具有時(shí)變馬爾可夫調(diào)制服務(wù)速率的M2M 小數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)排隊(duì)分析模型

遲學(xué)芬，胡 廣，陳 潔，董 雯，王春悅

(吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春130012)

0 引 言

M2M(Machine to machine)業(yè)務(wù)大體分為監(jiān)控視頻類業(yè)務(wù)(SVS)和小數(shù)據(jù)類業(yè)務(wù)(SDS)。當(dāng)SVS 和SDS 共享網(wǎng)絡(luò)服務(wù)時(shí)，實(shí)時(shí)SVS 優(yōu)先占用網(wǎng)絡(luò)帶寬，非實(shí)時(shí)SDS 占用網(wǎng)絡(luò)剩余帶寬。因此如何在保證實(shí)時(shí)業(yè)務(wù)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)的前提下，定性、定量地評(píng)估網(wǎng)絡(luò)對(duì)小數(shù)據(jù)類業(yè)務(wù)的服務(wù)能力，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)資源控制成為人們廣泛關(guān)注的問題。從排隊(duì)論的角度分析，SDS 接受的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)的服務(wù)率是由SVS 狀態(tài)空間決定的隨機(jī)變量。從包級(jí)別分析，SVS 包的到達(dá)和服務(wù)均為隨機(jī)過程，因此，系統(tǒng)對(duì)SDS 的服務(wù)過程是疊加在SVS隨機(jī)過程上的另一個(gè)復(fù)雜隨機(jī)過程，這增加了分析SDS 服務(wù)特性的難度。

相對(duì)于經(jīng)典排隊(duì)理論，可變服務(wù)速率排隊(duì)系統(tǒng)分析更為復(fù)雜，可供參考文獻(xiàn)有限。Boxma等［1］研究了M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)，在這個(gè)系統(tǒng)中服務(wù)率是變化的。Pan［2］研究了具有可變輸入率、服務(wù)率和不耐煩顧客的M/M/1 隊(duì)列，分析了如何維持服務(wù)率以取得最大利益。Lebedev 等［3］研究了服務(wù)率隨請(qǐng)求數(shù)變化的重試隊(duì)列，得到了穩(wěn)態(tài)概率的顯示表達(dá)式。Zhou 等［4］研究了具有馬爾可夫調(diào)制服務(wù)時(shí)間的單服務(wù)器隊(duì)列，得到系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間等性能指標(biāo)。Allen等［5］研究了具有時(shí)變到達(dá)率和服務(wù)率的多服務(wù)器系統(tǒng)，并且獲得了隊(duì)列長(zhǎng)度分布。以上研究都假設(shè)服務(wù)率的改變發(fā)生在一個(gè)包完成服務(wù)時(shí)刻，因此求解復(fù)雜度降低。文獻(xiàn)［6］研究了馬爾可夫調(diào)制服務(wù)率的隊(duì)列，在一個(gè)請(qǐng)求的服務(wù)過程中服務(wù)率可變。針對(duì)M2M 業(yè)務(wù)可變服務(wù)率的研究，文獻(xiàn)［7］研究了H2H、M2M 業(yè)務(wù)共享LTE 網(wǎng)絡(luò)資源時(shí)的可變服務(wù)率包級(jí)排隊(duì)系統(tǒng)，得到海量M2M業(yè)務(wù)對(duì)H2H 業(yè)務(wù)性能的影響。文獻(xiàn)［8］研究了帶有門限的休假排隊(duì)系統(tǒng)，將H2H 業(yè)務(wù)的休假期看作是M2M 業(yè)務(wù)的服務(wù)期，研究了海量M2M 業(yè)務(wù)對(duì)H2H 平穩(wěn)語音業(yè)務(wù)的影響。

由于SDS 包在接受服務(wù)期間，其服務(wù)率隨SVS 的狀態(tài)時(shí)變，因此各個(gè)SDS 包的服務(wù)時(shí)間并非獨(dú)立同分布，無法用經(jīng)典排隊(duì)論方法來求解。本文采用3GPP 建議的beta 分布對(duì)SDS 數(shù)據(jù)包到達(dá)過程［9］進(jìn)行建模，采用多態(tài)MMPP 對(duì)視頻環(huán)境過程［10］進(jìn)行建模，運(yùn)用隨機(jī)過程分析理論、排隊(duì)論和概率論分析時(shí)變馬爾可夫調(diào)制服務(wù)率下SDS的服務(wù)特性，得到SDS 的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)時(shí)間的均值和方差。數(shù)值仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，SDS 平均服務(wù)時(shí)間受SVS 的突發(fā)度、到達(dá)率和服務(wù)率影響，而不受視頻環(huán)境過程的狀態(tài)變化速率影響，SDS 的服務(wù)時(shí)間還與自身的到達(dá)率有關(guān)。

