計(jì)算長(zhǎng)電纜電機(jī)端電壓的遞推算法

俞光

（南京工程學(xué)院工業(yè)中心，江蘇南京211167）

在風(fēng)力發(fā)電等大功率場(chǎng)合，變流器與電機(jī)間通常由上百m的長(zhǎng)線電纜連接，而變流器輸出電壓為上升時(shí)間僅幾μs 的調(diào)制波，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)線電纜傳輸后，在電機(jī)端發(fā)生反射現(xiàn)象［1-4］，導(dǎo)致機(jī)端過(guò)電壓?jiǎn)栴}［5-7］，最嚴(yán)重的情況下機(jī)端電壓會(huì)達(dá)到變流器輸出電壓的2倍，威脅繞組絕緣，以及帶來(lái)嚴(yán)重的電磁干擾［8-9］。

在電機(jī)端進(jìn)行阻抗匹配能有效抑制過(guò)電壓，但是安裝不方便。目前最常見(jiàn)的處理方法是在變流器中安裝RLC濾波器［10-17］，以濾除調(diào)制波的陡峭上升沿，使得變流器的輸出電壓具有一定的上升時(shí)間。理論分析和實(shí)踐已驗(yàn)證該方法的確可以起到抑制電機(jī)端過(guò)電壓的效果，但抑制效果與濾波器輸出電壓的上升時(shí)間具有密切聯(lián)系。因此研究電機(jī)端電壓的大小與上升時(shí)間的關(guān)系具有重要意義。

文獻(xiàn)［9-12］根據(jù)均勻傳輸線和反射理論進(jìn)行定性分析，給出了在變流器輸出電壓為梯形波情形下電機(jī)端電壓的反射過(guò)程，但在上升時(shí)間是多次傳輸時(shí)間時(shí)，反射理論分析顯得非常困難，而且很難得到電機(jī)端電壓在整個(gè)時(shí)域上的表達(dá)式。文獻(xiàn)［18-20］根據(jù)拉普拉斯變換或時(shí)域法求解了傳輸線路上的波函數(shù)。然而，沒(méi)有具體針對(duì)變流器輸出的梯形調(diào)制波，準(zhǔn)確給出電機(jī)端電壓在整個(gè)時(shí)域的具體表達(dá)式，以及關(guān)于極端電壓收斂性、最大值等詳細(xì)特性的嚴(yán)格論證。

本文首先給出一般形式的電機(jī)端電壓和變流器輸出電壓的時(shí)域關(guān)系，即電機(jī)端電壓的遞推關(guān)系。然后針對(duì)變流器輸出電壓為梯形波的情形，推導(dǎo)電機(jī)端電壓關(guān)于上升時(shí)間的表達(dá)式，求出其最大值并指明其振蕩周期和收斂性。最后通過(guò)在MW級(jí)雙饋風(fēng)力發(fā)電實(shí)驗(yàn)臺(tái)，測(cè)出電機(jī)端電壓波形，再與基于本文提出的理論仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明我們的理論分析具有一定的實(shí)際指導(dǎo)意義。

1 電機(jī)端電壓遞推關(guān)系的推導(dǎo)

變流器與電機(jī)間由電纜線路連接，見(jiàn)圖1。

將電纜線路看成是無(wú)損均勻傳輸線［7］，設(shè)電纜的單位長(zhǎng)度電感為L(zhǎng)0，單位長(zhǎng)度電容為C0，位置x 表示從電纜中某點(diǎn)到變流器輸出端的距離，電機(jī)端到變流器的總距離為l。由電路原理可知，位置x 處運(yùn)算形式的電壓U( x,s )和電流I( x,s )關(guān)系為［18］

其中U′(s )和U″(s )需由邊界條件確定。

當(dāng)電機(jī)端等效為阻抗ZL時(shí)，變流器端邊界條件為：U( 0,s )=U1(s )，電機(jī)端邊界條件為：ZLI( l,s )=U( l,s )。于是得［1］：

式中：τ 為單程傳輸時(shí)間；Z0為電纜的特性阻抗。由式（3）可得：

式中，r 為反射系數(shù)。當(dāng)r=1 時(shí)，相當(dāng)于電機(jī)端開(kāi)路；當(dāng)r=-1 時(shí)，相當(dāng)于電機(jī)短路；其它情況-1 ＜r ＜1。這里假設(shè)反射系數(shù)為一常數(shù)，即不含有運(yùn)算算子s，對(duì)于變流器經(jīng)長(zhǎng)線驅(qū)動(dòng)電機(jī)系統(tǒng)而言，電機(jī)對(duì)于調(diào)制電壓呈高阻抗特性，反射系數(shù)一般在0.9附近［12］。

