一類神經(jīng)元耦合系統(tǒng)的同步行為

霍玉洪

（淮南師范學(xué)院 金融學(xué)院，安徽 淮南 232038）

0 引 言

從20世紀(jì)60年代開始，非線性科學(xué)得到了蓬勃發(fā)展。在非線性動力學(xué)發(fā)展的同時，關(guān)于同步的概念和理論也得到進一步發(fā)展。1673年，Huygens研究懸掛在同一橫梁上的兩個弱耦合的擺鐘，發(fā)現(xiàn)相同步的現(xiàn)象。從而最早提出了同步的概念，此后，對于同步的研究主要以耦合周期系統(tǒng)為研究對象。直到1990年，Pecora和Carrol論證了兩個耦合的混沌系統(tǒng)能夠達到同步，引發(fā)了研究混沌同步的熱潮［1－2］。對于耦合的混沌系統(tǒng)，研究者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)各種類型的同步狀態(tài)，諸如完全 同 步（complete synchronization）、相 位 同 步（phase synchronization）、滯后同步（lag synchronization）、期 望 同 步（anticipating synchronization）、射影同步（projective synchronization）、廣義同步（generalized synchronization）、陣發(fā)性滯后同步（intermittent lag synchronization）、弱相同步（imperfect phase synchronization）和幾乎完全同步（almost complete synchronization）等。因此，關(guān)于同步的研究已經(jīng)從周期振子的鎖相同步擴展到了混沌系統(tǒng)的同步，從兩個或者三個耦合系統(tǒng)的同步擴展到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步［3－6］。

眾所周知，構(gòu)成生物神經(jīng)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)單元是神經(jīng)元，其放電活動涉及其復(fù)雜的物理化學(xué)過程，表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為。而生物神經(jīng)系統(tǒng)是由數(shù)目眾多的神經(jīng)元所構(gòu)成，單個細(xì)胞對信息的反應(yīng)則是通過細(xì)胞的集群共同完成的，而不是僅僅單個細(xì)胞的功能。所以，對于耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步研究提出了許多新的非線性動力學(xué)問題，病態(tài)的同步往往會導(dǎo)致某種生理疾病的發(fā)生，例如帕金森癥、手的顫動和癲癇病等。利用新興的非線性動力學(xué)的概念和方法，找到消除這些病態(tài)的同步方法和措施具有非常重大的意義。

近年來，關(guān)于耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步研究備受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。許多研究者用非線性動力學(xué)的方法對鈣離子進行研究，通過鈣離子振蕩行為和同步現(xiàn)象來揭示生物細(xì)胞系統(tǒng)的復(fù)雜動力行為，從而深入了解生物細(xì)胞系統(tǒng)產(chǎn)生的生理根源和機制。

在國外，Azhenov M［7］等研究了Hindmash－Rose系統(tǒng)的鏈?zhǔn)竭B接的耦合的神經(jīng)元的群體行為。隨著耦合強度的不斷加大，耦合系統(tǒng)的神經(jīng)元的規(guī)則化也隨之提高。Belykh［6］等研究了Hindmash－Rose系統(tǒng)的耦合強度的變化和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞牟煌瑢ν綘顟B(tài)的影響。Mainieri［8］等研究了Hindmash－Rose系統(tǒng)的方格子耦合神經(jīng)元群體的共振結(jié)構(gòu)隨時間的變化過程。在國內(nèi)，石霞［9］等研究了Hindmash－Rose系統(tǒng)在環(huán)式結(jié)構(gòu)下的電耦合的完全同步模式。在同步流形處對系統(tǒng)進行線性化，利用微分方程的穩(wěn)定性理論和Lyapunov方法，得到了同步穩(wěn)定性的一個判定條件。王青云［10－11］等研究了具有對稱結(jié)構(gòu)的耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步行為，并且利用動力系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定理論和矩陣?yán)碚?，得到了對稱耦合神經(jīng)元系統(tǒng)同步的一個充分條件，而且給出了不同連接方式下，對稱連接的電耦合神經(jīng)元同步的臨界值的理論結(jié)果。

文中針對由Borghans［12］等提出的一類生物神經(jīng)元系統(tǒng)模型，推導(dǎo)了4個完全相同的神經(jīng)元在鏈?zhǔn)今詈线B接方式下達到完全同步的耦合強度的理論值，通過數(shù)值模擬驗證了結(jié)論的正確性，給出了時序圖、相圖，同步差隨著耦合強度的變化圖，給出的完全同步的狀態(tài)，針對現(xiàn)實中很多神經(jīng)元是不會完全相同的，同等連接方式下，通過參數(shù)的變化選取4個不同的神經(jīng)元進行了對比分析。

