傳感器誤差情況下的線性校正TOA定位算法

朱國輝,馮大政,向平葉,周 延

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室,陜西西安710071)

傳感器誤差情況下的線性校正TOA定位算法

朱國輝,馮大政,向平葉,周 延

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室,陜西西安710071)

傳統(tǒng)定位方法一般是在假設(shè)傳感器位置信息準(zhǔn)確已知的前提下進(jìn)行的。然而在實際情形中,傳感器位置信息往往含有隨機(jī)誤差,這些誤差會嚴(yán)重影響目標(biāo)的定位精度。針對這一問題,提出了一種存在傳感器誤差情況下的線性校正TOA定位算法。首先將非線性TOA定位方程組轉(zhuǎn)化為一組關(guān)于目標(biāo)位置的偽線性方程,利用加權(quán)最小二乘估計進(jìn)行初始求解;然后在此基礎(chǔ)上把偽線性方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于估計偏差的求解問題,進(jìn)而對初始解進(jìn)行線性校正。在測量誤差充分小的情況下分析了該算法的有效性。仿真結(jié)果表明該算法具有較好的定位性能。

定位;加權(quán)最小二乘估計;到達(dá)時間;傳感器位置誤差;線性校正

0 引 言

定位技術(shù)在雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航和傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域[14]有著廣泛的應(yīng)用。就具體的定位參數(shù)信息而言,主要包括到達(dá)時間(time of arrival,TOA)、到達(dá)時間差(time difference of arrival,TDOA)、到達(dá)角(angle of arrival,AOA)和信號到達(dá)強(qiáng)度(received signal strength,RSS)等[58]。目前,常見的利用TOA測量信息對目標(biāo)進(jìn)行定位的算法有泰勒級數(shù)(Taylor-series,TS)法[9]、兩級加權(quán)最小二乘(twostep WLS,TSWLS)法[10]、近似最大似然估計法[11]和多維尺度分析法[12]等。

然而,這些TOA定位方法都是在假設(shè)傳感器位置信息準(zhǔn)確已知的前提下進(jìn)行的;而在實際應(yīng)用中,傳感器常常被安裝在運動平臺上,其位置信息往往含有隨機(jī)誤差。文獻(xiàn)[13 14]的研究表明,傳感器位置中含有的隨機(jī)誤差,即使在很小的情況下,也會嚴(yán)重降低目標(biāo)的定位精度。文獻(xiàn)[13]提出了一種兩級加權(quán)最小二乘TDOA定位方法,該方法利用傳感器位置誤差統(tǒng)計信息設(shè)計加權(quán)矩陣來減輕傳感器位置誤差對目標(biāo)定位精度的影響。在TDOA測量誤差和傳感器位置誤差足夠小時,該方法對遠(yuǎn)場目標(biāo)的定位精度能夠達(dá)到克拉美羅界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)。文獻(xiàn)[14]將兩級加權(quán)最小二乘TDOA定位算法的思想應(yīng)用到傳感器位置誤差情況下的TOA定位場景,所得定位算法在TOA測量誤差和傳感器位置誤差充分小時對近場和遠(yuǎn)場目標(biāo)的定位精度均能達(dá)到CRLB。但是該方法在第二級加權(quán)最小二乘估計求解時涉及到開方運算,產(chǎn)生的定位結(jié)果具有模糊性,并且可能出現(xiàn)虛數(shù)解。目前,文獻(xiàn)[15]將總體最小二乘法應(yīng)用到含有傳感器位置誤差的TOA定位中。然而,所得定位算法并不能達(dá)到CRLB,主要原因是沒有考慮增廣矩陣中誤差分量之間的相關(guān)性,此時,總體最小二乘法并不能得到最優(yōu)解。TS算法通過對非線性TOA定位方程進(jìn)行一階泰勒級數(shù)展開來實現(xiàn)線性化,需要預(yù)先給定一個迭代初始值;其收斂性依賴于初始值的選取和目標(biāo)函數(shù)的非線性程度。當(dāng)初始值接近真實值時,算法收斂速度快,定位精度高;但是在目標(biāo)函數(shù)高度非線性并且初始值選擇不好的情況下,容易落入到局部極小點,而且收斂性難以保證。為此,本文提出了一種傳感器位置誤差情況下的線性校正TOA定位算法,該算法首先利用加權(quán)最小二乘估計對偽線性定位方程組進(jìn)行初始求解;然后將偽線性方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于目標(biāo)位置估計偏差的線性形式來進(jìn)行求解;這里在TOA測量誤差和傳感器位置誤差足夠小的假設(shè)下分析了算法的有效性。仿真結(jié)果表明該算法與傳統(tǒng)TOA定位算法相比具有較好的定位性能。

