一種新型飛機曲面壁板自動制孔法向測量方法 *

中航工業(yè)北京航空制造工程研究所

數(shù)字化制造技術(shù)航空科技重點實驗室 曲紹君 鄒 方

飛機裝配是飛機制造過程中的一個非常重要的環(huán)節(jié)，現(xiàn)代飛機所面臨的飛行環(huán)境和飛行任務(wù)的多樣性和復(fù)雜性對飛機性能提出了更高的要求，推動飛機裝配等飛機制造關(guān)鍵技術(shù)出現(xiàn)新的突破。飛機壁板的自動化制孔技術(shù)是高度集成化的飛機零部件高精度制孔技術(shù)，該技術(shù)是飛機結(jié)構(gòu)長壽命連接、滿足復(fù)合材料和鈦合金結(jié)構(gòu)高精度制孔要求的重要保障，制孔末端執(zhí)行器的設(shè)計是自動化制孔系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)之一，其難點在于保證法向檢測精度和傳感器標(biāo)定方法設(shè)計。

制孔的垂直度是飛機曲面壁板制孔作業(yè)中最重要的性能指標(biāo)之一，據(jù)相關(guān)資料統(tǒng)計，當(dāng)飛機緊固件沿外載荷作用方向的傾斜角度大于2°時，飛機的疲勞壽命會降低47%左右；當(dāng)傾斜角度超過5°時，疲勞壽命會大幅降低95%左右[1]。對于飛機曲面壁板制孔部位的法向測量，雖然國內(nèi)外近些年在擬合算法方面已有大量的研究成果，但大都趨向于理論分析，并不能很好地應(yīng)用于工程實踐。例如，向量叉積法雖然計算簡單，但是精度低；二次曲面擬合法對二次曲面雖然精度很高，但對一般的曲面具有一定的局限性；NURBS曲線法和三角網(wǎng)格法都要測量大量的點才能達到較高的精度，不適合實時的精確測量[2]。

另外，傳感器的類型與布置方式也會影響法向測量的準(zhǔn)確度。中航工業(yè)北京航空制造工程研究所利用4個接觸式位移傳感器來計算法向[3]，當(dāng)制孔末端壓腳緊壓在制孔部位時，位移傳感器的測量值會有所不同，根據(jù)這些測量值便可得出理論蒙皮法向與實際制孔法向的差值，進而進行法向調(diào)整。但該方法中壓腳要緊壓制孔部位，會導(dǎo)致制孔周邊產(chǎn)生一定的變形，測量精度不能保證。

北京航空航天大學(xué)利用3個激光位移傳感器測量鉆孔點周圍3個特征點的坐標(biāo)，通過叉積原理計算出鉆頭中心軸線與鉆孔點法向量的夾角，最后利用二元角度調(diào)節(jié)法調(diào)整鉆頭方向，從而保證鉆孔的垂直度[4]。但是這種方法需要保證3個激光位移傳感器的發(fā)射點均勻地分布在鉆頭同心的圓周上，并且激光的發(fā)射方向需要跟鉆頭的方向相同，對安裝的精度要求較高，難以實現(xiàn)，在實際的工程應(yīng)用中會有一定的局限性。針對以上問題，本文提出了一種基于最小二乘平面擬合算法的多激光位移傳感器，且適用于工程應(yīng)用的制孔法向測量方法。

1 激光位移傳感器的標(biāo)定

激光位移傳感器可精確以非接觸方式測量被測物體的位置、位移等變化。按照測量原理的不同，激光位移傳感器測量方法分為激光三角測量法和激光回波分析法。由于飛機曲面壁板的制孔作業(yè)對精度和制孔部位的垂直度要求較高，故采用基于三角測量法的激光位移傳感器，該方法一般適用于高精度、短距離的在線實時測量。

對激光位移傳感器的標(biāo)定實際上就是確定它們的空間位置坐標(biāo)以及激光發(fā)射的方向。激光位移傳感器標(biāo)定后，能夠根據(jù)其測量的距離值確定壁板上光斑點的坐標(biāo)，從而計算出制孔部位的表面法向。

本文測量方法中對激光位移傳感器的標(biāo)定通過標(biāo)定基準(zhǔn)板完成，如圖1所示。左側(cè)的4個黑點為激光位移傳感器的空間位置，4條虛線代表激光方向射向標(biāo)定基準(zhǔn)板并在基準(zhǔn)板上形成4個光斑，通過調(diào)整標(biāo)定基準(zhǔn)板位置并結(jié)合基準(zhǔn)板平面方程，便可以完成對激光位移傳感器的標(biāo)定。

圖1 激光位移傳感器的標(biāo)定示意圖Fig.1 Calibration of laser displacement sensor's schematic diagram

