關(guān)于非自反空間類映射的拓?fù)涠?/h1>
2015-06-01 10:57:21吳柳嬋陳曉玲
廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào) 2015年1期
吳柳嬋,陳曉玲
(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510520)
吳柳嬋,陳曉玲
(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510520)
拓?fù)涠壤碚撌茄芯糠蔷€性算子定性理論的有力工具，從它可推出許多著名的不動(dòng)點(diǎn)理論．研究非線性方程解的問題在理論上和應(yīng)用上都十分重要，但常用的解析工具(如壓縮映射)處理非唯一(例如出現(xiàn)分歧現(xiàn)象)的解卻無(wú)能為力．度理論的建立，為研究非線性方程多解問題提供了有力工具，它能導(dǎo)出非線性方程解的許多結(jié)果，還可推出許多著名的不動(dòng)點(diǎn)定理．因此，拓?fù)涠壤碚撝苯踊蜷g接地在物理、力學(xué)、微分方程等學(xué)科里獲得了廣泛的應(yīng)用．
1 預(yù)備知識(shí)
為了討論問題方便起見，本文出現(xiàn)的空間E均為實(shí)非自反Banach空間(沒有特別說(shuō)明的情況下)，E*為E的共軛空間，E**為E*的共軛空間，Ω?E**為非空有界開子集．
φ，T:ΩF→E*按范數(shù)拓?fù)溥B續(xù)，則稱T為有限維連續(xù)．
弱*收斂于f0=Tx0．
(1) 存在Ttx:[0,1]×D→E*為有限維連續(xù)；
(2) 任取
弱*收斂于
弱*收斂于f0=Tt0x0．
弱*收斂于
則稱T為廣義偽單調(diào)映射．
對(duì)任意v∈F0都成立，其中d(·,·,·)為有限維空間連續(xù)映射的拓?fù)涠龋?/p>
(1)
(2)
證明 設(shè)xτ∈E**，fτ=Txτ，gτ=φxτ，xτ弱*收斂于x0，滿足
引理3[20]設(shè)E為實(shí)Banach空間，若E*可分，則E可分．
2 主要結(jié)論
則存在有限維F0?E**，使得任意有限維空間F?F0，均有θ*?TFx，對(duì)任意x∈?ΩF都成立．
令WF={任取x∈?Ω，存在f=Tx，使得
對(duì)任意v∈F都成立}為有界集且WF≠φ
對(duì)任意v∈F，取F0，dimF0<+∞，使得
矛盾．故存在有限維F0?E**，使得任意有限維空間F?F0，均有θ*?TFx，對(duì)任意x∈?ΩF都成立．
對(duì)任意v∈F都成立}．則WF≠φ
是WF在[0,1]×E**的閉包．
使得tτ→t0，xτ弱*收斂于
由以上的命題，可定義
?F0，dimF<+∞，dimF0<+∞．
(2) 若Ω1，Ω2均是Ω的開子集，Ω=Ω1∪Ω2，Ω1∩Ω2=φ，則
證明 (1)和(2)的證明同有限維空間的性質(zhì)[22]；
則
矛盾．
證明 假設(shè)F為Hilbert空間，則F*=F．對(duì)于有限維空間
?
φ．
則存在N>0，使得0?
?
對(duì)任意n>N，其中
弱*收斂于
矛盾．
任意v∈Fnk都成立．任取x∈Fnk，k=1,2,…，假設(shè)xτk弱*收斂于x0，同命題6的證明，有
弱*收斂于
對(duì)任意v∈Fnk矛盾．
證明 令
由命題7知，存在N1>0，N2>0，當(dāng)n>N1,N2時(shí)，有
(3)
(4)
結(jié)合式(3)和(4)，故
?
?E**非空有界開子集?E**的稠密子空間為的有限維空間序列?
滿足Ω∩Fn≠φ，若
[1]BrowderFE.Fixedpointtheoryandnonlinearproblems[J].BullAmerMathSoc,1983,1:1-39.
[2]LerayJ,SchauderJ.TopologieetequationsFonctionnelles[J].AnnSciEcoleNormSup,1934,51:45-78.
[3]BrowderFE.Degreeofmappingsfornonlinearmappingsofmonotonetype[J].ProcNatAcadSci,1983,80:1771-1773.