1 模型介紹

文中主要研究描述由Borghans等提出的鈣振蕩模型［11］，對于單個神經(jīng)元，動力學(xué)方程可以用下面的數(shù)學(xué)模型來描述：

式中：Cacyt——細(xì)胞液中的自由鈣離子濃度；

Caer——胞液中的內(nèi)質(zhì)網(wǎng)中的自由鈣離子濃度；

IP3——胞液中的三磷酸肌醇濃度。

以上的各項滿足如下關(guān)系等式：

對于單個神經(jīng)元來說，模型中的參數(shù)取值分別為：kleak＝19.5μm／s；kpump＝6.5μm／s；kin1＝1.0μm／s；kin2＝2.0μm／s；kp＝2.5μm／s；kd＝80μm／s；kf＝1.0s－1；kout＝10s－1；K2＝0.1μm；Ka＝0.4μm；Ky＝0.2μm；Kz＝0.3μm；Kp＝1.0μm；Kd＝0.4μm；ε＝0.1；r＝0.798 1～1.196。

2 完全同步的充分條件的判定

在鏈?zhǔn)竭B接方式下，參照文獻［9－10］中的相應(yīng)結(jié)論，對于系統(tǒng)（1），選定參數(shù)r＝0.99，則連接矩陣

則Achain的所有的特征值為

在同步流形處，選取參數(shù)r＝0.99，線性化系統(tǒng)（1），同時用Matlab計算得：Cacyt＝0.306 0；Caer＝1.730 9；IP3＝0.368 3。

相應(yīng)的Jacobi矩陣記為DF（s（t）），代入具體的數(shù)值得

令

A（s（t））＝DF（s（t））＋DF（s（t））T

B（s（t））取A（s（t））的二階主子式，則

根據(jù)文獻［10］中的結(jié)論，得到在鏈?zhǔn)竭B接方式下，4個耦合神經(jīng)元的達到同步的耦合強度為

3 數(shù)值仿真結(jié)果

根據(jù)上述理論分析，對于系統(tǒng)（1），在鏈?zhǔn)竭B接方式下，選定4個神經(jīng)元。對于全同神經(jīng)元的情形，選取參數(shù)r＝0.99；對于非同的神經(jīng)元，選取參數(shù)r1＝0.85，r2＝0.99，r3＝1.0，r4＝1.13。當(dāng)耦合強度g不同值時，4個鏈?zhǔn)竭B接的耦合生物細(xì)胞的時序圖的變化如圖1～圖5所示。

圖1 當(dāng)g＝0.000 1時的空間歷程圖

圖2 當(dāng)g＝4.0時（cell2，cell3，cell4）的3－D空間相圖

圖3 神經(jīng)元max｜Cacyt1－Cacyt3｜隨著耦合強度的變化圖

圖4 神經(jīng)元的相位差max‖e‖隨著耦合強度的變化圖

圖5 不同g值的完全同步相圖

圖1 中峰同步現(xiàn)象出現(xiàn)，隨著耦合強度g的增加，可見圖3和圖4。當(dāng)耦合強度g＝4.5時，相同的cell1和cell3達到了完全同步，同時4個全同的鏈?zhǔn)今詈霞?xì)胞的相位差‖e‖的最大值趨于零，這說明耦合生物系統(tǒng)（1）達到完全同步時耦合強度的臨界值為4.5，鏈?zhǔn)今詈系?個細(xì)胞此時達到完全同步。但是，對于非同的細(xì)胞，耦合強度的不斷增加，只能達到近似完全同步的狀態(tài)。從圖2和圖5中可以看出，（cell2，cell3，cell4）的空間相圖隨著耦合強度的不斷增加，當(dāng)耦合強度g增加到4.5時，全同的神經(jīng)元達到了完全同步狀態(tài)，而對于非同神經(jīng)元，達到完全同步是非常困難的。

4 結(jié) 語

在耦合生物細(xì)胞中，同步行為承擔(dān)著信息傳遞和編碼的重要作用，研究耦合細(xì)胞的不同鏈接方式和耦合強度對同步的影響具有重要的意義。文中對于選定的模型系統(tǒng)（1），以4個全同的神經(jīng)元為例，利用穩(wěn)定性理論和矩陣?yán)碚撚嬎愠鲞_到完全同步所需的耦合強度的最小值為17.512 4，為判定完全同步的現(xiàn)象提供了理論參考。但是在數(shù)值仿真中可以看到，完全同步所需耦合強度的最小值為4.5，這主要是由于判定的條件是充分的、粗糙的。但是計算的結(jié)果能夠為完全同步提供一個可供參考的閾值。文中還對非全同的神經(jīng)元進行了對比分析，鏈?zhǔn)今詈系姆侨窠?jīng)元所需的耦合強度的臨界值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于全同神經(jīng)元所需要的，數(shù)值仿真部分很好地驗證了上面的結(jié)論。所以，對于不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、時滯和隨機連接對同步的影響是進一步研究的方向。

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