錦囊妙計(jì) 成竹在胸

范洪雷

對(duì)于分式求值的問(wèn)題，一般都是先化簡(jiǎn)后代入，但有一些求值題，特別是隱含條件的求值題，用這種辦法非常麻煩，或者根本做不出來(lái)，這時(shí)需用整體代入或者將所給條件恒等變形等方法，使問(wèn)題得以解決.

1. 整體代入法

例1 已知：+=4，則=______.

【妙解】由已知條件，得a+b=4ab.

====1.

【點(diǎn)評(píng)】分式化簡(jiǎn)求值中經(jīng)常運(yùn)用整體代換思想——整體代換是指在解決某些問(wèn)題時(shí)，把一些組合式子看作一個(gè)“整體”，并把這個(gè)“整體”直接代入另一個(gè)式子，從而可避免局部運(yùn)算的麻煩和困難. 有些問(wèn)題，從表面上看需要局部求出各有關(guān)量，但實(shí)質(zhì)上，若從整體上把握這些量之間的關(guān)系，則思路更為明朗，解法更為巧妙.

2. 倒數(shù)法

例2 已知=，求÷

-x-2的值.

【妙解】因?yàn)?，

所以=++1，

所以1-=++1，

所以-=+.

又因?yàn)椤?/p>

-x-2=÷

-=÷=·=.

所以原式=

-=（+）=.

【點(diǎn)評(píng)】此題運(yùn)用的方法主要是倒數(shù)法.

3. 參數(shù)求值法

例3 已知==，abc≠0，則=_______.

【妙解】令===k（k≠0），

則a=2k，b=3k，c=4k，所以

=

=

==.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)已知條件形如==（xyz≠0），所要求的分式是一個(gè)含x，y，z，a，b，c而又不易化簡(jiǎn)的分式時(shí)，通常設(shè)===k（k≠0），然后將其變形為x=ka，y=kb，z=kc，代入所求分式，從而得解，這種解題方法叫參數(shù)求值法.

4. 遞進(jìn)相加法

例4 化簡(jiǎn)+++.

【妙解】原式=+++

=++

=+=.

【點(diǎn)評(píng)】本題如果直接通分計(jì)算太復(fù)雜，觀察發(fā)現(xiàn)：前兩個(gè)分式的分母之積可運(yùn)用平方差公式且分子相同，所以可先將前兩個(gè)分式通分，發(fā)現(xiàn)計(jì)算所得分式的分母與第三個(gè)分式的分母又符合平方差公式，因而依次類推可解此題.

5. 裂項(xiàng)相消法

例5 計(jì)算：+++…+.

【妙解】原式=-+-+-…-+=-+=.

【點(diǎn)評(píng)】由于=-+，=-+，…，所以考慮用裂項(xiàng)相消法解本題.

（作者單位：江蘇省淮安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）