基于相位恢復算法的單強度記錄光學加密系統(tǒng)

王志鵬，王紅娟，蔣華龍，秦 怡

（南陽師范學院 物理與電子工程學院，河南 南陽473061）

引言

在如今社會上，信息安全問題越來越重要。由于具有高并行性和高加密維度等優(yōu)點，基于光學方法的加密技術得到了越來越多的關注和研究。近年來，國內外專家學者提出了很多種不同的光學加密技術［1－13］。其中，最具代表性的光學加密技術就是由Refregier和Javidi于1995年提出的雙隨機相位光學加密技術（double random phase encoding，DRPE）［1］。雙隨機相位光學加密技術利用置于光學4-f系統(tǒng)的輸入面和頻譜面的2個隨機相位掩膜實現光學加密，在輸出平面上得到的復振幅滿足平穩(wěn)隨機白噪聲分布。加密結果包含振幅和相位2個分量。解密過程是加密過程的逆過程，利用加密得到的復振幅分布以及解密密鑰可以恢復原始圖像。該技術要求光學器件精確對準，加密結果為復振幅分布，不便于記錄和保存，并且在解密時需要利用加密密鑰的復共軛。雖然DRPE系統(tǒng)能夠很好地抵御暴力攻擊，但是由于其本質上是線性系統(tǒng)，該系統(tǒng)易受到“選擇密文 攻 擊 ”［14］、“已 知 明 文 攻 擊 ”［15］、“選 擇 明 文 攻擊”［16］和“唯密文攻擊”［17］等幾種形式的攻擊，安全性存在很大的隱患。為了改進傳統(tǒng)的DRPE系統(tǒng)，李榕等人提出了一種基于雙隨機相位的圖像實值編碼方法［18］。該方法取加密結果的實部作為編碼圖像，但是在頻域需要將編碼范圍擴大4倍。最近，Yishi Shi等人提出了一種基于ptychography的光學加密技術［10］。該方法將ptychography技術和光學加密技術相結合，加密結果是原始圖像的子區(qū)域經過DRPE加密系統(tǒng)以后，在輸出平面上得到的多幅強度分布圖像，在解密時利用迭代算法可以恢復出原始圖像。這種新的光學加密方法只需要記錄強度分布，簡化了光學系統(tǒng)結構，并且可以實現復值圖像的加密，但是在加密時需要多次曝光，記錄多個強度分布。

相位恢復算法（phase retrieval algorithm，PRA）［19－20］是一種由光場的強度分布通過迭代或搜索找到最符合真實場強數據的相位分布的方法，在天文學、衍射光學、全息成像、電子顯微鏡學以及逆源問題等方面都有著重要的應用。已經有不 少文獻［6－7，21－26］研究了 相 位 恢 復 算 法 在 光 學 加 密中的應用。在這些文獻中，都是在加密端利用相位恢復算法生成一個或多個隨機相位板（phase only mask，POM）。因此這些方法的加密過程一般都采用數字方式。在解密端，利用生成的隨機相位板和密文，可以采用光學方法解密原始圖像。

本文在傳統(tǒng)的雙隨機相位光學加密系統(tǒng)的基礎上，提出了一種新的光學加密技術。在加密端，將原始圖像置于DRPE系統(tǒng)的輸入平面上，同時在輸出平面上利用CCD等感光器件記錄光強分布，作為密文輸出。在解密端，利用相位恢復迭代算法就可以由密文和解密密鑰恢復出所加密的原始信息。由于加密時僅需要記錄光強分布，簡化了系統(tǒng)結構，易于光學實現。經過分析也可以發(fā)現，該光學加密技術可以很好地抵抗各種攻擊，安全性較高。需要說明的是，雖然在本文中是以DRPE為基礎提出的一種單強度記錄光學加密技術，但是實際上該技術同樣可以應用于“基于分數傅里葉變換的加密技術”和“基于菲涅爾域的加密技術”等光學加密系統(tǒng)中，從而可以進一步提高系統(tǒng)的安全性。

1 算法描述

1.1 加密過程

該光學加密過程采用4-f光學系統(tǒng)。將原始圖像置于4-f系統(tǒng)的輸入平面上進行雙隨機相位加密，在輸出平面上記錄光強分布作為加密輸出。加密系統(tǒng)原理圖如圖1所示。

圖1 光學加密系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematics of optical encryption system