1 系統(tǒng)建模

1.1 業(yè)務(wù)源建模

選取3GPP 建議的beta 分布對(duì)SDS 數(shù)據(jù)包的到達(dá)過程進(jìn)行建模，即SDS 包的到達(dá)時(shí)間間隔服從beta 分布。beta 分布定義在區(qū)間［0，1］上，用參數(shù)(a，b)描述，其概率密度函數(shù)f(x)為:

通過選擇不同的參數(shù)(a，b)，beta 分布可以描述不同的到達(dá)特性。beta 分布的期望和方差分別為:

為了描述視頻業(yè)務(wù)的突發(fā)性和相關(guān)性，同時(shí)還能得到可行的解析解，本文采用MMPP-2 對(duì)SVS 數(shù)據(jù)包的到達(dá)過程進(jìn)行建模。MMPP-2 用4個(gè)參數(shù){α，β，r1，r2}表示［10］，圖1 為MMPP-2 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。

圖1 MMPP-2 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 State transition diagram of MMPP-2

SVS 平均到達(dá)率為:

SVS 到達(dá)率的平方變差系數(shù)為:

式中:α、β 分別為狀態(tài)S1和S2的平均到達(dá)率;r1為狀態(tài)S1到S2的轉(zhuǎn)移率;r2為狀態(tài)S2到S1的轉(zhuǎn)移率。

1.2 系統(tǒng)建模

在M2M 組網(wǎng)中，實(shí)時(shí)SVS 優(yōu)先占用系統(tǒng)帶寬，具有時(shí)延容忍特性的SDS 占用系統(tǒng)的剩余帶寬。本文將SVS 的狀態(tài)看作環(huán)境過程Z(t)，SDS的服務(wù)率隨環(huán)境過程Z(t)時(shí)變，將SDS 的隊(duì)長(zhǎng)看作隨機(jī)過程X(t)，系統(tǒng)模型如圖2 所示。

圖2 系統(tǒng)模型Fig.2 System model

本文建立包級(jí)排隊(duì)模型，假定M2M 組網(wǎng)的系統(tǒng)容量為S;SVS 包的帶寬需求為D;到達(dá)過程服從MMPP-2 分布;逗留時(shí)間服從參數(shù)為μ 的指數(shù)分布。采用二維變量(Y1，Y2)(Y1={0，1，…，N}，Y2={1，2})描述系統(tǒng)中SVS 的狀態(tài)，第1 維表示系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的SVS 包的個(gè)數(shù)，N 為滿足條件ND ≤S 的最大正整數(shù)，即任意時(shí)刻，SVS 所占用的系統(tǒng)帶寬不能超過系統(tǒng)容量;第2維表示SVS 包的到達(dá)相位。由于系統(tǒng)的剩余帶寬只與正在接受服務(wù)的SVS 包個(gè)數(shù)有關(guān)，與SVS包到達(dá)相位無關(guān)。因而環(huán)境過程處于狀態(tài)(i，k)時(shí)，SDS 可利用的系統(tǒng)帶寬為vi，vi=S－iD。SDS包的到達(dá)時(shí)間間隔服從beta(a，b)分布，為了保證到達(dá)系統(tǒng)的包具有無記憶性，假定SDS 包長(zhǎng)服從參數(shù)為u 的指數(shù)分布，則環(huán)境狀態(tài)為(i，k)時(shí)SDS 的服務(wù)率為θi=uvi。

假定在無窮小時(shí)間內(nèi)，SVS 最多只能到達(dá)或者服務(wù)一個(gè)包，則環(huán)境過程Z(t)是一個(gè)二維馬爾可夫過程，其無窮小生成矩陣Q 如下:

式中:

環(huán)境過程Z(t)的穩(wěn)態(tài)概率矩陣P 通過下式求解:

式中:Q 為2(N+1)階方陣;P 為2(N+1)維行向量;e 為2(N+1)維單位列向量。

2 模型求解

2.1 SDS 包開始接受服務(wù)時(shí)Z(t)狀態(tài)概率空間

運(yùn)用隨機(jī)過程分析理論、概率論和馬爾可夫排隊(duì)理論，分析Z(t)處于狀態(tài)(i，k)的穩(wěn)態(tài)概率pik、SDS 包到達(dá)系統(tǒng)時(shí)Z(t)處于狀態(tài)(i，k)的概率及SDS 包開始接受服務(wù)時(shí)Z(t)處于狀態(tài)(i，k)的概率πik之間的相互關(guān)系。

