關(guān)于切點(diǎn)三角形與切邊三角形性質(zhì)的初探

●胡文生 (磨溪中學(xué) 江西德安 332000)

關(guān)于切點(diǎn)三角形與切邊三角形性質(zhì)的初探

●胡文生 (磨溪中學(xué) 江西德安 332000)

筆者研讀了本刊2015年第3期尚品山老師的文章［1］后，深受啟發(fā)，也試探研究了另一種三角形的性質(zhì):切邊三角形的性質(zhì)，并結(jié)合切點(diǎn)三角形的特點(diǎn)進(jìn)行了初探，結(jié)果同樣發(fā)現(xiàn)了一些有趣的性質(zhì).

1 關(guān)于切邊三角形的幾個(gè)性質(zhì)

所謂切邊三角形，就是過△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別作3條直線與該頂點(diǎn)所在的外接圓半徑垂直，3條直線相交而成的三角形(如圖1).下面分別介紹它的幾個(gè)性質(zhì).

為了下面敘述方便，本文約定:如圖1，在△ABC中，O為外心，它的邊長(zhǎng)與切邊△A1B1C1的邊長(zhǎng)分別為a，b，c;a1，b1，c1，△ABC，△A1B1C1的面積分別為Δ，Δ1，半周長(zhǎng)、外接圓、內(nèi)切圓半徑分別為s，s1;R，R1;r，r1.

圖1

最后一個(gè)不等式是著名的歐拉不等式，故式( 1) 右邊成立.

2 切點(diǎn)三角形與切邊三角形相關(guān)的幾個(gè)性質(zhì)

如圖2，△A2B2C2是切點(diǎn)三角形，I是△ABC的內(nèi)心，設(shè)它的3條邊分別為a2，b2，c2，半周長(zhǎng)、面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑分別為s2，Δ2，R2，r2，則

性質(zhì) 6 △A2B2C2的外接圓半徑就是△ABC的內(nèi)切圓半徑，即r=R2，由歐拉不等式知

圖2

以上所有不等式當(dāng)且僅當(dāng)所有三角形為正三角形時(shí)取到等號(hào).

由以上性質(zhì)可知:切點(diǎn)三角形與切邊三角形的許多性質(zhì)極其相似，但它們又不是相似三角形，它們與中間的△ABC緊密相連.通過中間的△ABC可以溝通起來，建立一些新的不等式，如性質(zhì)9，又如本文性質(zhì)5中的式(1)和文獻(xiàn)［1］中的式(12)也可以聯(lián)系起來構(gòu)成一個(gè)新的不等式:

限于篇幅，還有一些性質(zhì)不再列出.關(guān)于切點(diǎn)三角形與切邊三角形的性質(zhì)研究還有待繼續(xù)挖掘，本文只是初探，僅作為拋磚引玉.

［1］尚品山.關(guān)于切點(diǎn)三角形的幾個(gè)有趣性質(zhì)［J］.中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(3):30-31.

［2］ Bottema O.幾何不等式［M］.單墫，譯.北京:北京大學(xué)出版社，1990.