多功能圓錐曲線規(guī)的研制探討

聶晶晶 劉政源 閔思煜等

摘 要：基于各種圓錐曲線不同的性質(zhì)，將圓錐曲線性質(zhì)與機(jī)械連桿機(jī)構(gòu)巧妙結(jié)合，制作成能簡易準(zhǔn)確地繪出圓錐曲線的易攜帶機(jī)構(gòu)，它同時(shí)兼?zhèn)湫∏?、方便、?zhǔn)確等多個(gè)優(yōu)點(diǎn)，能很好地應(yīng)用在工業(yè)生產(chǎn)等方面。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；連桿機(jī)構(gòu)；多功能

中圖分類號(hào)：TH122 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-8937（2015）03-0053-02

如何簡易繪出準(zhǔn)確的橢圓、雙曲線及拋物線圖形，如何既準(zhǔn)確又迅速的畫出圓錐曲線是件令人頭疼的事情。

該多功能線規(guī)利用簡單的機(jī)械原理與各種圓錐曲線的不同特性，能精準(zhǔn)而輕松的繪出橢圓、雙曲線及拋物線多種圓錐曲線，大大節(jié)省了繪圖時(shí)間。

同時(shí)，精準(zhǔn)的圖形將更直觀的反映圓錐曲線及其曲線上點(diǎn)的特征，也可更方便的在繪圖的動(dòng)態(tài)過程中通過對(duì)圖形的觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律與特性。再者，在制圖的同時(shí)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、了解圓錐曲線的特性，并且還能深刻體現(xiàn)出連桿機(jī)構(gòu)的工作原理、運(yùn)動(dòng)情況，及連桿機(jī)構(gòu)在生活中的廣泛運(yùn)用，有不同凡響的功效和意義。

1 提出問題

圓錐曲線的繪制大都采用像四圓心法、八圓心法等較為復(fù)雜的近似方法。

目前我們接觸的手動(dòng)畫曲線的方法基本有三種：

①描點(diǎn)法，即根據(jù)方程描繪出幾個(gè)主要點(diǎn)，然后用平滑的曲線連結(jié)點(diǎn)得到函數(shù)曲線。

②借助于教具，像用圓規(guī)畫圓一般，用固定一根繩的方法畫橢圓。

③利用三角板畫曲線，這種畫法是以垂足曲線與反垂足曲線為背景的，可以用來畫拋物線、橢圓和雙曲線，但這種繪圖方法需要根據(jù)圓錐曲線的方程來計(jì)算，比較麻煩。

除此之外，可以用幾何畫板，Matlab，CAD等繪圖軟件繪制圓錐曲線，但在現(xiàn)代社會(huì)，手工繪圖仍然占很大的比重，因此圓錐曲線規(guī)是有非常多的潛在用戶的。

該項(xiàng)目的創(chuàng)新特點(diǎn)主要有以下方面：

①創(chuàng)造性的將橢圓，雙曲線和拋物線繪圖制作在一塊板上，更容易攜帶。

②融入機(jī)械結(jié)構(gòu)，所用機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，容易加工，容易推廣。

③可作為機(jī)械設(shè)計(jì)課程連桿機(jī)構(gòu)課堂的教具使用，更直觀地看到機(jī)構(gòu)的應(yīng)用。

2 結(jié)構(gòu)、機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

本項(xiàng)目需解決的關(guān)鍵是如何在一塊繪圖板上繪制三種不同的圓錐曲線，根據(jù)圓錐曲線的第二定義，橢圓的定義是曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為定值，雙曲線的定義是曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差為定值，而拋物線的定義是曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間距離相等。

利用本機(jī)構(gòu)可以很簡單的實(shí)現(xiàn)并滿足橢圓、拋物線和雙曲線的曲線方程。

采用如圖1所示的四鉸接菱形，AB，BC，CD，DA相等，用螺釘相連，在A點(diǎn)和B點(diǎn)連有滑塊導(dǎo)槽的連桿PK和AC，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中始終可以保證MB=MD=常數(shù)。

繪制橢圓時(shí)，根據(jù)橢圓的基本原理，曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為定值，如圖2所示，M為橢圓上的點(diǎn)，該點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)P點(diǎn)和D點(diǎn)的距離之和應(yīng)為定值，而由機(jī)構(gòu)特性可知，在運(yùn)動(dòng)過程中始終保證MP=MD，因此MP+MD=PB。

繪制雙曲線時(shí)，曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差為定值，如圖3所示，M為橢圓上的點(diǎn)，該點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)P點(diǎn)和D點(diǎn)的距離之差應(yīng)為定值，而由機(jī)構(gòu)特性可知，在運(yùn)動(dòng)過程中始終保證MB=MD，因此MP-MD=PB。

繪制拋物線曲線時(shí)，繪制雙曲線時(shí)，曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差為定值，如圖4所示，而由機(jī)構(gòu)特性可知，在運(yùn)動(dòng)過程中始終保證MB=MD，因此拋物線上的點(diǎn)M（即是準(zhǔn)線）到B點(diǎn)和D點(diǎn)的距離保證相等。但需要注意的是，在運(yùn)動(dòng)過程中PK要保證始終于EE。

基于以上原理本產(chǎn)品采用有機(jī)玻璃作為底板，在底板上有兩條滑槽，三個(gè)固定孔，用到六根連接桿，其中相同的四根構(gòu)成菱形機(jī)構(gòu)，另外兩根都帶有滑道。具體情況如圖5所示。

在繪圖板上，（1）為底板，（2）為底板配件，連桿（5）用螺釘（3）和螺釘（13）固定，使連桿（5）圍繞螺釘（3）旋轉(zhuǎn)，連桿（4）用螺釘（12）固定，在運(yùn)動(dòng)過程中墊塊（11）在連桿（4）的滑槽中移動(dòng)，（6）為菱形機(jī)構(gòu)的連桿，共四根，圖中（12），（13），（8），（7）均為固定螺釘。畫筆放置在連桿（4）和連桿（5）的焦點(diǎn)處滑槽內(nèi)，隨著連桿（5）的旋轉(zhuǎn)，可以畫出橢圓曲線。

將螺釘（3）松開，變化連桿（4）和（5）的相對(duì)位置即可畫出拋物線和雙曲線的曲線軌跡，即完成了在一塊畫板上完成三種不同圓錐曲線的繪制。

3 前景展望

使用本多功能線規(guī)可以準(zhǔn)確而且方便的繪制圓錐曲線，給設(shè)計(jì)提供了便利并且節(jié)約時(shí)間。本作品成本低，若能正式生產(chǎn)投入市場，將會(huì)有很好的市場前景。會(huì)給從事機(jī)械制造、工藝美術(shù)、科學(xué)研究和教學(xué)工作的工程技術(shù)人員、研究人員、教師、美術(shù)工作者和工人們提供了很大的便利。

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