圖中f（x，y）是待加密的原始圖像，f（x，y）與相位掩膜exp［i2πn（x，y）］相乘后，經過透鏡L1的傅里葉變換，然后在頻率域經過另一相位掩膜exp［i2πb（u，v）］的濾波，再經過透鏡L2的傅里葉逆變換，在輸出平面上利用CCD等強度感應器件可以接收到光強分布I（x，y），I（x，y）也就是加密得到的密文。它滿足平穩(wěn)隨機白噪聲分布。其中，n（x，y）和b（u，v）是2個相互獨立的分布在0～1之間的隨機函數。加密過程可以用數學公式表示為

傳統(tǒng)的DPRE系統(tǒng)的密文是復數場，記錄時候需要使用干涉裝置，而干涉裝置對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性很高，因而光學實現比較困難。相比于傳統(tǒng)的DRPE系統(tǒng)，該光學加密過程僅需記錄光強分布作為密文，便于光學實現，可以直接利用CCD等感光器件進行記錄。同時由于CCD等感光器件輸出的是數字信號，因而也可以非常容易地進行存儲和傳輸。

1.2 解密過程

傳統(tǒng)的DRPE系統(tǒng)解密過程是加密過程的逆過程，利用與加密密鑰互為共軛的解密密鑰就可以根據密文的復振幅分布恢復原始圖像。但是，在我們所提出的改進的雙隨機相位加密系統(tǒng)中，在加密時僅保留強度分布作為加密密文，不包含相位分布，密文與明文之間不滿足線性關系。如果直接用只包含強度分布的密文通過與加密過程相反的逆過程進行解密，是無法得到原始圖像的，得到的仍然是隨機噪聲，這一點在后面的仿真分析中得到了驗證。

由于改進系統(tǒng)的加密密文是4-f系統(tǒng)輸出面上的強度分布，并且已知原始圖像是實值圖像，因此解密過程實際上是已知一個強度約束的相位恢復問題［19］。因此，在解密時可以利用相位恢復算法來恢復原始圖像。如果已知密文和解密密鑰（也就是在光學加密過程中使用的2個隨機相位掩膜exp［i2πn（x，y）］和exp［i2πb（u，v）］），就可以利用相位恢復算法通過迭代的方法恢復原始圖像。解密過程采用數字方式，具體步驟如下：

（1）任意賦予原始圖像一個初始估計值f0（x，y），然后開始迭代過程；

（2）在第k次迭代過程中，輸入圖像fk（x，y）在輸入平面和傅里葉平面分別被相位掩膜exp［i2πn（x，y）］和exp［i2πb（u，v）］調制，在輸出平面上得到光波分布函數gk（x，y）：

（3）保留gk（x，y）的相位，振幅用密文I（x，y）的平方根代替，得到修正了的光波分布函數gkm（x，y）：

（5）更新輸入圖像的取值，得到fk＋1（x，y）：

（6）計算輸出平面上得到的分布函數gk（x，y）的振幅與密文的平方根［I（x，y）］1／2的相關系數［27］。相關系數代表著恢復圖像與明文圖像的符合程度，相關系數越接近于1，就表示解密圖像與原始圖像越相似。令［I（x，y）］1／2＝f，｜gk（x，y）｜＝fm，則相關系數CC可表示為

（7）重復步驟（2）～（6），直到相關系數達到所設定的閾值，迭代過程結束。

經過以上的迭代過程，就可以恢復出原始圖像。但是由于在加密過程中引入了隨機相位掩膜，恢復的原始圖像存在著一定的散斑噪聲干擾。為了提高解密結果的圖像質量，還需要利用散斑噪聲抑制算法來抑制散斑噪聲。由于該解密算法采用純數字方法，因此可以非常方便地引入各種數字圖像處理技術來抑制噪聲，改善解密的效果。在這里，我們采用非常簡單的中值濾波的方法抑制散斑噪聲。

2 安全性分析

我們所提出的方法相對于傳統(tǒng)的DRPE加密系統(tǒng)具有更高的安全性。這主要是基于以下2個原因：

一方面，我們所提出的方法在解密時需要的密鑰更多。傳統(tǒng)的DRPE加密系統(tǒng)在解密時只需要利用位于傅里葉平面的一個解密密鑰就可以得到正確的解密輸出。而我們所提出的方法中，要想正確恢復原始圖像，必需同時知道2個隨機相位板的相位分布。因此，我們所提出的方法需要2個解密密鑰，密鑰空間更大，安全性更高。同時，還可以將2個解密密鑰分配給不同的用戶持有，只有2個密鑰持有人同時提供各自的密鑰，解密系統(tǒng)才可以正確恢復原始圖像，這樣就可以進一步提高加密系統(tǒng)的安全性。

