談大學(xué)物理微積分思想和方法

王娜

大學(xué)物理是高等學(xué)校面向廣大理工科生開(kāi)設(shè)的一門公共基礎(chǔ)課程，區(qū)別于高中物理，它要求學(xué)生更多地運(yùn)用微積分思想和方法處理物理問(wèn)題，從而體會(huì)物理思想以提高解決物理問(wèn)題的能力。對(duì)于中學(xué)階段主要應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算的大一學(xué)生而言，微積分思想和方法是他們?cè)诖髮W(xué)物理學(xué)習(xí)中面對(duì)的最困難的問(wèn)題?？v觀整個(gè)教學(xué)內(nèi)容，微積分思想和方法在力學(xué)、電磁學(xué)和熱學(xué)部分都有應(yīng)用，但是總結(jié)起來(lái)可以分為兩類，一類是速度為代表的微分思想，另一類是功為代表的積分思想。力學(xué)部分是學(xué)生接觸微積分思想和方法的第一站，也是最具有代表性的部分。本文通過(guò)描述速度、加速度、功和萬(wàn)有引力勢(shì)場(chǎng)的定義以及計(jì)算中微觀量的物理意義，給出大學(xué)物理中微積分思想和方法應(yīng)用的特點(diǎn)。

一、速度和加速度

1.歷史和定義。17世紀(jì)，工業(yè)和科技的發(fā)展向數(shù)學(xué)提出了許多問(wèn)題，促使了微積分學(xué)科的誕生。這些問(wèn)題被稱為“四類問(wèn)題”，其中第一類就是表征運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。在變速直線運(yùn)動(dòng)中，路程上任一點(diǎn)的速度定義為該點(diǎn)附近所取的無(wú)限短路程與其對(duì)應(yīng)的無(wú)限短時(shí)間的比例。若無(wú)限短路程用ds表示，對(duì)應(yīng)的無(wú)限短時(shí)間用dt表示，則速度v=，其中微小量ds和dt被稱為微分量，這種方法被稱為微積分方法。這個(gè)概念分別由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立，它的第一個(gè)應(yīng)用就是給出速度的概念。

2.微分量的物理意義。定義中無(wú)限短路程近似為無(wú)限小直線段，無(wú)限短時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)近似為勻速直線運(yùn)動(dòng)。例如，直線運(yùn)動(dòng)（假設(shè)沿x軸），速度表示為v=。推廣到具有普遍意義的三維空間，情況又怎樣呢？依據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原理不難想象，在直角坐標(biāo)系中dt時(shí)間內(nèi)物體的無(wú)限短路程ds（直線段）可以看成dt時(shí)間內(nèi)沿x方向勻速移動(dòng)dx距離、沿y方向勻速移動(dòng)dy距離、沿z方向勻速移動(dòng)dz距離的合效果，即ds是邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的平行六面體的體對(duì)角線。我們用矢量來(lái)表示這個(gè)合效果，無(wú)線短路程ds對(duì)應(yīng)的矢量用d表示，即（d=dx+dy+dz（dx、dy、dz是d三個(gè)正交分量的數(shù)值），dt時(shí)間內(nèi)每一維均對(duì)應(yīng)勻速直線運(yùn)動(dòng)，即速度的三個(gè)正交分量的數(shù)值分別為vx=，vy=，vz=.也可以寫(xiě)成矢量式.

3.加速度。加速度是為了描述速度的變化而引入的新概念，類比速度的概念，加速度被定義為速度對(duì)時(shí)間的變化率。比如直線運(yùn)動(dòng)，若無(wú)限短dt時(shí)間內(nèi)速度增量為dv，則加速度a=，即dt時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)近似為勻變速直線運(yùn)動(dòng)（加速度不變）。類比速度，很容易推導(dǎo)出直角坐標(biāo)系下的加速度公式。在速度空間中dt時(shí)間內(nèi)物體的微小速度增量dv（直線段）可以看成dt時(shí)間內(nèi)沿x方向增量dvx、沿y方向增量dvy、沿z方向增量dvz的合效果，即dv是邊長(zhǎng)為dvx、dvy、dvz的平行六面體的體對(duì)角線。dt時(shí)間內(nèi)每一維均對(duì)應(yīng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)，即加速度的三個(gè)正交分量的數(shù)值分別為：ax=，ay=，az=.也可以寫(xiě)成矢量式.

