小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的概念研究

杜巖巖

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京100048）

小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的概念研究

杜巖巖

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京100048）

概念是思維的基本形式之一，也是判斷和推理的基礎(chǔ)。對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中概念的有效理解能夠促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。運(yùn)用內(nèi)容分析法梳理小學(xué)教科書中的重要概念，總結(jié)出概念的結(jié)構(gòu)、分類、定義類型、呈現(xiàn)方式等方面的現(xiàn)狀。從邏輯學(xué)、心理學(xué)的視角分析小學(xué)教科書中概念教學(xué)中存在的問題，依據(jù)相關(guān)理論，并運(yùn)用案例分析法對(duì)不同方面的問題提出針對(duì)性的策略，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的有效學(xué)習(xí)，這對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展大有裨益。

小學(xué)；數(shù)學(xué)；教科書；概念

數(shù)學(xué)概念是一類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的反映［1］，同時(shí)它也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的基石?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）［2］（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）的前言部分強(qiáng)調(diào)：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中?！蓖评砟芰Πl(fā)展的基礎(chǔ)是概念，所以，概念的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來說至關(guān)重要。然而在小學(xué)實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解和掌握存在許多困難，而教科書作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的主要資源，是如何呈現(xiàn)概念的呢？它對(duì)概念的學(xué)習(xí)有怎樣的影響呢？

一、概念在教科書中的呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，因此數(shù)學(xué)概念是數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的反映。對(duì)于數(shù)學(xué)來說，只有掌握了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間聯(lián)系，才能在活動(dòng)中提高基本技能，發(fā)展基本思想。下面以北京師范大學(xué)出版社出版的《新世紀(jì)（版）義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（1～12冊(cè)）（以下簡(jiǎn)稱北師版教科書）為對(duì)象，從概念的結(jié)構(gòu)、概念的分類、概念的定義類型、概念的呈現(xiàn)方式方面來具體分析。

1．概念的結(jié)構(gòu)

概念的結(jié)構(gòu)是指概念由哪些部分組成，一般來說，概念是由名稱、屬性、定義和例證組成的（如表1所示）。概念的名稱一般由詞匯構(gòu)成，例如三角形、四邊形等。概念的形成并不一定必須用一個(gè)特定的詞說出來，例如嬰兒無法使用語言表達(dá)概念，但能夠從許多人中辨認(rèn)出媽媽，說明“媽媽”的概念已經(jīng)形成。實(shí)際教學(xué)中有的學(xué)生說不出“周長(zhǎng)”的概念是什么，但他能夠清晰地指出物體中的邊界的長(zhǎng)，這表明學(xué)生對(duì)于“周長(zhǎng)”的概念已經(jīng)形成。概念的屬性指的是概念的關(guān)鍵特征，例如物體的顏色、氣味、材料、大小、形狀、位置等。數(shù)學(xué)概念只研究物體的大小、形狀、位置、數(shù)量關(guān)系等屬性。邏輯學(xué)中，概念的定義就是以簡(jiǎn)短的形式揭示概念、命題的內(nèi)涵或外延，使人們明確它們的意義及其使用范圍的邏輯方法。［3］概念的例證大致分為兩種：一種是正例（positive instances），即與概念要求相符，例如，4是正數(shù)的正例，等腰三角形是三角形的正例；另一種是反例（negative instances），即與概念要求不符合或違背要求的，例如，－2是正數(shù)的反例，平行四邊形是三角形的反例。

表1 概念結(jié)構(gòu)分析表

2．概念的分類

根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)可以將概念分為不同的類型，例如，奧蘇貝爾根據(jù)是否經(jīng)過觀察正反例子揭示概念的特征把概念分為初級(jí)概念和二級(jí)概念（如表2所示）。［4］例如，三角形是初級(jí)概念，等腰三角形是二級(jí)概念。

表2 概念分類舉例表

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容劃分為四大部分：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐。其中的前三部分包括許多數(shù)學(xué)基本概念，綜合與實(shí)踐是對(duì)概念的應(yīng)用。依據(jù)前三部分內(nèi)容的分類，對(duì)北京師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》1～12冊(cè)中的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行梳理，結(jié)果如表3所示。

表3 概念分類表

3．概念的定義類型

對(duì)概念的不同定義類型進(jìn)行分析，不僅能夠促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)概念的更好理解，更重要的是能夠讓學(xué)習(xí)者領(lǐng)會(huì)概念定義的不同種類及含義。北師版教科書中的有些概念沒有明確定義，而是采用直接給出的形式，這在低年級(jí)教科書中比較普遍。通過梳理教科書中明確定義的概念并從邏輯學(xué)角度對(duì)概念的定義類型進(jìn)行分析，可以將北師版教科書中數(shù)學(xué)概念的定義概括為：發(fā)生定義、關(guān)系定義、語境定義、列舉定義、實(shí)指定義、描述性定義。