根據(jù)式（3）可求得運(yùn)算形式的電機(jī)端電壓和變流器輸出電壓的關(guān)系為

根據(jù)拉普拉斯變換的延時(shí)性質(zhì)，對(duì)式（5）進(jìn)行拉普拉斯反變換，可得時(shí)域中電機(jī)端電壓的遞推關(guān)系為

該式的含義是：當(dāng)前時(shí)刻的電機(jī)端電壓等于單程傳輸時(shí)間前的變流器輸出電壓的(1 +r )倍減去往返傳輸時(shí)間前的電機(jī)端電壓的r 倍。

2 遞推算法

我們稱(chēng)根據(jù)式（6）計(jì)算電機(jī)端電壓的方法為遞推算法。在遞推的初始段，即當(dāng)t ≤τ 時(shí)，變流器輸出電壓還沒(méi)有傳到電機(jī)端，故u2(t )=0。根據(jù)遞推關(guān)系式（6）可得，當(dāng)( 2k -1) τ ＜t ≤( 2k +1) τ時(shí)，u2(t )的級(jí)數(shù)表達(dá)式為

式中：k=1,2,…。

這就是時(shí)域下電機(jī)端電壓關(guān)于變流器輸出電壓的表達(dá)式。

當(dāng)變流器輸出電壓為梯形波時(shí)，兩端各為一個(gè)斜坡階躍，因此分析一個(gè)斜坡階躍的響應(yīng)即可。此時(shí)，變流器輸出電壓可由分段函數(shù)表示，即

其中 2( m-1) τ ＜tr≤2mτ m=1,2,…

式中：Ud為梯形波的平穩(wěn)段電壓值。

下面根據(jù)式（7）求解電機(jī)端電壓的顯式表達(dá)式。

當(dāng)k ＜m，且( 2k -1) τ ＜t ≤( 2k +1) τ 時(shí)，對(duì)于i=0,1,…,k-1 均有t-( 2i+1) τ ＜tr，因此：

當(dāng)k ≥m，電機(jī)端電壓需要表示為分段函數(shù)的形式?？砂褏^(qū)間[( 2k -1) τ,( 2k +1) τ]分成如下兩段：

當(dāng)( 2k -1) τ ＜t ≤tr+2( k- m )τ+v 時(shí)，

當(dāng)tr+2( k- m )τ+τ ＜t ≤( 2k +1) τ 時(shí)，

綜上所述，式（9）～式（11）包括了電機(jī)端電壓在整個(gè)時(shí)域上的表達(dá)式。當(dāng) |r |＜1 時(shí)，上述級(jí)數(shù)是收斂的，且u2(∞ )=Ud。

圖2 反射系數(shù)為1不同上升時(shí)間下的電機(jī)端電壓斜坡階躍響應(yīng)Fig.2 Trapezoidal response curves of motor terminal voltage with different rise-time when r=1

圖2 為反射系數(shù)為1，變流器輸出電壓在不同的上升時(shí)間下，電機(jī)端電壓的波形，虛線為變流器輸出的梯形波，實(shí)線為電機(jī)端電壓。橫坐標(biāo)為傳輸時(shí)間，單位為單程傳輸時(shí)間次數(shù)，縱坐標(biāo)為電機(jī)端電壓值，單位為V。可看出，在反射系數(shù)為1 的情形下，電機(jī)端電壓在上升時(shí)間之后圍繞變流器輸出電壓振蕩，振蕩周期為4 倍單程傳輸時(shí)間。

3 電機(jī)端電壓的最大值

根據(jù)電機(jī)端電壓在整個(gè)時(shí)域上的表達(dá)式，可以求出其最大值。在-1 ≤r ＜0 的情況下，u2(t) 隨時(shí)間單調(diào)遞增至Ud，不存在電機(jī)端過(guò)電壓現(xiàn)象。

在反射系數(shù)0 ＜r ≤1 的情況下，當(dāng)t=tr+τ時(shí)，電機(jī)端電壓取整個(gè)時(shí)域上的最大值，且最大值為

證明略。

特別地，若反射系數(shù)r=1，則

且m 為奇數(shù)時(shí)，

m 為偶數(shù)時(shí)