另一方面，我們所提出的方法的明文和密文之間不滿足線性關系，可以更好地抵抗各種攻擊。傳統(tǒng)的DRPE加密系統(tǒng)的密鑰空間大，能夠很好地抵抗暴力攻擊。但是，由于其本質上是一種線性系統(tǒng)，因而它存在著巨大的安全隱患，容易受到“選擇密文攻擊”、“已知明文攻擊”、“選擇明文攻擊”和“唯密文攻擊”等幾種形式的攻擊。相對來說，我們所提出的這種改進的單強度記錄光學加密系統(tǒng)就可以很好地抵抗這幾種形式的攻擊。因為這幾種攻擊一般都需要將密文經過傅里葉變換得到頻譜面上的密文［14－17］，我們所提的這種光學加密系統(tǒng)只保留輸出面上的光強分布作為密文，沒有記錄相位信息，破壞了密文和明文之間的線性關系，因此無法利用同樣的方法來有效地破解加密系統(tǒng)。所以說，該改進的單強度記錄光學加密系統(tǒng)具有更高的安全性。后面的計算機仿真也驗證了這里的分析。

3 計算機仿真

受實驗條件所限，我們暫時沒有能夠進行相應的光學實驗，因此我們主要在計算機上使用MATLAB 7.1進行了仿真實驗。一系列仿真實驗驗證了該單強度記錄光學加密系統(tǒng)的有效性和安全性。

在有效性仿真中，我們分別選取了二值圖像和灰度圖像作為原始圖像，利用所提出的單強度記錄光學加密系統(tǒng)進行光學加密和解密。該單強度記錄光學加密系統(tǒng)對二值圖像（256pixel×256pixel）進行加密和解密的仿真結果如圖2所示。其中，圖2（a）是原始二值圖像，圖2（b）是經過單強度記錄光學加密系統(tǒng)加密后得到的密文，該密文滿足隨機白噪聲分布。圖2（c）是利用迭代解密算法得到的解密輸出?？梢钥吹剑妹芪暮徒饷苊荑€，經過相位恢復算法的迭代解密過程，是可以恢復原始圖像的。但是解密輸出相比于原始圖像，疊加了一定的散斑噪聲，也就是說該單強度記錄光學加密系統(tǒng)是有損的。圖2（d）是當解密密鑰為錯誤密鑰時的解密結果。很顯然，這時的解密結果是隨機噪聲。也就是說，如果不知道解密密鑰，是無法正確恢復原始圖像的。圖2（e）是由密文直接利用雙隨機相位加密的逆過程得到的仿真結果，該仿真結果為白噪聲分布，說明僅利用4-f系統(tǒng)輸出平面上的光強分布直接利用DRPE的逆過程是無法恢復原始圖像的。

圖2 對二值圖像加密和解密的仿真結果Fig.2 Simulation results of encryption and decryption for binary image

利用我們所提出的單強度記錄光學加密系統(tǒng)對一幅灰度圖像（Lena圖，256pixel×256pixel）進行加密和解密的仿真結果如圖3所示。其中，圖3（a）是原始灰度圖像，圖3（b）是經過單強度記錄光學加密系統(tǒng)加密后得到的密文，圖3（c）是利用迭代解密算法得到的解密輸出?？梢钥吹?，對于灰度圖像，利用密文和解密密鑰，經過相位恢復算法的迭代解密過程同樣是可以恢復原始圖像的。圖3（d）是當解密密鑰為錯誤密鑰時的解密結果，圖3（e）是由密文直接利用雙隨機相位加密的逆過程得到的仿真結果。可以看到，圖2和圖3的仿真結果是相似的，也就說明，我們所提出的單強度記錄光學加密系統(tǒng)既可以實現對二值圖像的加密，也可以實現對灰度圖像的加密。

圖3 對灰度圖像加密和解密的仿真結果Fig.3 Simulation results of encryption and decryption for grayscale image

圖4 是迭代過程中恢復圖像與明文圖像之間的相關系數CC的變化曲線，其中相關系數的計算如公式（6）所示。從圖4可以看到，針對二值圖像和灰度圖像進行迭代解密時相關系數的兩條變化曲線都是單調遞增的，說明該迭代解密過程是收斂的。對比兩條曲線也可以發(fā)現，經過400次迭代之后，恢復的灰度圖像與原始圖像的相關系數可以達到0.937 2，而恢復的二值圖像與原始圖像的相關系數只有0.724 1。這主要是由于二值圖像的圖案相對更加簡單，每個像素的取值只有0和1，因此同樣的散斑噪聲對于二值圖像的影響就相對更大些，導致恢復的二值圖像與原始圖像的相關系數比較小。不過，根據圖2的仿真結果也可以看到，雖然疊加的散斑噪聲使得通過迭代解密算法恢復的二值圖像與原始圖像的相關系數并不是很大，但是仍然是可以由恢復的二值圖像獲得準確的原始信息的。