1.1 基準(zhǔn)平面方程獲取

利用激光跟蹤儀 F(Ol，Xl，Yl，Zl)通過轉(zhuǎn)站建立制孔末端的刀具坐標(biāo)系 F(Ot，Xt，Yt，Zt)，進而確定激光跟蹤儀坐標(biāo)系下制孔末端坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將標(biāo)定基準(zhǔn)板置于制孔末端執(zhí)行器前，調(diào)整位置使其在激光位移傳感器的測量范圍之內(nèi)且盡量靠近標(biāo)定基準(zhǔn)板，因為激光位移傳感器的測量范圍越小，測量精度越高[7]。利用激光跟蹤儀測量基準(zhǔn)板上的多個點并記錄作為激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的點云數(shù)據(jù)Pli(i=1,2,3…)，對該點云數(shù)據(jù)進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，如式（1）所示，從而獲得制孔末端即刀具坐標(biāo)系下的點云數(shù)據(jù)Pti（i=1,2,3…n）：

利用激光跟蹤儀的配套計算軟件，根據(jù)測量獲得的制孔末端點云數(shù)據(jù)，擬合出標(biāo)定基準(zhǔn)板的平面方程如式（2）所示：

式中，a、b、c為標(biāo)定基準(zhǔn)板平面方程的單位法向量的3個分量，d為坐標(biāo)系原點距離該平面的距離。調(diào)整標(biāo)定基準(zhǔn)板的位置與姿態(tài)，重復(fù)以上方法，可得多個基準(zhǔn)板所在平面的平面方程。

1.2 激光位移傳感器標(biāo)定算法

首先假設(shè)4個激光位移傳感器的位置坐標(biāo)分別為（xi,yi,zi）（i=1,2,3,4），方向為（mi,ni,pi）（i=1,2,3,4）。通過激光位移傳感器測量值能夠獲得激光發(fā)射點至標(biāo)定基準(zhǔn)板平面的距離li（i=1,2,3,4）。因此激光所在直線與基準(zhǔn)平面的交點坐標(biāo)可以通過式（3）得到：

該交點的坐標(biāo)為（xi+limi,yi+lini，zi+lipi）（i=1,2,3,4），由于其符合基準(zhǔn)平面方程，故將其代入式（2），可得：

a（xi+limi）+b（yi+lini）+c（xi+lipi）=d

整理得：

在方程（4）中，對于每個激光位移傳感器分別有6個未知的標(biāo)量，即其位置坐標(biāo)分量3個和方向矢量分量3個。通過變換基準(zhǔn)平板的位姿并通過激光跟蹤儀測量，可以得到不同的基準(zhǔn)平面方程。對于每一個激光位移傳感器的6個未知量可以利用6個基準(zhǔn)平面方程并結(jié)合激光位移傳感器的測量值計算得出。如方程組（5）所示：

對以上方程組整理可知，對于每一個激光位移傳感器都有一個Ax=b形式的齊次矩陣方程：

基于QT平臺，利用選全主元高斯（Gauss）消去法編寫C++算法程序，對該齊次矩陣方程求解，可以獲得4個激光位移傳感器在工具坐標(biāo)系下的位置和方向（xi,yi,zi,mi,ni,pi）（i=1,2,3,4）。

2 制孔部位法向測量

2.1 常用的平面擬合算法

在進行空間點云的平面擬合時我們通常采用最小二乘法、移動最小二乘法以及特征值最小二乘法等擬合算法。

（1）最小二乘法。

給定空間點集Q=｛Qi|i=1,2,3…n｝，我們設(shè)M為Q的重心，求過點M的平面法向N，使得下式值最小：

應(yīng)用最小二乘法，可得到矩陣C

C的最小特征值對應(yīng)的特征向量即可作為N的近似求解值。

（2）移動最小二乘法。

Lancaster最先將移動最小二乘法來用來局部擬合曲面[5]。如果用于平面擬合去求解常系數(shù)，即采用具備緊支性的加權(quán)最小二乘法擬合平面，則式（7）的目標(biāo)函數(shù)改為：

式中： θ(·)為Qi的權(quán)函數(shù)，有的學(xué)者[6]將其取為下式：

式中，di為Qi到計算點M的距離；s為θ的空間范圍。此權(quán)函數(shù)為減函數(shù)，即Qi距離M越近，權(quán)值越大。

（3）特征值最小二乘法。

設(shè)平面方程為：

要獲得最佳擬合平面，應(yīng)在條件a2+b2+c2=1的約束條件下，滿足公式：

利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)極限，則首先組成函數(shù)：

其中，di=axi+byi+czi-d，然后，f分別對 a、b、c、d 求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，整理過程如下：

