飛行方向，OTZT軸與OTXT、OTYT軸形成右手系；③ObtXbtYbtZbt和ObsXbsYbsZbs分別表示目標(biāo)和服務(wù)航天器的本體坐標(biāo)系。

1.1 相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)

圖1為服務(wù)航天器與目標(biāo)的相對(duì)位置關(guān)系示意圖，圖中，rt、rs分別為目標(biāo)、服務(wù)航天器的位置矢量；l為服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的位置矢量；ld為服務(wù)航天器的期望相對(duì)位置矢量；Δr為服務(wù)航天器實(shí)際位置與期望位置之間的位置誤差矢量。則有關(guān)系式

圖1 服務(wù)航天器與目標(biāo)的相對(duì)位置關(guān)系示意圖

由服務(wù)航天器與目標(biāo)在慣性系下的軌道動(dòng)力學(xué)方程相減，并結(jié)合式（1）可得

式中，d／d ti表示在慣性系中的導(dǎo)數(shù)；μ為地球引力常數(shù)；ut為目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度矢量；us為服務(wù)航天器的控制加速度矢量；dt、ds分別為目標(biāo)、服務(wù)航天器的攝動(dòng)加速度矢量。

由式（2），并結(jié)合矢量在動(dòng)坐標(biāo)系中的求導(dǎo)公式，在相對(duì)軌道坐標(biāo)系中建立服務(wù)航天器對(duì)目標(biāo)的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型

式中，Δ¨r、Δ˙r和¨ld˙、ld分別為Δr和ld在相對(duì)軌道系中的導(dǎo)數(shù)；ωT×為ωT的反對(duì)稱(chēng)矩陣，且ωT＝［0 0˙ft］T為相對(duì)軌道系相對(duì)慣性系的角速度，˙ft為目標(biāo)真近點(diǎn)角ft的導(dǎo)數(shù)；ubs為服務(wù)航天器本體系中的控制加速度矢量；RTs為服務(wù)航天器本體系到相對(duì)軌道系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；uTt、dTs和dTt分別為ut、dt和ds在相對(duì)軌道系中的表示。由式中RTsubs可見(jiàn)，服務(wù)航天器執(zhí)行機(jī)構(gòu)在本體系中產(chǎn)生的控制加速度與目標(biāo)及自身姿態(tài)之間存在著耦合。

對(duì)于任意的a∈R3，a×定義為

令

則由式（3）表示的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)模型可轉(zhuǎn)化為

式中

對(duì)航天器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而言，ld描述了期望相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型的變化。相對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌道控制實(shí)質(zhì)上是狀態(tài)跟蹤控制，式（4）是由位置誤差Δr描述的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)方程，它的平衡狀態(tài)是零狀態(tài)。本文引入由ld和Δr建立的相對(duì)軌道誤差動(dòng)力學(xué)方程，把狀態(tài)跟蹤控制轉(zhuǎn)化為了調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)。這樣做的好處是：期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量將航天器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制分解為描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的期望相對(duì)位置矢量ld的設(shè)計(jì)和由位置誤差矢量Δr描述的二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)化問(wèn)題的描述和控制。

服務(wù)航天器超近程逼近目標(biāo)至對(duì)接的相對(duì)軌道控制與通常意義的軌道控制有區(qū)別。軌道控制一般是控制航天器的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，而超近程逼近目標(biāo)至對(duì)接的軌道控制是控制兩航天器對(duì)接裝置之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖2為捕獲裝置間的相對(duì)位置示意圖。

圖2 對(duì)接裝置間的相對(duì)位置關(guān)系示意圖

圖2中，rdt、rds分別為目標(biāo)、服務(wù)航天器對(duì)接裝置在本體系中的安裝矢量；rdt／s為兩航天器對(duì)接裝置間在相對(duì)軌道系中的位置矢量。則在相對(duì)軌道坐標(biāo)系中有

式中，RTt、Rst分別為目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系到相對(duì)軌道坐標(biāo)系、服務(wù)航天器本體坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