二、功

1.歷史和定義。若給物體加上一個(gè)力，使得物體沿著力的方向上移動(dòng)的時(shí)候，我們說(shuō)力對(duì)物體做了功。如物體在力F的方向上移動(dòng)的距離為S，這個(gè)力對(duì)物體所做的功就是W=FS，若力的方向與物體位移方向不一致的時(shí)候，力對(duì)物體所做的功等于力與移動(dòng)距離在力的方向上的分量的乘積或者等于移動(dòng)距離與力在移動(dòng)距離上的分量的乘積，可以用數(shù)學(xué)矢量式表示上述定義，即W=·.上述結(jié)論適用于恒力作用下的直線運(yùn)動(dòng)，這也是較為簡(jiǎn)單的一種運(yùn)動(dòng)形式，但是物體運(yùn)動(dòng)形式往往要復(fù)雜得多。

2.微分量的物理意義。當(dāng)力不再是恒力，面對(duì)的又是復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須將路程分成許許多多個(gè)無(wú)限短的路程ds（直線段），質(zhì)點(diǎn)在每一個(gè)ds上所受的力可以視為恒力。因此，每一個(gè)ds上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)近似為恒力作用下的直線運(yùn)動(dòng)。任一ds上，力F所做的無(wú)限小的功，又稱元功可以表示為：dw=·d=（x+y+z）·（dx+dy+dz）=Fxdx+Fydy+Fzdz.該表達(dá)式與運(yùn)動(dòng)的疊加原理也是對(duì)應(yīng)的。功是個(gè)過(guò)程量，整個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，變力所作的功等于所有元功之和：W=∫·d.

三、萬(wàn)有引力勢(shì)場(chǎng)

1.歷史和定義。萬(wàn)有引力=-G，其中M為施力物體的質(zhì)量，m為受力物體的質(zhì)量。萬(wàn)有引力還可以表示為=m，其中=-Gr。易見(jiàn)，無(wú)論m存在，總是存在的，它作用于每個(gè)可能放在該處的任一質(zhì)量上。是空間位置的函數(shù)，我們稱之為萬(wàn)有引力場(chǎng)，也可以說(shuō)質(zhì)量為M的物體產(chǎn)生了萬(wàn)有引力場(chǎng)。

2.微分量的物理意義。我們知道萬(wàn)有引力是保守力，而且保守力所作的功等于引力勢(shì)能（U）增量的負(fù)值。例如，直線運(yùn)動(dòng)保守力所作的元功根據(jù)上述關(guān)系可以表示為：dW=Fdx=-dU.考慮元位移上力為恒力，即F=-，這就是由勢(shì)能函數(shù)求力的思路。對(duì)于三維情況，不難給出：引入算符.

四、小結(jié)

從上文不難看出微積分思想和方法在大學(xué)物理上的應(yīng)用特點(diǎn)，即將復(fù)雜的物理問(wèn)題進(jìn)行時(shí)間、空間范圍上的無(wú)限次分割，在無(wú)限小的局部范圍內(nèi)近似為最基本、最簡(jiǎn)單、可研究的物理問(wèn)題，比如直線運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)、恒力做功與變力做功等，然后將各個(gè)局部結(jié)果累加起來(lái)，給出問(wèn)題結(jié)果。這種分析和解決問(wèn)題的思路對(duì)電磁學(xué)和熱學(xué)部分同樣適用。

（作者單位：安徽科技學(xué)院數(shù)理與信息工程學(xué)院）

□責(zé)任編輯：鄧 鈺