發(fā)生定義是指從被定義的詞項(xiàng)所指稱的事物的發(fā)生、來源方面揭示種差定義的形式。例如最小公倍數(shù)，通過從公倍數(shù)中選擇最小的倍數(shù)來定義；關(guān)系定義是指以事物之間的特殊關(guān)系作為種差的定義，例如，倒數(shù)是以兩個(gè)數(shù)的乘積為1的特殊關(guān)系來定義的；語境定義是指將定義項(xiàng)放在一定的語言環(huán)境之中，然后用一個(gè)意義相同但被定義項(xiàng)在其中不出現(xiàn)的語句來給被定義項(xiàng)下定義，這種定義強(qiáng)調(diào)具體的上下文語境；列舉定義屬于一個(gè)概念的外延的對(duì)象數(shù)目很大，或者種類很多，無法窮盡地列舉，于是就舉出一些例證，以幫助人們獲得關(guān)于該概念所指稱對(duì)象的一些了解；實(shí)指定義通過用手指指著某個(gè)對(duì)象，從而教會(huì)兒童去認(rèn)識(shí)事物和使用語言，這種定義能夠通過具體事物來幫助學(xué)生理解概念；描述性定義是指對(duì)被定義語詞既有用法的報(bào)道或描述（如表4所示）。［4］

我不知道，在這個(gè)世界上，關(guān)于愛，一共有多少種表達(dá)方式，但我知道，最樸素最深情的一種，就是——養(yǎng)一只羊，等你回家。

表4 概念的定義類型

4．概念的呈現(xiàn)方式

這里所講的概念的呈現(xiàn)方式是指教科書中以什么材料來呈現(xiàn)概念：有些概念只用文字語言來呈現(xiàn)，例如長(zhǎng)方體的表面積；有些概念的呈現(xiàn)可能既有文字又包括圖形，在不同的概念呈現(xiàn)中二者的比重不同。通過總結(jié)，可以把呈現(xiàn)方式大致分為三種：圖形主導(dǎo)文字輔助型、圖文并茂型和文字描述型。

圖形主導(dǎo)文字輔助的這種呈現(xiàn)方式主要分布在北師版低年級(jí)教科書中，這個(gè)階段的兒童具有皮亞杰關(guān)于兒童的發(fā)展理論中的具體運(yùn)算階段的特點(diǎn)，抽象思維能力薄弱，對(duì)于文字的認(rèn)識(shí)、理解、使用等方面的能力尚處于較低水平，不能在頭腦中很好地實(shí)現(xiàn)文字與其所代表的具體事物的轉(zhuǎn)化。采用直觀圖形為主，文字輔助的方式（如圖1所示）［5］有利于學(xué)生從直觀的圖形獲得對(duì)于概念的有效理解。這種呈現(xiàn)方式的概念有：長(zhǎng)方體、正方體、球、圓柱、圓錐、圓、線段、射線、直線、角、平角、周角等。

圖1 認(rèn)識(shí)物體

圖文并茂呈現(xiàn)方式（如圖2）［6］指的是圖形與文字在呈現(xiàn)概念時(shí)不分主次，處于同等的地位，這種呈現(xiàn)方式大多分布在中、高年級(jí)的教科書中。隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，對(duì)于文字的理解力也逐漸增強(qiáng)，從圖形和文字不同方面對(duì)概念進(jìn)行理解，有利于對(duì)概念的不同角度的理解，實(shí)現(xiàn)文字與圖形之間的聯(lián)系，這有利于發(fā)展學(xué)生的圖形語言和文字語言。這種呈現(xiàn)方式的概念有：銳角、直角、鈍角、等腰三角形、等邊三角形、梯形、平行四邊形、垂直、周長(zhǎng)、面積等。

圖2 周長(zhǎng)的定義

文字描述的呈現(xiàn)方式［7］是指僅采用文字語言來描述概念，沒有搭配對(duì)應(yīng)的圖形。這種概念呈現(xiàn)方式一般分布在高年級(jí)的教科書中，這個(gè)階段的學(xué)生的思維水平和使用文字的能力進(jìn)一步提升，這為理解文字奠定了基礎(chǔ)。文字描述的概念呈現(xiàn)方式能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)文字與概念對(duì)應(yīng)的原型之間的轉(zhuǎn)換，從而發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。這種呈現(xiàn)方式的概念有：表面積、體積、容積、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、速度、正數(shù)、負(fù)數(shù)、循環(huán)小數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、倍數(shù)、因數(shù)、最小公倍數(shù)、最大公因數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、倒數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、約分、通分、方程、比、正比例、反比例、比例尺等。