[4]ZhangSS,ChenYQ.Degreetheoryformultivalued(S)typemappingsandfixedpointtheorems[J].ApplMathMech,1990,11(5):441-454.
[5]ChenYQ,O’ReganD,WangFL,etal.Anoteonthedegreeformaximalmonotonemappingsinfinitedimensionalspaces[J].ApplMathLetters,2009,22(11):1766-1769.
[6]ChenYQ,WangFL,O’ReganD.Degreetheoryformappingsofclass(S+)innon-reflexiveBanachspaces[J].ApplMathComputer,2008,202(1):229-232.
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[8] O’Regan D,Cho Y J,Chen Y Q.Topological degree theory and applications[J].Boca Raton:Chapman and Hall/CRC Press,2006,:127-168.
[9] Chen Y Q,Cho Y J.Topological degree theory for multi-valued mappings of class(S+) mappings[J].Arch Math,2005,84(4):325-333.
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[15] Berkovits J, Mustonen V.On the degree for mappings of monotone type[J].Nonlinear Anal, 1986,12:1373-1383.
[16] Browder F E.Degree of mappings for nonlinear mappings of monotone type:densely defined mappings[J].Proc Nat Acad Sci,1983,80:2405-2407.
[17] Browder F E,Petryshyn W V.Approximation methods and the generalized topological degree for nonlinear mappings in Banach spaces[J].Funct Anal,1969,3:217-274.
[18] Troyanski S.On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces[J].Studia Math,1971,37:173-180.
[19] Chen Y Q,Wang F L,O’Regan D.Degree theory for monotone type mappings in non-reflexive Banach spaces[J].Appl Math Lett,2009,22(2):276-279.
[20] 張恭慶，林源渠.泛函分析講義：上冊(cè)[M].北京：北京大學(xué)出版社,1987：126-145.
[21] 郭大鈞.非線性泛函分析[M].2版.濟(jì)南山東科學(xué)技術(shù)出版社,2001：87-135.
[22] Wang F L,Chen Y Q,O’Regan D.Degree theory for monotone type mappings in non-reflexive Banach spaces[J].Appl Math Lett,2009,22(2):276-279.
Wu Liu-chan，Chen Xiao-ling
2013- 06- 07
吳柳嬋(1989-),女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析.
10.3969/j.issn.1007- 7162.2015.01.028
O177.91
A
1007-7162(2015)01- 0138- 05
(School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520，China)
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吳柳嬋,陳曉玲
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φ，T:ΩF→E*按范數(shù)拓?fù)溥B續(xù)，則稱T為有限維連續(xù)．
弱*收斂于f0=Tx0．
(1) 存在Ttx:[0,1]×D→E*為有限維連續(xù)；
(2) 任取
弱*收斂于
弱*收斂于f0=Tt0x0．
弱*收斂于
則稱T為廣義偽單調(diào)映射．
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(1)
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令WF={任取x∈?Ω，存在f=Tx，使得
對(duì)任意v∈F都成立}為有界集且WF≠φ
對(duì)任意v∈F，取F0，dimF0<+∞，使得
矛盾．故存在有限維F0?E**，使得任意有限維空間F?F0，均有θ*?TFx，對(duì)任意x∈?ΩF都成立．
對(duì)任意v∈F都成立}．則WF≠φ
是WF在[0,1]×E**的閉包．
使得tτ→t0，xτ弱*收斂于
由以上的命題，可定義
?F0，dimF<+∞，dimF0<+∞．
(2) 若Ω1，Ω2均是Ω的開子集，Ω=Ω1∪Ω2，Ω1∩Ω2=φ，則
證明 (1)和(2)的證明同有限維空間的性質(zhì)[22]；
則
矛盾．
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?
φ．
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?
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矛盾．
任意v∈Fnk都成立．任取x∈Fnk，k=1,2,…，假設(shè)xτk弱*收斂于x0，同命題6的證明，有
弱*收斂于
對(duì)任意v∈Fnk矛盾．
證明 令
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(3)
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?
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[8] O’Regan D,Cho Y J,Chen Y Q.Topological degree theory and applications[J].Boca Raton:Chapman and Hall/CRC Press,2006,:127-168.
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2013- 06- 07
吳柳嬋(1989-),女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析.
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