如果第n 個(gè)SDS 包到達(dá)系統(tǒng)時(shí)立刻接受系統(tǒng)服務(wù)，則令I(lǐng)n=1，否則In=0。

式中:γ(γ ＞0)為第n 個(gè)SDS 包到達(dá)系統(tǒng)時(shí)接受系統(tǒng)服務(wù)的概率。

式中:γik為第n 個(gè)SDS 包到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，環(huán)境狀態(tài)為(i，k)時(shí)，這個(gè)包接受服務(wù)的比例。

式中:N(n)為前n 個(gè)到達(dá)系統(tǒng)的包中接收系統(tǒng)服務(wù)的包個(gè)數(shù)。

由上面的定義可以得到:

因而第n 個(gè)SDS 包到達(dá)系統(tǒng)時(shí)Z(t)處于狀態(tài)(i，k)的概率可以表示為:

化簡(jiǎn)式(15)得:

式(16)兩邊令n 趨于無窮，由于γ ＞0，則N(n)也趨于無窮，得到和πik極限概率之間的關(guān)系為:

將式(18)代入式(17)中，得出:

由式(11)和(12)可以得出:

當(dāng)SDS 到達(dá)率趨于0 時(shí)，到達(dá)時(shí)間間隔趨于無窮大，此時(shí)可以認(rèn)為一個(gè)包到達(dá)系統(tǒng)后立刻接受系統(tǒng)服務(wù)。SDS 到達(dá)率為0 時(shí)，和πik分別表示為和它們之間的關(guān)系為:

當(dāng)數(shù)據(jù)包的到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)，包到達(dá)系統(tǒng)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的分布和系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布是相同的，這個(gè)重要的性質(zhì)為PASTA(Possion arrivals see time averages)［11］。本文利用最小二乘法擬合，通過仿真得出當(dāng)a=1，b ＞3 時(shí)，beta(a，b)與負(fù)指數(shù)分布具有類似的統(tǒng)計(jì)特性，可以較好地近似為負(fù)指數(shù)分布。因此在滿足以上要求的參數(shù)時(shí)，利用PASTA 可以得到π*ik 和pik之間的關(guān)系為:

(3)πik和pik之間的關(guān)系

由式(20)(22)可知，當(dāng)SDS 到達(dá)率分別趨于0 和無窮時(shí)，SDS 包開始接受服務(wù)時(shí)Z(t)處于狀態(tài)(i，k)的概率πik與Z(t)處于狀態(tài)(i，k)的穩(wěn)態(tài)概率之間關(guān)系可以表示為:

當(dāng)SDS 到達(dá)率為其他值時(shí)，無法得到SDS 包開始接受服務(wù)時(shí)Z(t)處于狀態(tài)(i，k)的概率πik關(guān)于穩(wěn)態(tài)概率pik的閉式解。因此分析到達(dá)率趨于零和無窮這兩種特殊情況，然后用這兩種特殊情況作近似分析。

2.2 SDS 包服務(wù)特性分析

由于SDS 服務(wù)率只與系統(tǒng)中接受服務(wù)的SVS包個(gè)數(shù)有關(guān)，因此在分析SDS 包服務(wù)過程時(shí)只考慮SVS 狀態(tài)第一維的影響。假設(shè)SDS 包開始接受服務(wù)時(shí)，Z(t)處于狀態(tài)(i，Y2)，定義該SDS 包的服務(wù)時(shí)間為Ti，它的服務(wù)可以分為兩種情況:

(1)服務(wù)完成之后，Z(t)仍然處于狀態(tài)(i，Y2)，即該SDS 包在環(huán)境狀態(tài)(i，Y2)下接受完服務(wù)。此時(shí)服務(wù)時(shí)間可以表示為Hi，由于環(huán)境狀態(tài)為(i，Y2)時(shí)，SDS 包的服務(wù)率為θi，因此Hi服從參數(shù)為θi的指數(shù)分布。

(2)服務(wù)未完成，Z(t)的狀態(tài)改變。假定SDS 包在Z(t)處于狀態(tài)(i，Y2)時(shí)未完成服務(wù)，Z(t)第一步跳轉(zhuǎn)到狀態(tài)(j，Y2)，跳轉(zhuǎn)時(shí)間表示為Gij。顯然，Ti等于狀態(tài)(i，Y2)與狀態(tài)(j，Y2)之間的跳轉(zhuǎn)時(shí)間Gij加上跳轉(zhuǎn)到狀態(tài)(j，Y2)后的服務(wù)時(shí)間。

