基于小樣本的安全第一投資組合優(yōu)化模型

楊揚 哈明虎

摘要：為了解決小樣本情況下安全第一投資組合選擇問題，將結構風險最小化原則引入投資組合選擇過程中。根據(jù)結構風險最小化原則的直接實現(xiàn)，構建了含有范數(shù)約束的安全第一投資組合優(yōu)化模型，并研究了模型參數(shù)的選取方法。實驗結果驗證了本模型的有效性。

關鍵詞：小樣本；結構風險最小化原則；投資組合選擇；安全第一

中圖分類號： F830.91文獻標識碼：A 文章編號：1005-6378（2015）01-0116-04

DOI：10.3969/j.issn.1005-6378.2015.01.022

一、引言

投資組合選擇是現(xiàn)代投資組合理論中一個極其重要的研究方向[1-2]。1952年Markowitz[3]提出了均值-方差投資組合選擇模型，奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基石，同年，Roy[4]提出了投資組合選擇的安全第一（RSF）準則。和均值-方差模型不同，安全第一準則沒有將方差作為投資組合風險的度量，而是將災難事件（即投資組合收益低于某個災難水平）的發(fā)生概率作為風險的度量，旨在選擇使災難事件發(fā)生概率最小化的投資組合，換言之，Roy關注的是投資組合的下行風險[5]。受這一思想的啟發(fā)，學者們開始研究開發(fā)基于下行風險度量的投資組合選擇模型，如均值-半方差模型[6]，條件風險價值模型[7]，投資組合表現(xiàn)指數(shù)最大化模型[8]等。

雖然RSF準則得到了學者們的高度評價和重視，但是它在投資組合選擇的實際應用中存在一定的困難。如在實際的金融市場中，資產收益的真實分布函數(shù)通常是未知的，投資者僅能夠獲得資產收益的歷史數(shù)據(jù)，因而無法準確確定不同投資組合所對應的災難事件發(fā)生的概率，限制了RSF準則的應用。目前學者們通常致力于RSF準則的間接實現(xiàn)，即最小化災難事件發(fā)生概率的上界或近似值[4][9-11]。其中，Haley等[11]采用“頻率近似法”，構建了光滑安全第一投資組合選擇模型，即使用災難事件發(fā)生的頻率近似逼近概率，從而最小化災難事件發(fā)生的頻率以實現(xiàn)投資組合的RSF準則。由Glivenko-Cantelli定理可知當樣本量趨于無窮時，用經驗分布函數(shù)估計真實分布函數(shù)是可行的[12]。但是，在小樣本情況下，采用災難事件頻率最小化方法所得到的最佳投資組合并不一定能保證有小的災難事件概率。因此，研究在小樣本情況下如何實現(xiàn)安全第一的投資組合選擇是有意義的。

由Vapnik等[12-13]提出的統(tǒng)計學習理論已成為一套非常完善的解決小樣本機器學習問題的理論，這個理論中的結構風險最小化原則是小樣本情況下解決機器學習問題的指導性原則，在此基礎上給出的支持向量機已成功應用于分類、回歸和密度估計等機器學習問題。考慮到結構風險最小化原則處理小樣本問題的優(yōu)越性，本文將其引入投資組合選擇中以更好地實現(xiàn)RSF準則。

本文主要內容包括：構建了小樣本下的安全第一投資組合優(yōu)化模型；模型參數(shù)的選取問題；利用股票市場中的收益率數(shù)據(jù)對模型進行實證分析。

二、模型構建

考慮n個股票S1，S2，…，Sn的投資組合問題，假定股票收益率是隨機變量，則基于RSF準則的投資組合優(yōu)化模型為minwR（w）=Pr{（w·R）≤θ}，

其中，R=（R1，R2，…，Rn），w∈{w|（w·e）=1}，e=（1，1，…，1）是n維單位列向量，f（R）是n個股票收益率的聯(lián)合分布函數(shù)。實際上，上述模型還可以表述為如下風險泛函最小化問題

minwR（w）=∫Q（R，w）df（R），（1）

其中，Q=（R，w）=0，（w·R）>θ，

1，其他。

即，小樣本情況下的安全第一投資組合選擇問題可以歸結為小樣本下的風險泛函最小化問題，因而可以將結構風險最小化原則[12]引入投資組合選擇問題中。由結構風險最小化原則可知，為了最小化實際風險，只需最小化經驗風險與置信范圍之和。這里，采用結構風險最小化原則的直接實現(xiàn)方法[14]來實現(xiàn)安全第一投資組合選擇。