令

其中：Δxi=xi-∑xi/n，Δyi、Δzi以此類推。則可由下式求解A的特征值：

A為3×3實對稱矩陣，根據(jù)其性質(zhì)可知，矩陣A有3個實數(shù)特征值，則根據(jù)文獻[7]的推導(dǎo)可知，最小特征值λmin對應(yīng)的特征向量即為平面方程的參數(shù)a、b、c，利用重心點可求得d。

2.2 法向測量

在對4個激光位移傳感器進行標(biāo)定之后，就可以進行制孔部位的法向測量。如圖2所示，測量前，在安裝激光位移傳感器時，可使其以傾斜姿態(tài)安裝在制孔末端執(zhí)行器上，使得激光束在一定范圍內(nèi)呈匯聚狀態(tài)。又由于飛機壁板曲率較小，在實際測量時，制孔處周圍的4個光斑分布距離較近，故可以將該制孔處曲面近似為平面處理。結(jié)合激光位移傳感器標(biāo)定結(jié)果（xi,yi,zi,mi,ni,pi）（i=1,2,3,4）以及激光位移傳感器的測量值li（i=1,2,3,4）可以求得制孔處周邊光斑的位置坐標(biāo)（xi+limi,yi+lini,zi+lipi）（i=1,2,3,4），再利用 2.1 節(jié)提到的最小二乘法進行平面擬合，就可以得到制孔處近似曲面法向量。

圖2 激光位移傳感器安裝圖Fig.2 Installation diagram of Laser Displacement Sensor

3 法向測量誤差分析

制孔部位法向測量的前提是激光位移傳感器的精確標(biāo)定，雖然本設(shè)計方案對激光位移傳感器的空間安裝位置無特殊要求，但在實際測量過程中，測量設(shè)備安裝精度以及測量誤差等均會為法向測量結(jié)果帶來一定的誤差。現(xiàn)在工程實踐中，一般將垂直精度設(shè)定為偏離理論法向0.5°之內(nèi)，在測量過程中一般在如下環(huán)節(jié)會產(chǎn)生誤差：

（1）由激光跟蹤儀坐標(biāo)系轉(zhuǎn)站后建立的刀具坐標(biāo)系過程產(chǎn)生的誤差；

（2）標(biāo)定基準(zhǔn)板加工過程中出現(xiàn)的平面度誤差；

（3）利用激光跟蹤儀采集標(biāo)定基準(zhǔn)板上特征點時產(chǎn)生的測量誤差；

（4）利用平面代替制孔部位周邊曲面的誤差；

（5）平面擬合算法程序運算精度誤差；

（6）激光位移傳感器本身的線性誤差。

以上幾個誤差綜合考慮，便會對最終的測量結(jié)果產(chǎn)生影響[8]。在現(xiàn)代飛機裝配作業(yè)中，激光跟蹤儀與激光位移傳感器等數(shù)字化測量設(shè)備已經(jīng)得到了廣泛運用，同時設(shè)備本身的測量精度在工程實踐中不斷提高。以激光位移傳感器為例，日本基恩士公司通過采用新算法、高精度物鏡單元和激光自動控制等技術(shù)提高測量精度，其中LK系列產(chǎn)品線性度小于士0.02%FSO，重復(fù)性達到0.1μm[9]。故在法向測量中，誤差主要來自利用平面代替制孔部位周邊曲面過程，特別是制孔部位周邊曲面曲率較大時，產(chǎn)生的誤差會很大程度上影響制孔法向。

4 結(jié)論與展望

本文提出的基于4個激光位移傳感器的制孔末端法向測量方法，由于在標(biāo)定工作中對激光位移傳感器的安裝位置無特殊要求，在能保證測量精度的前提下非常適用于實際的工程應(yīng)用。飛機曲面壁板自動化制孔技術(shù)是一項面向多學(xué)科、跨領(lǐng)域的綜合技術(shù)體系，隨著相機測量技術(shù)和圖像處理技術(shù)的不斷發(fā)展，在對激光位移傳感器進行標(biāo)定時，可以考慮使用工業(yè)相機測量激光位移傳感器光斑點的圖像，利用圖像處理算法提取圖像中的重要元素，進而計算圖像中重要元素之間的相對位置參數(shù)，從而實現(xiàn)激光位移傳感器的標(biāo)定[8]。另外，本文提出的將制孔部位曲面近似處理為平面進行擬合緣于飛機壁板曲面曲率較大，并不適用于一般意義上的曲面壁板，故在曲面擬合模型的構(gòu)建方面，還有很多可以進行深入挖掘的地方，在保證制孔精度與垂直度的前提條件下，找到可以更加準(zhǔn)確擬合制孔部位曲面的模型與算法。

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