二、對(duì)概念呈現(xiàn)現(xiàn)狀的分析及建議

根據(jù)小學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知水平，教科書中的概念有些僅給出了概念的名稱，有的只是描述了概念外延的一部分，有的則是采取了定義的方式，這些不同的形式，有利于學(xué)生從不同角度去理解概念；同時(shí)，北師版教科書概念的呈現(xiàn)情況中也存在一些問題，對(duì)問題進(jìn)行分析從而更好地促進(jìn)概念的學(xué)習(xí)。

1．概念的結(jié)構(gòu)方面

對(duì)北師版教科書中呈現(xiàn)的概念的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，書中對(duì)于概念的反例的呈現(xiàn)數(shù)量明顯少于正例，甚至很多概念沒有呈現(xiàn)反例。例如，在方程的概念結(jié)構(gòu)中，只給出了像x＋5＝10，4y＝380這樣的正例，對(duì)于不是方程的反例卻沒有給出。又如，在最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的概念結(jié)構(gòu)中僅呈現(xiàn)了像這樣的正例，同樣也沒有給出不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的反例。這說明北師版教科書對(duì)數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)并不全是完整的，存在缺少反例的現(xiàn)象，而反例對(duì)于概念的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，正如Markle所說，反例在概念的學(xué)習(xí)中應(yīng)該處于主導(dǎo)地位。

概念學(xué)習(xí)本質(zhì)是對(duì)概念屬性的辨認(rèn)，而例子則是概念屬性的具體化和形象化，對(duì)概念的學(xué)習(xí)有著重要的輔助作用。［8］每個(gè)人回憶自己的學(xué)習(xí)過程就會(huì)理解例子的重要性，正如有關(guān)研究表明，核心概念教學(xué)時(shí)，如果沒有后繼的樣例學(xué)習(xí)和練習(xí)，兒童數(shù)學(xué)問題解決水平較低。［9］正例讓學(xué)習(xí)者明白概念是什么，反例讓學(xué)習(xí)者曉得概念不是什么，這種對(duì)比的方法，可以讓學(xué)生明確概念的關(guān)鍵特征，從而加深對(duì)概念的理解。在學(xué)校教育中，教科書對(duì)教學(xué)有重要的影響。然而，正如McKinney等人所指出一樣，大部分的教科書中都沒有呈現(xiàn)概念的反例。［10］因此，適當(dāng)增加教科書中概念的反例數(shù)量，以符合學(xué)生思維特征的方式呈現(xiàn)它們，并且合理組織正反例，讓學(xué)生在正例、反例的對(duì)比中去重新認(rèn)識(shí)、理解概念。

2．概念的分類方面

對(duì)概念進(jìn)行分類，有利于學(xué)生弄清楚概念的含義及概念之間的關(guān)系。教科書中按數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率分為三部分內(nèi)容，在每個(gè)單元里介紹其中一部分內(nèi)容中的概念，這樣有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握概念，但是同時(shí)不利于學(xué)生溝通其他部分內(nèi)容里的知識(shí)的聯(lián)系。因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)，頭腦里的知識(shí)不是孤立的，而是相互聯(lián)系的。概念教學(xué)不能只滿足于告訴學(xué)生“是什么”或“什么是”，還應(yīng)讓學(xué)生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、發(fā)展理論或解決問題中的作用。［11］所以教科書不僅要讓學(xué)生知道按照數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分類的概念是什么，還要讓學(xué)生明白為什么這樣分類。例如，面積的概念屬于圖形與幾何的內(nèi)容，但學(xué)生頭腦中有時(shí)把面積看成數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，因?yàn)樵谟脭?shù)格子法求面積時(shí)學(xué)生僅僅關(guān)心面積的大小是多少，而忽略了圖形的形狀。由此可見，教科書應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生按照不同的標(biāo)準(zhǔn)給概念分類，這有利于從不同角度看概念，從而溝通概念之間的聯(lián)系。

3．概念的定義方面

定義在概念學(xué)習(xí)中是十分有用的，通過定義學(xué)生更好地辨別概念相關(guān)屬性，從而減少不必要的麻煩。從教科書中的概念定義可以看出，幾乎所有概念的定義方式只有一種，這說明概念的定義方式比較單一，不利于學(xué)生從多角度理解概念。而且，概念的定義在教科書中出現(xiàn)的次數(shù)較少，有的概念在小學(xué)階段只出現(xiàn)一次。

針對(duì)教科書中定義方式單一，建議采用兩種或多種定義方式結(jié)合的方法定義概念。例如，可以先給出分?jǐn)?shù)概念的發(fā)生定義，再利用列舉定義給出該概念的一些外延。另外，定義方式要與年齡特點(diǎn)相符合，低年級(jí)階段要多采用實(shí)指定義，再逐步發(fā)展到用文字?jǐn)⑹龅钠渌x，例如低年級(jí)定義正方形，可以指著圖形說像這樣的圖形叫正方形，高年級(jí)可以定義它為四邊都相等的長(zhǎng)方形叫正方形。同時(shí)，在概念學(xué)習(xí)的不同階段，用不同形式的語言去定義概念，讓不同形式的概念定義多次出現(xiàn)，這使得學(xué)生能夠循序漸進(jìn)地理解概念。

