“關聯(lián)”速度問題模型歸類例析

李恒林

繩、桿等有長度的物體，在運動過程中，如果兩端點的速度方向不在繩、桿所在直線上，兩端的速度通常是不一樣的，但兩端點的速度是有聯(lián)系的，稱之為“關聯(lián)”速度。

“關聯(lián)速度”問題特點：沿桿或繩方向的速度分量大小相等。

繩或桿連體速度關系：①由于繩或桿具有不可伸縮的特點，則拉動繩或桿的速度等于繩或桿拉物的速度。②在繩或桿連體中，物體實際運動方向就是合速度的方向。③當物體實際運動方向與繩或桿成一定夾角時，可將合速度分解為沿繩或桿方向和垂直于繩或桿方向的兩個分速度。

“關聯(lián)速度”問題常用的解題思路和方法：先確定合運動的方向，即物體實際運動的方向，然后分析這個合運動所產生的實際效果，即一方面使繩或桿伸縮的效果；另一方面使繩或桿轉動的效果，以確定兩個分速度的方向，沿繩或桿方向的分速度和垂直繩或桿方向的分速度，而沿繩或桿方向的分速度大小相同。

一、繩相關聯(lián)問題

1.一繩一物模型

（1）所拉的物體做勻速運動

例1如圖1所示，人在岸上拉船，已知船的質量為m，水的阻力恒為廠，當輕繩與水平面的夾角為θ時，船的速度為υ，此時人的拉力大小為T，則此時

（

）

小結

人拉繩行走的速度即繩的速度，易錯誤地采用力的分解法則，將人拉繩行走的速度。即按圖3所示進行分解，則水平分速度為船的速度，得人拉繩行走的速度為υ/cosθ，會錯選B選項.

（2）勻速拉動物體

例2

如圖4所示，在河岸上利用定滑輪拉繩索使小船靠岸，拉繩的速度為v，當拉船頭的繩索與水平面的夾角為α時，船的速度是多少？

解析

方法1——微元分析法

取小角度θ，如圖5所示，設角度變化θ

方法2——運動等效法

因為定滑輪右邊的繩子既要縮短又要偏轉，所以定滑輪右邊繩上的A點的運動情況可以等效為：先以滑輪為網心，以AC為半徑做圓周運動到達B，再沿BC直線運動到D。做圓周運動就有垂直繩子方向的線速度，做直線運動就有沿著繩子方向的速度，也就是說船的速度（即繩上4點的速度）的兩個分速度方向是：一個沿繩縮短的方向，另一個垂直繩的方

2.兩繩一物模型

例3

如圖7所示，兩繩通過等高的定滑輪共同對稱地系住一個物體A，兩邊以速度v勻速地向下拉繩，當兩根細繩與豎直方向的夾角都為60。時，物體A上升的速度多大？

解析

以右邊繩子為研究對象，應用繩連體模型的結論，當繩端物體A在做既不沿繩方向，又不垂直于繩方向運動時，一般要將繩物體A的真實運動分解到沿繩收縮方向和垂直于繩子方向的兩個分運動。其運動效果一是沿繩方向的直線運動，這使得繩變短，二是以定滑輪為圓心的圓周運動，這使得繩轉過了一個小角度，即A的運動就是這兩個分運動的合成.如圖8所示，有v=

3.一繩兩物模型

（1）水平方向情況分析

例4

A、B兩物體通過一根跨過定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現(xiàn)物體A以

解析

A、B兩物體通過繩相連接，且兩物體都是運動的，物體的實際運動速度是合速度，物體的速度都產生了沿繩方向和垂直于繩方向兩個運動效果。設物體B的運

小結

此題涉及多個物體的速度分解，應用隔離法將每個物體的速度進行分解，再通過關聯(lián)速度進行求解。

（2）豎直方向情況分析

例5如圖12所示，豎直平面內放置一直角桿AOB，桿的水平部分粗糙，豎直部分光滑，兩部分各有質量相等的小球A和B套在桿上，A、B間用輕繩相連，以下說法中正確的是

（

）

A.若用水平拉力向右緩慢地拉A，則拉動過程中A受到的摩擦力不變

B.若以一較明顯的速度向右勻速地拉A，則拉動過程中A受到的摩擦力不變

C.若以一較明顯的速度向右勻速地拉A，則過程中A受到的摩擦力比靜止時的摩擦力要大

D.若以一較明顯的速度向下勻速地拉B，則過程中A受到的摩擦力與靜止時的摩擦力相等

解析

當A滑動時，A受到的摩擦力是滑動摩擦力，在動摩擦因數(shù)不變的情況下，其大小只與正壓力有關.若用水平拉力向右緩慢地拉A，兩小球都處于平衡狀態(tài)，選取兩球組成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)在豎直方向上受到總重力和水平桿對A球豎直向上的

答案AC

小結

豎直方向的物體運動分析，涉及到超、失重情況，分析時應加以注意，否則易出現(xiàn)錯誤。

二、桿相關聯(lián)問題

答案C

小結

對于直桿的運動，一般將其兩端的運動速度沿桿和垂直于桿的兩個方向分解，兩端速度沿桿的分量相等。