由于SDS 包的服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，因此跳轉(zhuǎn)到狀態(tài)(j，Y2)之后所剩余的SDS 工作量依然服從參數(shù)為u 的指數(shù)分布，跳轉(zhuǎn)到狀態(tài)(j，Y2)后的服務(wù)時(shí)間可以表示為Tj。由上述分析可得Ti的表達(dá)式為:

式中:Gij為Z(t)狀態(tài)(i，Y2)到(j，Y2)之間的跳轉(zhuǎn)時(shí)間。

顯然，Z(t)第一維各態(tài)之間的跳轉(zhuǎn)率是一個(gè)二維矩陣，而Hi是服從一維參數(shù)θi的指數(shù)分布。由于SDS 的服務(wù)率只與當(dāng)前時(shí)刻環(huán)境過程Z(t)的第一維狀態(tài)有關(guān)，因此本文忽略Z(t)第二維到達(dá)相位的影響，用平均到達(dá)率、平均服務(wù)率來表示Z(t)第一維各態(tài)間的跳轉(zhuǎn)率。將Gij簡(jiǎn)化為一維，同時(shí)不改變各環(huán)境狀態(tài)下SDS 包的服務(wù)率。因此Z(t)的無窮小生成矩陣Q 可以表示為Q1，則Gij服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其中是無窮小生成矩陣Q1中的元素。

利用LS 變換求解Ti的均值和方差。對(duì)式(26)兩邊進(jìn)行LS 變換得到:

式(27)兩邊同時(shí)對(duì)s 求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)并令s=0，得到以下等式:

求解式(28)和(29)可得出E(Ti)和E(Ti2)(i={0，1，…，N})。

SDS 的服務(wù)時(shí)間均值和方差可以表示為:

分別將式(23)(24)代入到式(30)(31)中，可以得出上述兩種特殊到達(dá)率下SDS 服務(wù)時(shí)間的均值和方差。

當(dāng)SDS 到達(dá)率為其他值時(shí)，無法得到服務(wù)時(shí)間的閉式表達(dá)式。因此，本文研究上述兩種特殊情況，用上述兩種特殊情況作近似分析。假定SDS 到達(dá)率趨于無窮時(shí)所求得的平均服務(wù)時(shí)間為T∞，當(dāng)SDS 包的到達(dá)時(shí)間間隔剛超過T∞時(shí)，SDS隊(duì)列穩(wěn)定，平均服務(wù)時(shí)間可以近似認(rèn)為是T∞。當(dāng)SDS 到達(dá)時(shí)間間隔很大時(shí)可以用到達(dá)率為0 來近似。

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

通過仿真研究了SVS 優(yōu)先占用服務(wù)器帶寬時(shí)服務(wù)器對(duì)SDS 的服務(wù)能力及SDS 的服務(wù)特性。主要研究了SVS 對(duì)SDS 服務(wù)特性的影響。設(shè)置仿真參數(shù)為:S=1.4;D=0.325;u=10;a=1;b=3.5;μ=1 ～20;SVS 平均到達(dá)率ρv=1 ～10個(gè)/ms;SVS 的平方變差系數(shù)Cv=0.14 ～0.70。

首先，分析SVS 的突發(fā)度對(duì)SDS 服務(wù)特性的影響，采用Cv來描述SVS 的突發(fā)度。取ρv=5，μ=3。圖3 為在兩種特殊SDS 到達(dá)率下，SVS 的突發(fā)度對(duì)SDS 服務(wù)時(shí)間均值和方差的影響。分析圖3 可知，SVS 的Cv越大，SDS 的平均服務(wù)時(shí)間越小，SDS 的服務(wù)時(shí)間越穩(wěn)定。這是因?yàn)樵赟VS 平均到達(dá)率一定而Cv增大時(shí)，SVS 沒有包到達(dá)的時(shí)間段變長(zhǎng)。對(duì)于SDS 而言，它的平均服務(wù)率增大，因此服務(wù)時(shí)間減小。

然后，分析SVS 的到達(dá)率對(duì)SDS 服務(wù)時(shí)間的影響，取μ=3，如圖4(a)所示。從圖4(a)可以看出SDS 的服務(wù)時(shí)間隨著SVS 到達(dá)率的增大而增大，最終趨于某一定值。這是由于當(dāng)SVS 的到達(dá)率增大時(shí)，任意時(shí)刻系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的SVS包的個(gè)數(shù)增多，SDS 可用的系統(tǒng)剩余帶寬減少，因此它的服務(wù)時(shí)間增大。當(dāng)SVS 的到達(dá)率增大到一定程度時(shí)，任意時(shí)刻系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的SVS 包個(gè)數(shù)達(dá)到N 的概率趨近于1，此時(shí)剩余帶寬趨于定值，因此SDS 的服務(wù)時(shí)間最終趨于定值。