首先選取依賴于參數(shù)的決策函數(shù)候選集。

F（t）={f=（w·R）|‖w‖2≤t，（w·e）=1}，t∈（0，+∞]。

然后求解一系列依賴于參數(shù)的最優(yōu)化問題。

minwRemp[ 瘙 楋 ]=1T∑Ti=1exp-exp[（w·Ri）-θh]

st.（w·e）=1，

‖w‖2≤t，（2）

其中，t∈（0，+∞]。優(yōu)化問題（2）的解表示為wNC。

最后選擇最佳的參數(shù)所對應投資組合為最佳的投資組合。

注意到當t2=1/n，由于（w·e）=1，可知優(yōu)化問題 （2） 的解為wNC=1/n，即基于結構風險最小化原則的安全第一投資組合束退化為均衡投資。當t=+∞時，優(yōu)化問題（2）退化為光滑安全第一投資組合選擇模型。顯然，優(yōu)化問題（2）的解wNC是參數(shù)t的函數(shù)，參數(shù)t的選擇對優(yōu)化問題 （2） 的解wNC有較大影響。

河北大學學報（哲學社會科學版）2015年第1期三、模型參數(shù)選取

由前面的討論知參數(shù)t的確定至關重要，其影響優(yōu)化模型（2）的解。然而，參數(shù)t的范圍為t∈（0，+∞]，增加了選取最佳參數(shù)t的難度。接下來，為了提高參數(shù)t的選取效率，我們進一步縮小了參數(shù)的可選范圍。

定理1. 范數(shù)約束優(yōu)化模型 （2） 中參數(shù)t的范圍t∈（0，+∞]可以縮小為閉區(qū)間[1/n，‖wSM‖2]，其中wSM為光滑安全第一投資組合選擇模型的解。

由結構風險最小化原則的直接實現(xiàn)，需要從有效范圍[1/n，‖wSM‖2]內得到最佳的參數(shù)。不難看出，當t=1/n時，決策函數(shù)候選集F（1/n）內只有一個元素（1/n·R）；隨著t的增加，決策函數(shù)候選集F（t）={ 瘙 楋 =（w·R）|‖w‖2}≤t，（w，e）=1}的元素在增加。即，如果t1≤t2，我們有F（t1）F（t2）。隨著決策函數(shù)候選集的擴大，優(yōu)化問題（2）的最優(yōu)值

1T∑Ti=1exp-exp[（wNC·Ri）-θh]

在逐漸縮小，即經驗風險越來越小，直至t=‖wSM‖2，經驗風險取得最小值。而t=1/n時，經驗風險最大。因此，我們可以得出如下結論，隨著參數(shù)t的增加，投資組合的經驗風險在減小。當樣本量很小時，我們知道經驗風險最小化并不能保證有小的實際風險，所以我們可以選取較小t的代入優(yōu)化模型（2）；當樣本量很大時，通過經驗風險最小化得到的投資組合也會有小的實際風險，因而我們可以選取較大的代入優(yōu)化模型（2）；當樣本量居中時，我們可以選取閉區(qū)間[1/n，‖wSM‖2]內近似居中的點，如

t=1/n+β10‖wSM‖2-1/n，β=4，5，6。

確定最佳參數(shù)后，代入優(yōu)化模型（2），可以實現(xiàn)小樣本情況下的安全第一投資組合選擇。

四、數(shù)值實驗

結合結構風險最小化原則及其直接實現(xiàn)，本文提出了用以解決小樣本投資組合選擇問題的范數(shù)約束優(yōu)化模型（2）。而Haley等[11]提出光滑安全第一投資組合選擇模型是在經驗風險最小化原則基礎上建立的。為了說明本文提出的范數(shù)約束優(yōu)化模型的優(yōu)越性，將其與光滑安全第一投資組合選擇模型進行比較。選擇Haley等[11]使用的股票市場數(shù)據(jù)集作為實驗對象，此數(shù)據(jù)集含有21支股票從1977年1月至1996年12月的240個月收益率樣本數(shù)據(jù)。

采用滾動時域方法：選取訓練樣本量為T=10，15，…，160的樣本Rτ-T，Rτ-（T-1），…，Rτ-1訓練模型，得到兩個投資組合選擇模型的解wSM和wNC，之后分別將所得的最優(yōu)投資組合應用于第τ個樣本Rτ以測試它的表現(xiàn)，即考察所得最優(yōu)投資組合是否能使（Rτ·w）>θ，其中161≤τ≤240?？梢钥闯鑫覀兯x取的測試樣本集是不變的，為{Rτ|161≤τ≤240|}，而訓練樣本集{Rτ-T，Rτ-（T-1），…，Rτ-1|161≤τ≤240}隨著樣本量T的變化而變化。令θ=-0.015，h=0.0171，最佳參數(shù)t的選取參照如下公式

t=1/n+β10‖wSM‖2-1/n，β∈[0，10]可以看出，當β=0時，t=1/n；當β=10時，t=‖wSM‖2 。這里，為了考察訓練樣本量和參數(shù)t對模型推廣能力的影響，選取了不同的訓練樣本量（T=10，15，…160）及不同的參數(shù)

tt=1/n+β10‖wSM‖2-1/n，β=0.5，1，3，5，7，9，

比較了范數(shù)約束模型和光滑安全第一投資組合選擇模型在測試樣本集上的風險水平，比較指標如下

|{τ∶（Rτ·w）≤θ}|80，τ∈（161，162，…，240）

此評價指標描述了測試樣本集按照投資組合選擇模型得到的最優(yōu)投資組合進行投資發(fā)生災難事件的比例，是風險在測試集上的具體表現(xiàn)。實驗結果見圖1-6。