該結(jié)論對(duì)于涉及濾波器的輸出電壓上升時(shí)間具有重要意義。

從式（12）可看出，電機(jī)端電壓最大值是上升時(shí)間tr的函數(shù)，如圖3所示。

圖3 電機(jī)端電壓最大值與上升時(shí)間的關(guān)系Fig.3 Curves of the maximum motor terminal voltage versus rise-time

當(dāng)m 為奇數(shù)時(shí)，電機(jī)端電壓的最大值隨tr的增大而增大，當(dāng)m 為偶數(shù)時(shí)，電機(jī)端電壓的最大值隨tr的增大而減少。電機(jī)端電壓的最大值隨著tr的變化以4τ 為周期振蕩?？傊瑸橐种齐姍C(jī)端過(guò)電壓，上升時(shí)間tr最好設(shè)置在4τ 的整數(shù)倍附近，并且倍數(shù)的取值越大抑制效果越好。

4 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文的分析方法符合實(shí)際系統(tǒng)，在2 MW 雙饋風(fēng)電發(fā)電機(jī)變流器試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)電機(jī)端電壓的波形。

實(shí)驗(yàn)條件為：變流器輸出端到電機(jī)轉(zhuǎn)子端由長(zhǎng)度50 m，每相4 根截面積為95 mm2的電纜，變流器的直流側(cè)電壓設(shè)定為550 V，調(diào)制出的線電壓經(jīng)過(guò)RLC濾波器得到變流器輸出電壓，試驗(yàn)電氣連接圖如圖4所示。

圖4 帶RLC濾波器的雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)Fig.4 A doubly-fed wind-energy system with an RLC filter

通過(guò)改變RC 支路的參數(shù)，或拆除RC 支路，使得調(diào)制電壓的上升時(shí)間發(fā)生改變，然后用示波器觀測(cè)電機(jī)端電壓的變化。圖5所示波形對(duì)應(yīng)的電感為0.07 mH，R為30 Ω，電容為0.1 μF，我們?cè)谑静ㄆ魃蠝y(cè)得的電機(jī)端電壓的最大尖峰值約為650 V。

圖5 有RC支路時(shí)電機(jī)端電壓的實(shí)驗(yàn)波形Fig.5 Experimental wave of motor terminal voltage with RC

圖6 所示波形對(duì)應(yīng)于取消RC支路而保留濾波電感時(shí)的電機(jī)端電壓，最大尖峰值為850 V。這兩種情況的電機(jī)端電壓相差很大的原因就是如果有電容的濾波作用，可使得電纜的輸入電壓具有較長(zhǎng)的上升時(shí)間，與前文的分析結(jié)果是吻合的。從示波器上可以看到，在合理選擇RLC參數(shù)的條件下，能將電機(jī)端電壓的最大峰值降到比較小的值。

下面是按本文提出的迭代函數(shù)法得到的仿真波形，在仿真中使用的電纜線電磁波傳輸速度為v=1.5×108m/s。圖7所示波形對(duì)應(yīng)的電感為0.07 mH，R 為30 Ω，電容為0.1 μF 的情況，可以看出其形狀與圖5的波形類(lèi)似。

圖6 無(wú)RC支路時(shí)電機(jī)端電壓的實(shí)驗(yàn)波形Fig.6 Experimental wave of motor terminal voltage without RC

圖7 有RC支路時(shí)電機(jī)端電壓的仿真波形Fig.7 Emulation of motor terminal voltage with RC

圖8 所示的仿真波形對(duì)應(yīng)于取消RC支路而保留濾波電感，它與圖6的實(shí)驗(yàn)波形類(lèi)似。總之，雖然實(shí)驗(yàn)條件與仿真不可能完全一致，但從波形的相似程度來(lái)看，也說(shuō)明本文的結(jié)論具有一定的意義。

圖8 無(wú)RC支路時(shí)電機(jī)端電壓的仿真波形Fig.8 Emulation of motor terminal voltage without RC

5 結(jié)論

本文推導(dǎo)出電機(jī)端電壓與變流器輸出電壓的時(shí)域關(guān)系，并給出顯式表達(dá)式及最大值，為電機(jī)端過(guò)電壓抑制濾波器的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

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