圖3 SDS 服務(wù)時(shí)間均值和方差Fig.3 Average service time and variance of service time of SDS

接下來分析SVS 服務(wù)率對(duì)SDS 平均服務(wù)時(shí)間的影響。由圖4(b)可以看出，SVS 的服務(wù)率增大時(shí)，SDS 的平均服務(wù)時(shí)間減小，并最終趨于定值。顯然，在SVS 到達(dá)率一定的情況下，服務(wù)率增大，服務(wù)器用更短的時(shí)間服務(wù)完等量的SVS包。因此，服務(wù)器對(duì)SDS 包的平均服務(wù)率增大，SDS 的服務(wù)時(shí)間減小。當(dāng)SVS 的服務(wù)率遠(yuǎn)大于到達(dá)率時(shí)，服務(wù)器對(duì)SVS 的服務(wù)時(shí)間可以忽略，此時(shí)SDS 可用的系統(tǒng)帶寬趨于恒定，因此SDS 服務(wù)時(shí)間隨著SVS 服務(wù)率的增大最終趨于定值。

最后分析隨機(jī)過程Z(t)變化速率對(duì)SDS 服務(wù)特性的影響。由于SDS 到達(dá)時(shí)間間隔剛超過到達(dá)率趨于無窮時(shí)求出的平均服務(wù)時(shí)間T∞，用到達(dá)率趨于無窮這種特殊情況來近似分析。隨機(jī)過程Z(t)的變化速率與SVS 的到達(dá)率和服務(wù)率有關(guān)，引入放大因子g 來反映隨機(jī)環(huán)境過程Z(t)的變化速率，g 值越大表示隨機(jī)過程Z(t)變化得越快。圖4(c)為放大因子g 對(duì)SDS 服務(wù)時(shí)間均值和方差的影響。

圖4 SDS 服務(wù)特性Fig.4 Service feature of SDS

從圖4(c)可以看出:g 值的變化基本不會(huì)影響SDS 的平均服務(wù)時(shí)間;而隨著g 值的增大，SDS服務(wù)時(shí)間的方差不斷減小，最終趨于恒定值。這是因?yàn)楫?dāng)環(huán)境過程變化速率增大到一定程度時(shí)，在一個(gè)SDS 包服務(wù)期間，環(huán)境過程已經(jīng)遍歷了所有的狀態(tài)，SDS 包的服務(wù)率趨于所有環(huán)境狀態(tài)下服務(wù)率的平均值。因此它的服務(wù)時(shí)間比較穩(wěn)定，服務(wù)時(shí)間的方差趨于定值。

根據(jù)模型求解部分可知，當(dāng)SDS 到達(dá)率不同時(shí)，SDS 包開始接受服務(wù)時(shí)的環(huán)境狀態(tài)概率空間不同，因此SDS 服務(wù)時(shí)間不同。由圖3 和圖4 可以看出，當(dāng)SDS 到達(dá)率為無窮時(shí)，服務(wù)時(shí)間明顯比到達(dá)率為0 時(shí)小，然而很難得到SDS 包服務(wù)時(shí)間關(guān)于它的到達(dá)率的閉式解。

4 結(jié)束語

分析了在SVS 優(yōu)先占用系統(tǒng)帶寬時(shí)，網(wǎng)絡(luò)對(duì)SDS 的服務(wù)能力及SDS 的服務(wù)特性?？紤]到SDS的時(shí)延容忍特性，將SDS 的服務(wù)率看作隨SVS 狀態(tài)時(shí)變?；谂抨?duì)理論、概率論和隨機(jī)過程分析理論，分析了SDS 的服務(wù)過程;在滿足一定要求的參數(shù)下推導(dǎo)得到SDS 服務(wù)時(shí)間的均值和方差。為SVS 優(yōu)先占用系統(tǒng)帶寬時(shí)SDS 的服務(wù)分析提供了一種可行的方法，為網(wǎng)絡(luò)資源控制提供了理論依據(jù)。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，SDS 的服務(wù)時(shí)間與SVS 到達(dá)的突發(fā)度、到達(dá)強(qiáng)度和服務(wù)率及SDS 自身到達(dá)率有關(guān)。

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