1.2 相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)

采用修正羅德里格參數(shù)（modified Rodrigues parameters，MRP）作為姿態(tài)描述參數(shù)，則服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程［1314］為

式中，，其中σst為服務(wù)航天器本體系相對(duì)目標(biāo)本體的姿態(tài)，I3×3為3×3維的單位矩陣；ωst＝ωs－Rstωt為服務(wù)航天器本體系相對(duì)目標(biāo)本體系的姿態(tài)角速度，其中ωt、ωs分別表示目標(biāo)、服務(wù)航天器本體系相對(duì)慣性系的姿態(tài)角速度。

對(duì)式（7）求導(dǎo)，并聯(lián)合歐拉方程描述的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，可建立服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

式中，利用了等式˙Rst＝－ω×stRst。

對(duì)式（7）求導(dǎo)，并聯(lián)合式（8）進(jìn)一步可得以¨σst表示的相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

式中

由式（6）和式（9）表示的相對(duì)位置誤差和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型可知，控制系統(tǒng)的目的是設(shè)計(jì)相對(duì)軌道和姿態(tài)控制律，使Δr→0，Δ˙r→0，σst→0，˙σst→0。

2 相對(duì)姿軌耦合控制律設(shè)計(jì)

為方便相對(duì)姿軌耦合控制律設(shè)計(jì)，建立服務(wù)航天器相對(duì)目標(biāo)的姿軌一體化耦合動(dòng)力學(xué)模型。選取狀態(tài)x＝［ΔrTσTst］T，結(jié)合式（6）和式（9）建立相對(duì)姿軌一體化耦合動(dòng)力學(xué)模型

式中

由式（10）可知，控制系統(tǒng)的目的是設(shè)計(jì)相對(duì)姿軌一體化耦合控制律，使

假設(shè)系統(tǒng)存在未知有界干擾，即

式中，di（i＝1，2，…，6）分別為干擾的分量；dmax為干擾的上界。為了獲得較好的控制性能，增加對(duì)未知干擾的估計(jì)，設(shè)計(jì)控制律u為

式中，kp、kd為正定對(duì)稱(chēng)矩陣；sgn（·）為符號(hào)函數(shù)，且對(duì)于，定義

穩(wěn)定性證明如下：

式中，γ為大于零的常數(shù)。

對(duì)V沿狀態(tài)軌跡求導(dǎo)，可得

選取干擾的自適應(yīng)律

將式（14）代入式（13），可得

由˙V≤0，可知V有界，故x、˙x有界。由式（10）可知¨x有界。則¨V＝－2˙xTkd¨x有界，因此˙V一致連續(xù)。由Barbalat引理可知，˙V→0，˙x→0?？紤]到閉環(huán)系統(tǒng)式（10），當(dāng)t→∞時(shí)，x→0。因此當(dāng)t→∞時(shí)，x→0，˙x→0，且當(dāng)‖x‖→∞時(shí)，V→∞，所以由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定［15-16］。證畢

可得作用在服務(wù)航天器本體的控制加速度為

3 數(shù)學(xué)仿真

考慮工程實(shí)際約束，為了使控制輸入不超出實(shí)際的可用執(zhí)行機(jī)構(gòu)最大輸出，對(duì)控制加速度ubs和力矩Tc分別進(jìn)行向量限幅［2，17］。定義

式中，umax為執(zhí)行機(jī)構(gòu)可利用的最大輸出加速度；Tmax為執(zhí)行機(jī)構(gòu)可利用的最大輸出力矩；其中ubsj和Tcj分別為ubs和Tc的分量。

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)受到的干擾［18］具有如下形式：

式中，d0、dc和ds為未知的干擾幅值；ωo為軌道角速度。

選擇目標(biāo)為地球同步軌道的航天器，服務(wù)航天器初始位置在目標(biāo)后方150 m處，以0．1 m／s的速度沿直線逼近目標(biāo)。服務(wù)航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為