1 TOA定位模型

不考慮非視距傳播的影響,根據(jù)TOA定位原理可得

式中,ti為測量值;toi表示信號從目標(biāo)uo到傳感器soi的真實時間;Δti為測量誤差;c為信號傳播速度。

將方程(2)兩端同時乘以信號傳播速度得

式中,ni=cΔti表示相應(yīng)的距離測量誤差。

將式(3)寫成矢量形式

式中,ro=[ro1,ro2,…,roN]T;n=[n1,n2,…,nN]T。假定測量誤差矢量n服從均值為零,協(xié)方差矩陣為Qr的高斯分布。

在實際應(yīng)用中,傳感器真實位置坐標(biāo)soi一般未知,需要預(yù)先進(jìn)行估計。假設(shè)估計的含有隨機(jī)誤差的傳感器位置坐標(biāo)si可以表示為

式中,Δsi為傳感器位置隨機(jī)誤差,將式(5)表示為矢量形式

在傳感器位置含有隨機(jī)誤差的情況下,基于多站TOA測量信息的定位問題即為根據(jù)方程組(4)和(6)盡可能準(zhǔn)確地估計目標(biāo)位置坐標(biāo)uo。

2 線性校正TOA定位算法

2.1 加權(quán)最小二乘估計

由式(1)可知,式(3)是關(guān)于目標(biāo)uo的非線性方程,將式(3)兩邊同時取平方,并利用式(1),經(jīng)整理可得

當(dāng)測量誤差ni與2rio相比較小時,有。由于真實的傳感器位置坐標(biāo)sio也是未知量,根據(jù)式(5)可將soi表示為soi=si-Δsi,并代入式(7),經(jīng)整理可得

式(9)為關(guān)于矢量φ的線性方程,其加權(quán)最小二乘解為

式中,加權(quán)矩陣W=E[ηηT]-1=(BQrBT+DQsDT)-1。將

2.2 線性校正TOA定位算法

式(9)在求解過程中假設(shè)φ1中分量uo與uoTuo互不相關(guān),而事實上它們緊密相關(guān)。因此,由式(11)得到的目標(biāo)位置^φ1(1∶3)只是一種粗估計,TSWLS算法[14]是在此基礎(chǔ)上利用uo和uoTuo之間的關(guān)系對定位結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化,但是由于涉及到開方運算,求得的定位結(jié)果具有模糊性,并且可能會產(chǎn)生虛數(shù)解。為此,這里提出一種線性校正TOA定位方法?？紤]到實際值uo與估計值^φ1(1∶3)之間存在偏差,不妨設(shè)此偏差為φ2=Δφ1(1∶3),則實際位置為uo=^φ1(1∶3)-φ2。將uo=^φ1(1∶3)-φ2代入式(8)左端可得

對式(14)進(jìn)行加權(quán)最小二乘求解可得

由式(15)得到的^φ只是初始估計^φ(1∶3)與真實目標(biāo)uo21之間偏差的估計,校正后的目標(biāo)位置為

下面利用一階小誤差擾動理論來求解校正后的目標(biāo)位置估計^u的偏差及協(xié)方差矩陣。及式(16)可知目標(biāo)位置估計^u的偏差為

在TOA測量誤差與傳感器位置誤差充分小時,忽略高于一階的擾動誤差及偏差項,利用關(guān)系式式(14)可得

由式(17)可得

又由η=Bn+DΔs可知E[Δ^u]=03×1,即估計^u為無偏估計。由式(20)和W的定義可得估計^u的協(xié)方差矩陣為

2.3 性能分析

第二，反映價格因素的匯率和平均進(jìn)口價格變量的系數(shù)是所有變量中系數(shù)最高的，這說明進(jìn)口量對價格因素的變化非常敏感。

CRLB界是任意無偏估計所能達(dá)到的下界,由文獻(xiàn)[16]可知基于TOA測量信息的定位問題的CRLB為

當(dāng)誤差矢量n和Δs與ri相比足夠小時,即滿足

時,由式(16)得到的估計^u近似為有效估計。將cov(^u)轉(zhuǎn)化為

令G3=B-1D,由矩陣求逆引理可得

令G4=B-1Go2,則cov(^u)為

根據(jù)Go2、B和D的定義可知矩陣G3和G4的第i行(i=1, 2,…,N)分別為

根據(jù)式(12)可知φ2可表示為n和Δs線性組合的形式,在條件式(25)和(26)下,即在n與Δs足夠小時有

即也就是說,由式(16)所得估計^u在TOA測量誤差和傳感器位置誤差足夠小時近似為有效估計。

3 仿真實驗

為了檢驗文中算法對目標(biāo)位置估計的性能,將該算法與經(jīng)典的TS法、TLS法、TSWLS法及克拉美羅界的仿真結(jié)果進(jìn)行比較。

5個傳感器位置坐標(biāo)分別為

所有位置坐標(biāo)單位均為m。同文獻(xiàn)[14]一樣,假設(shè)各個TOA測量值服從均值為零、方差為的高斯分布,則Qr=,傳感器位置誤差協(xié)方差陣設(shè)為Qs=σs2diag(1,1,1,2, 2,2,10,10,10,40,40,40,3,3,3),采用位置估計的均方根誤差對各算法的定位性能進(jìn)行衡量,其定義式為

