我用萬(wàn)有引力度量天體

華慶富

計(jì)算天體的質(zhì)量和密度，我們有兩種方法。

其一：物體在行星表面所受到的重力是因?yàn)樾行菍?duì)物體的萬(wàn)有引力產(chǎn)生的。因此將萬(wàn)有引力近似等于物體的重力，則行星的質(zhì)看作是圓周運(yùn)動(dòng)，則萬(wàn)有引力提供向心力。我們不妨把環(huán)繞無(wú)體的軌道半徑看成是r，中心天體的半徑為R。則有：

點(diǎn)撥：解答本題需要知道嫦娥三號(hào)懸停時(shí)，處于平衡狀態(tài)，并以此為依據(jù)對(duì)嫦娥三號(hào)進(jìn)行受力分析，得出此時(shí)嫦娥三號(hào)所受萬(wàn)有引力與反推力平衡的正確結(jié)論。

例2

（2014·安陽(yáng)一模）“嫦娥一號(hào)”的成功發(fā)射，為實(shí)現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢(mèng)想邁出了重要的一步。已知“嫦娥一號(hào)”繞月飛行軌道近似圓周，距月球表面的高度為H，飛行周期為T，月球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，假設(shè)宇航員在飛船上，飛船在月球表面附近豎直平面內(nèi)俯沖，在最低點(diǎn)

點(diǎn)撥：本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，要求我們能對(duì)物體正確進(jìn)行受力分析，根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力由萬(wàn)有引力提供和月球表面的重力和萬(wàn)有引力相等的條件，應(yīng)用牛頓第二定律列方程求解有關(guān)質(zhì)量、重力加速度問(wèn)題。

2.中心天體的質(zhì)量

例3

衛(wèi)星繞某一行星的運(yùn)動(dòng)軌道可近似看成是圓軌道，觀察發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過(guò)時(shí)間t，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)所通過(guò)的弧長(zhǎng)為l，該弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為θ弧度，如圖2所示。已知萬(wàn)有引力常量為G，由此可計(jì)算出該行星的質(zhì)量為（

）

解析

根據(jù)線速度和角速度的定義公式求解線速度和角速度，根據(jù)線速度和角速度的關(guān)系公式v=ωr求解軌道半徑，然后根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式求解行星的質(zhì)量。

點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵抓住萬(wàn)有引力提供向心力，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解。

3.星球的密度

例4

如圖3所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點(diǎn)沿

（1）該星球表面的重力加速度；

（2）該星球的密度；

解析

（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列出水平方向和豎直方向的位移等式，結(jié)合幾何關(guān)系求出重力加速度。

設(shè)該星球表面的重力加速度為g，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

點(diǎn)撥：解答本題需要明確以下兩點(diǎn)：處理平拋運(yùn)動(dòng)的思路是對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解；重力加速度g是聯(lián)系天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究的物理量。