其他仿真參數(shù)見(jiàn)表1。表中，at、et、it、Ωt、ωt和ft為目標(biāo)航天器的初始軌道根數(shù)；ld0和˙ld0分別為服務(wù)航天器期望相對(duì)位置矢量的初值和逼近目標(biāo)的速度；Δr0和Δ˙r0分別為服務(wù)航天器的初始位置誤差和速度誤差；σst0為服務(wù)航天器的初始姿態(tài)誤差；do0、doc和dos為相對(duì)干擾加速度幅值；Td0、Tdc和Tds為作用在服務(wù)航天器上的干擾力矩幅值。

表1 仿真參數(shù)

利用上述仿真參數(shù)，得仿真結(jié)果如圖3～圖7所示。圖中，rx、ry、rz為對(duì)接裝置間相對(duì)位置rdt／s的分量；Vx、Vy、Vz為對(duì)接裝置間相對(duì)速度˙rdt／s的分量；Δrx、Δry、Δrz為對(duì)接裝置間相對(duì)位置跟蹤誤差Δr的分量；ΔVx、ΔVy、ΔVz為對(duì)接裝置間相對(duì)速度跟蹤誤差Δ˙r的分量；d1、d2、d3、d4、d5和d6為估計(jì)誤差d～的分量。

圖3 對(duì)接裝置間的相對(duì)位置和速度（OTXTYTZT）

為減小式（11）中符號(hào)函數(shù)引起的抖振問(wèn)題，用飽和函數(shù)sat（BT˙x，ε）來(lái)近似［19］，并定義

式中，（BT˙x）i（i＝1，2，3）為BT˙x的各個(gè)分量；ε＞0為邊界層厚度。由于飽和函數(shù)近似符號(hào)函數(shù)帶來(lái)的誤差，系統(tǒng)不再是漸近穩(wěn)定，而是漸近有界的。

圖4 對(duì)接裝置間的相對(duì)位置狀態(tài)跟蹤誤差（OTXTYTZT）

圖5 對(duì)接裝置間的相對(duì)姿態(tài)狀態(tài)跟蹤誤差（ObsXbsYbsZbs）

圖6 服務(wù)航天器的控制加速度和力矩

圖7 干擾估計(jì)誤差

由圖3可見(jiàn)，在期望相對(duì)位置矢量ld導(dǎo)引下，服務(wù)航天器從目標(biāo)后方150 m處沿著被動(dòng)對(duì)接端口方向以0．1 m／s的速度接近，經(jīng)1 500 s平穩(wěn)逼近到目標(biāo)被動(dòng)對(duì)接端口。由圖4可以看出，經(jīng)過(guò)60 s左右服務(wù)航天器對(duì)接裝置跟蹤上期望相對(duì)位置狀態(tài)（包括位置和速度）的變化，即Δr→0和Δ˙r→0。由圖5可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)70 s左右服務(wù)航天器跟蹤上目標(biāo)航天器的姿態(tài)狀態(tài)（包括姿態(tài)和角速度）變化，即σst→0和ωst→0。由圖6可以看出，在服務(wù)航天器實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的相對(duì)位置狀態(tài)和相對(duì)姿態(tài)狀態(tài)跟蹤之前，其控制加速度和力矩相對(duì)較大，完成跟蹤后迅速減小，并以相對(duì)較小的控制加速度和力矩維持相對(duì)位置狀態(tài)和相對(duì)姿態(tài)狀態(tài)的跟蹤。由圖7的干擾估計(jì)誤差可知，相對(duì)位置和姿態(tài)的干擾估值分別在80 s和85 s左右趨于干擾的真值。由于主動(dòng)對(duì)接端口期望的相對(duì)位置狀態(tài)受到服務(wù)航天器本身姿態(tài)及目標(biāo)航天器姿態(tài)的影響以及系統(tǒng)干擾的影響，使其在相對(duì)位置和速度的跟蹤過(guò)程中出現(xiàn)微誤差量突變，如圖4所示。