4．概念的呈現(xiàn)方面

整體來說，北師版教科書中概念的呈現(xiàn)運(yùn)用了大量生動(dòng)活潑的情景、直觀形象的圖形、簡(jiǎn)明易懂的文字。但梳理后從中也發(fā)現(xiàn)了一些問題，例如在圖形主導(dǎo)的呈現(xiàn)中多數(shù)圖形都是從現(xiàn)實(shí)物體抽象而來，沒有把圖形與現(xiàn)實(shí)物體聯(lián)系起來。文字描述的概念對(duì)應(yīng)的圖形有些不是概念的最佳實(shí)例，例如，樹葉和簡(jiǎn)易鴿子的圖形不是學(xué)生日后學(xué)習(xí)周長(zhǎng)中常用例子，且鴿子的圖形相對(duì)復(fù)雜，有些學(xué)生借助它理解周長(zhǎng)的概念可能會(huì)遇到許多障礙。因此，第一次出現(xiàn)某種圖形時(shí)，圖形要與實(shí)例一起呈現(xiàn)，同時(shí)實(shí)例最好是符合概念的最佳實(shí)例。文字的力量是巨大的，但這種力量必須在文字被理解的情況下發(fā)生。而教科書中存在一些呈現(xiàn)概念的文字較難理解的現(xiàn)象，這不利于學(xué)生對(duì)新概念的理解。因此，教科書中不能用學(xué)生難懂的文字去定義概念，盡量在定義中避免學(xué)生不明白的語言。例如體積定義中的“空間”對(duì)于學(xué)生來說很難理解，而美國加州版教材中關(guān)于體積定義“物體所能容納的單位立方體的數(shù)目”［12］給了我們定義體積的另一種角度。

三、結(jié)語

學(xué)校里的學(xué)習(xí)通常被認(rèn)為包括概念學(xué)習(xí)、技能學(xué)習(xí)和問題解決三部分。［13］例如斯坦福數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容由概念、計(jì)算和應(yīng)用組成。由此看出，概念的學(xué)習(xí)已經(jīng)成為各個(gè)學(xué)科課程內(nèi)容中不可分割的一部分。教科書作為概念呈現(xiàn)的主要載體，其中概念的呈現(xiàn)方式對(duì)于概念的學(xué)習(xí)有重要影響。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的概念是幫助學(xué)生和教師理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而一本具有合理組織概念、準(zhǔn)確定義概念、清晰呈現(xiàn)概念的教科書無疑對(duì)教與學(xué)都有很大幫助。因此加強(qiáng)概念教學(xué)，可以從教科書開始，通過增加教科書中正反例的對(duì)比學(xué)習(xí)等方式提升教科書的質(zhì)量，使之成為學(xué)生進(jìn)行概念學(xué)習(xí)的重要資源、教師進(jìn)行概念教學(xué)的有力工具。

［1］李善良．現(xiàn)代教學(xué)觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)理論研究［D］．南京：南京師范大學(xué)，2002．

［2］教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2011．

［3］陳波．邏輯學(xué)十五講［M］．北京：北京大學(xué)出版社，2008：79．

［4］陳琦，劉儒德．當(dāng)代教育心理學(xué)［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2007：270．

［5］義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書：第一冊(cè)［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2005：64．

［6］義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書：第五冊(cè)［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：44．

［7］義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書：第十冊(cè)［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2005：18．

［8］郭建鵬，彭明輝，楊凌燕．正反例在概念教學(xué)中的研究與應(yīng)用［J］．教育學(xué)報(bào)，2007，3（6）：21-27．

［9］李運(yùn)華．核心概念教學(xué)思維對(duì)兒童數(shù)學(xué)問題解決的影響［J］．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，31（2）：117．

［10］McKinney C W，Larkins A G，F(xiàn)ord M J，et al．The Effectiveness of Three Methods of Teaching Social Studies Concepts to Fourth-grade Students：An Aptitude-treatment Interaction Study［J］．American Educational Research Journal，1983，20：663-670．

［11］邵光華，章建躍．?dāng)?shù)學(xué)概念的分類特征及其教學(xué)探討［J］．課程·教材·教法，2009，29（07）：49．

［12］Altieri．California Mathematics Grade 3［M］．New York：The McGraw－Hill Companies，2007：487．

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［責(zé)任編輯：陳學(xué)濤］

G623．5

A

1002-1477（2015）03-0076-05

10．16165／j．cnki．22-1096／g4．2015．03．018

2014-07-04

杜巖巖（1989－），女，安徽亳州人，碩士研究生。