式中,~uk為第k次目標(biāo)位置估計;K=104表示蒙特卡羅仿真實驗次數(shù)。

為了對比的公平,用式(11)所得初始定位結(jié)果計算文中算法和TSWLS法的權(quán)值及作為TS法的迭代初值。

仿真1 兩目標(biāo)位置坐標(biāo)分別為uo1=[600,650,550]T和uo2=[2 000,2 500,3 000]T。圖1(a)和圖1(b)分別為各算法在σ2r=10-2情況下對兩目標(biāo)位置估計隨σ2s變化時的均方根誤差的統(tǒng)計結(jié)果。可以看出,即使在傳感器位置誤差較小時,TLS法的均方根誤差也明顯大于CRLB,這是因為它沒有考慮增廣矩陣中誤差分量之間的相關(guān)性;而文中方法、TS法和TSWLS法的均方根誤差均能夠達(dá)到CRLB。隨著測量誤差的增加,各算法的估計均方根誤差都會有所增加,而文中方法的估計均方根誤差一直貼近CRLB,具有較好的定位性能。

仿真2 兩目標(biāo)位置坐標(biāo)分別為uo3=[-400,-550, 450]T和uo4=[2 000,-2 500,-3 000]T。圖2(a)和圖2(b)分別給出了各算法在σ2s=10-2情況下對兩目標(biāo)位置估計隨σ2r變化時的均方根誤差的統(tǒng)計結(jié)果。在測量誤差較小時,從圖2中可以得出與仿真1中類似的結(jié)論,TLS法對兩目標(biāo)位置估計的均方根誤差均明顯大于CRLB,而其余算法能達(dá)到CRLB。隨著測量誤差的增加,各算法的估計均方根誤差均有所增加。在測量誤差較大時,TS法的均方根誤差出現(xiàn)迅速增加的現(xiàn)象,這是因為在測量誤差較大時,迭代初始值距真實值較遠(yuǎn),在迭代過程中出現(xiàn)局部收斂或者發(fā)散的現(xiàn)象;而文中方法對uo3的估計均方根誤差要小于TSWLS法,兩種方法對uo4的估計均方根誤差大小相當(dāng)。

圖1 各算法隨變化時對和的定位性能示意圖

TLS算法盡管也考慮了傳感器位置誤差,但是它忽略了增廣矩陣中誤差分量之間的相關(guān)性,定位性能并不理想; TSWLS法假設(shè)uo與r1相互獨立,在第二級求解過程中涉及到開方運算,會產(chǎn)生模糊解,甚至可能產(chǎn)生復(fù)數(shù)解;而本文方法在第2.2節(jié)中對偽線性方程組進(jìn)行了線性化,從仿真實驗可以看出,在測量誤差較大時本文算法要優(yōu)于TSWLS法。由于TOA定位問題高度非線性,TS法很容易出現(xiàn)發(fā)散或者局部收斂的現(xiàn)象,這在仿真實驗中也得到了驗證。

圖2 各算法隨變化時對u和的定位性能示意圖

4 結(jié)束語

傳感器位置誤差的存在會嚴(yán)重影響目標(biāo)的定位精度,本文針對這一問題提出了一種估計傳感器位置誤差的線性校正TOA定位算法。算法通過兩次加權(quán)最小二乘估計提高了目標(biāo)定位精度。在TOA測量誤差和傳感器位置誤差充分小時,該算法對目標(biāo)的位置估計近似為有效估計。實驗結(jié)果表明,該方法與傳統(tǒng)TOA定位算法相比具有較好的定位性能。

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Linear-correction TOA localization algorithm with sensor location errors

ZHU Guo-hui,FENG Da-zheng,XIANG Ping-ye,ZHOU Yan
(National Lab of Radar Signal Processing,Xidian University,Xi’an 710071,China)

Conventional location algorithms are based on the postulation that the sensor locations are exactly known.However,in practical situations,the sensor positions generally include random errors,which can considerably reduce the source localization accuracy.To tackle this problem,a new time of arrival(TOA)positioning algorithm based on the linear-correction technique is proposed.The proposed algorithm firstly reorganizes the nonlinear TOA equations into pseudo-linear ones and the initial target position estimation is obtained by using weighted least-squares estimatets.Then a linear-correction technique is used to correct the initial position estimate.The effectiveness of the proposed method is theoretically analyzed under sufficiently small noise postulation.Simulation study validates the good performance of the proposed algorithm.

location;weighted least square estimate;time of arrival(TOA);sensor position error;linearcorrection

TN 92

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.04

朱國輝(1987-),男,博士研究生,主要研究方向為無源定位與跟蹤。E-mail:zhugh@stu.xidian.edu.cn

馮大政(1959-),男,教授,博士,主要研究方向為研究方向為盲信號處理、雷達(dá)信號處理、無源定位和陣列信號處理。

E-mail:dzfeng@xidian.edu.cn

向平葉(1987-),女,碩士研究生,主要研究方向為空時信號處理,無源定位。

E-mail:yutong.324@163.com

周 延(1988-),男,博士研究生,主要研究方向為空時信號處理。

E-mail:spainraul123@126.com

網(wǎng)址:www.sys-ele.com

1001-506X(2015)03-0498-05

2014 03 21;

2014 06 24;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2014 10 02。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址:http://w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141022.1315.003.html

國家自然科學(xué)基金(61271293)資助課題