為考察航天器對(duì)接機(jī)構(gòu)的安裝位置誤差、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定性誤差和其他未考慮的誤差因素對(duì)所設(shè)計(jì)的相對(duì)姿態(tài)軌道耦合控制器的影響，將標(biāo)稱(chēng)慣量陣增加15%的不確定性，將干擾放大10倍進(jìn)行仿真（對(duì)接機(jī)構(gòu)的安裝位置誤差和其他未考慮的誤差等效為干擾放大），其他的仿真參數(shù)不變，結(jié)果如圖8和圖9所示。仿真結(jié)果顯示，服務(wù)航天器相對(duì)位置狀態(tài)和相對(duì)姿態(tài)狀態(tài)的跟蹤過(guò)程依然平穩(wěn)。對(duì)比圖4和圖5，穩(wěn)態(tài)時(shí)位置跟蹤精度下降10倍，姿態(tài)跟蹤精度下降103倍，表明慣量陣不確定性對(duì)姿態(tài)控制精度影響較大。但仿真結(jié)果顯示所設(shè)計(jì)控制器仍然具有較高的控制精度，這說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的控制律是有效的，并具有較好的魯棒性。

圖8 干擾放大后的相對(duì)位置狀態(tài)跟蹤誤差（OTXTYTZT）

圖9 干擾放大后的相對(duì)姿態(tài)狀態(tài)跟蹤誤差（ObsXbsYbsZbs）

4 結(jié) 論

服務(wù)航天器超近程逼近目標(biāo)至對(duì)接的過(guò)程中相對(duì)姿態(tài)和軌道是耦合的。本文建立了考慮對(duì)接裝置安裝位置的相對(duì)姿軌一體化耦合動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)引入描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的期望相對(duì)位置矢量和位置誤差矢量，將相對(duì)軌道跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)問(wèn)題。考慮了相對(duì)姿軌耦合性及未知干擾影響，設(shè)計(jì)了相對(duì)姿軌耦合控制律。仿真中考慮控制輸入受限，仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的控制算法是有效的，并具有較好的控制性能，且對(duì)外界干擾具有一定的魯棒性。本文提出的通過(guò)設(shè)計(jì)期望相對(duì)位置矢量來(lái)描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)型變化的方法，同樣適用于其他空間操作的控制實(shí)現(xiàn)，如航天器的空間快速繞飛及編隊(duì)飛行隊(duì)形保持等。

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Coupled control of relative position and attitude for servicing spacecraft approaching the target in close proximity

ZHANG Qing-zhan，JIN Yong-qiang，KANG Zhi-yu，XIAO Yu-zhi
（Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109，China）

Considering the relative position and attitude coupled control problem for servicing spacecraft approaching the target in close proximity，a novel coupled dynamic model is derived and an effective control law is designed．Via introducing the desired relative position vector and position error vector，which describe the relative motion configuration，the relative position tracking control is transformed to the regulator design．Considering installation location of docking mechanisms，the coupled relative position and attitude dynamic equations are derived．And considering unknown bounded interference，the coupled relative position and attitude control law is proposed by using the Lyapunov stability theory．Under the condition of bounded control inputs in numerical simulations，the results indicate that the coupled control law is effective with perfect performance．

on-orbit servicing；relative position and attitude；coupled control；dynamics；desired relative position vector

V 448．2

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．23

張慶展（1987-），男，工程師，碩士，主要研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)、軌道控制。

E-mail：zh．q．zh＠163．com

靳永強(qiáng)（1981-），男，高級(jí)工程師，博士，主要研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)、軌道控制。

E-mail：jinyong_qiang＠126．com

康志宇（1976-），男，研究員，博士，主要研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì)。

E-mail：kzy＠126．com

肖余之（1964-），男，研究員，碩士，主要研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì)。

E-mail：xyz＠126．com

1001-506X（2015）01-0141-07

網(wǎng)址：www．sys-ele．com

2014- 02- 25；

2014- 07- 01；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 08- 15。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140815．1315．001．html

上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)（13QB1404000）資助課題