圖1-6依次描述了β=0.5，1，3，5，7，9時，兩個模型及均衡投資在測試集上的不同表現(xiàn)，橫軸表示訓練樣本的數(shù)量，縱軸表示模型在測試集{Rτ|161≤τ≤240|}上的風險水平。其中點劃線‘-·代表了光滑安全第一投資組合選擇模型，實線 ‘— 代表了范數(shù)約束優(yōu)化模型，斷點線 ‘… 代表了均衡投資。

由圖1-6可以看出，整體上，范數(shù)約束優(yōu)化模型在測試集上發(fā)生災難事件的程度小于光滑安全第一投資組合選擇模型。當β很小如β=0.5時，兩個模型的表現(xiàn)差距最大，而隨著參數(shù)β的逐漸增大，兩個模型的表現(xiàn)差距在逐漸縮小，說明了參數(shù)的選取對范數(shù)約束優(yōu)化模型的推廣能力有很大影響。

此外，當T≥100時，兩個模型在測試樣本集上的風險水平較低。當T<100時，光滑安全第一投資組合選擇模型在測試樣本集上的風險水平很高，推廣能力較差，而范數(shù)約束優(yōu)化模型的風險水平較低，特別地，當參數(shù)t取最小值（即β=0）時，范數(shù)約束優(yōu)化模型退化為均衡投資，其風險水平遠遠低于光滑安全第一投資組合選擇模型。然而，并非參數(shù)越小，范數(shù)約束優(yōu)化模型的推廣能力越強，如T≥100時，β=1時范數(shù)約束優(yōu)化模型的風險水平比β=0時要低，進一步驗證了我們的參數(shù)選取原則。

五、結論

本文構建了基于結構風險最小化原則的安全第一投資組合選擇模型，有效地解決了小樣本下的安全第一投資組合選擇問題。初步分析了模型參數(shù)對模型推廣能力的影響，證明了均衡投資和光滑安全第一投資組合選擇模型是本文所構建模型的特例。實驗結果驗證了本文所構建的模型比光滑安全第一投資組合選擇模型具有更強的推廣能力。

致謝：本課題來源于國家自然科學基金（No. 61073121；No. 60773062），河北省自然科學基金（No. F2012402037）的部分內容，特此致謝。

[參考文獻]

[1]ELTON E J， GRUBER M J， BROWN S J， GOETZMANN W N. Modern portfolio Theory and Investment Analysis[M]. 9th edn. New York： John Wiley & Sons Ltd， 2013.

[2]余維彬. 現(xiàn)代投資組合理論與投資分析[M].7版. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2008.

[3]MARKOWITZ H M. Portfolio selection [J]. Journal of Finance， 1952， 7（1）： 77-91.

[4]ROY A D. Safety first and the holding of assets [J]. Econometrica， 1952， 20（3）： 431-449.

[5]CHIU M C， WONG H Y， LI D. Roys safety-first portfolio principle in financial risk management of disastrous events [J]. Risk Analysis， 2012， 32（11）： 1856-1872.

[6]MARKOWITZ H M. Portfolio Eelection： Efficient Diversification of Investments [M]. New York： John Wiley & Sons， 1959.

[7]ROCKAFELLAR R T and URYASEV S. Optimization of conditional value-at-risk [J]. Journal of risk， 2000， 2（3）： 21-41.

[8]STUTZER M. A portfolio performance index [J]. Financial Analysts Journal， 2000， 56（3）： 52-61.

[9]ZABARANKIN M， URYASEV S. Statistical Decision Problems [M]. New York： Springer， 2014.

[10]HALEY M R， WHITEMAN C H. Generalized safety first and a new twist on portfolio performance [J]. Econometric Reviews， 2008， 27（4-6）： 457-483.

[11]HALEY M R， PAARSCH H J， WHITEMAN C H. Smoothed safety first and the holding of assets [J]. Quantitative Finance， 2013， 13（2）： 167-176.

[12]VAPNIK V N. The Nature of Statistical Learning Theory[M]. 2nd edn. Berlin： Springer， 2000.

[13]VAPNIK V N. Statistical Learning Theory [M]. New York： John Wiley & Sons， 1998.

[14]ZHANG C H， TIAN Y J， DENG N Y. The new interpretation of support vector machines on statistical learning theory [J]. Science in China （Series A： Mathematics）， 2010， 53（1）： 151-164.

【責任編輯郭玲】