安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 (郵編:246700)
一道向量試題的探究和思考
安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 (郵編:246700)
將AB=6,AC=10代入上面的兩個式子中,化簡得:
6x+10cos∠BAC·y=3,6cos∠BAC·x+10y=5 ,又2x+10y=5,三式聯(lián)立解得:
①
②
即 2c2x+2bccosA·y=c2
①
2bccosA·x+2b2y=b2
②
解這個二元一次方程組,并由正余弦定理得:
這是我們在各種考試中經常見到的一種形式,例如下面這道試題就是以⑶為背景來命制的.
(4)當H為△ABC的垂心時,
證明 (1)、(2)證明比較簡單,留給讀者.這里主要給出(3)和(4)的證明.
(3)當Ia為△ABC中∠A所對的旁心時,過Ia作BC的平行線交BC的延長線于B1、C1.設BB1=ct,則IaB1=ct,IaC1=CC1=bt,如圖所示.
①.
所以
c2x+bccosA·y=bccosA
①
bccosA·x+b2y=bccosA
②
解這個二元一次方程組,并由正余弦定理得:
當△ABC為非直角三角形時,
由上面的討論,我們自然而然地得到以下結論.
1 江保兵.平面向量的共線定理及其推論[J].中學數學研究(廣州),2014,( 3)
2 李金聰.三角形“五心”優(yōu)美的向量形式[J].福建中學數學,2010 ,( 3)
3 賀功保,葉美健.三角形的五心[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2009
2014-12-21)