圖4 相關系數CC變化曲線Fig.4 Curve of correlation coefficient

由前面的仿真結果可以看到，經過迭代解密算法恢復的圖像疊加有一定的散斑噪聲，影響了解密輸出的質量。由于我們所提出的解密方法是采用純數字方式進行迭代計算，因此可以在解密算法中非常方便地引入相應的數字圖像處理技術來減小散斑噪聲。這里我們采用比較簡單的中值濾波方法來減小散斑噪聲。經過迭代解密算法恢復的圖像經過窗口尺寸為4pixel×4pixel的中值濾波器之后的輸出圖像如圖5所示。其中，圖5（a）是經過中值濾波之后的二值圖像，它與原始二值圖像的相關系數為0.915 6；圖5（b）是經過中值濾波之后的灰度圖像，它與原始灰度圖像的相關系數為0.937 4。由圖5可以看到，經過中值濾波之后，輸出圖像相比于迭代解密結果（圖2（c）和圖3（c）），疊加的散斑噪聲在一定程度上減小了，輸出圖像和原始圖像的相關系數在一定程度上增大了，但代價是圖像變得比較模糊?？梢灶A見的是，如果應用更加復雜的數字圖像處理技術是可以得到更好的恢復效果的。

圖5 經過中值濾波之后的輸出圖像Fig.5 Output images after median filtering

上面的仿真實驗驗證了我們所提出的雙隨機相位加密方法的有效性，接下來我們通過與傳統(tǒng)DRPE系統(tǒng)的對比實驗來驗證我們所提方法的安全性。在這里主要利用在文獻［15］和［16］中提出的“已知明文攻擊”（known plaintext attack，KPA）和“選擇明文攻擊”（chosen plaintext attack，CPA）兩種攻擊方法分別對傳統(tǒng)DRPE方法和我們所提的方法進行破解。篇幅所限，在這里僅列出對灰度圖像進行破解的仿真結果。利用破解密鑰進行解密的仿真結果如圖6所示。其中，圖6（a）和圖6（b）是采用“已知明文攻擊”分別對傳統(tǒng)DRPE和我們所提出的加密方法進行破解，然后利用破解密鑰解密的仿真結果。圖6（c）和圖6（d）是采用“選擇明文攻擊”分別對傳統(tǒng)DRPE和我們所提出的加密方法進行破解，然后利用破解密鑰解密的仿真結果。

圖6 安全性分析的仿真結果Fig.6 Simulation results of security analysis

通過仿真結果可以看到，傳統(tǒng)的DRPE系統(tǒng)容易受到KPA和CPA等幾種形式的攻擊，這主要是由于它在本質上是一個線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出和輸入之間滿足簡單的線性關系。而我們所提出的雙隨機相位加密系統(tǒng)在輸出平面上只記錄光強分布，這樣使得系統(tǒng)輸出和輸入不再滿足線性關系，因而利用同樣的方法破解密鑰進行解密，其輸出仍然為隨機噪聲，無法正確恢復原始圖像。光學加密方法的應用范圍。因此如何減小散斑噪聲，進一步提高解密輸出圖像的質量是今后繼續(xù)深入研究的重點。

4 結論

本文提出了一種基于相位恢復算法的單強度記錄光學加密技術。該光學加密技術將原始圖像置于4-f系統(tǒng)的輸入平面上進行雙隨機相位加密，記錄輸出平面上的光強分布作為密文。加密過程可以采用純光學方法實現。在解密時，利用相位恢復迭代算法就可以由密文恢復出所加密的原始圖像。解密過程采用數字方式，因此可以非常方便地引入中值濾波等數字圖像處理方法來進一步提高解密圖像的質量。該光學加密技術僅需一次曝光，只需要記錄輸出面上的光強分布作為密文，便于光學實現。同時加密結果可以利用CCD等感光器件直接記錄，記錄的密文直接是數字信號，可以非常容易地進行存儲和傳輸。此外，由于該加密系統(tǒng)的輸出與輸入之間不滿足線性關系，因而不易受到各種攻擊，安全性較高。計算機仿真實驗結果驗證了系統(tǒng)的有效性和安全性。需要指出的是，該光學加密系統(tǒng)的迭代解密結果是有損的，解密輸出疊加有一定的散斑噪聲，這將會限制該

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