巧構(gòu)向量，妙解線性規(guī)劃問題

范賢麗

[摘 要]通過構(gòu)造向量解決兩類線性規(guī)劃問題，體現(xiàn)向量的強(qiáng)大功能，同時也說明數(shù)學(xué)知識間有著緊密的聯(lián)系.

[關(guān)鍵詞]向量 向量投影 線性規(guī)劃

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2015）320049

解決線性規(guī)劃問題，常規(guī)的做法就是作出可行域，通過平移目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)解.而有些學(xué)生不能準(zhǔn)確地作出可行域，當(dāng)然也就不會平移目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解.本文介紹一種構(gòu)造向量的方法，求解線性規(guī)劃問題，希望能對學(xué)生有所幫助.

【例1】 （2015·黑龍江雙鴨市模擬）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域

x+y≥2x≤1y≤2

上的一個動點(diǎn)，則z=-x+y的取值范圍是（ ）.

A.[0，1] B.[0，2] C.[-1，0] D.[-1，2]

圖1

解析：設(shè)點(diǎn)N（-1，1），則z=-x+y=ON·OM，不等式組所表示的平面區(qū)域是如圖1所示的三角形區(qū)域.∵ON·OM的幾何意義是|ON|與向量OM在向量ON上的投影的積，而可行域中任意一點(diǎn)在向量ON上的投影集中在線段ON上（如圖1），∴ON·OM的取值范圍是[0，|ON|2]，即[0，2].故選B.

點(diǎn)評：運(yùn)用向量的幾何意義避開了平移直線，將所求ON·OM的取值范圍轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)任意一點(diǎn)到向量ON的投影，另辟蹊徑，體現(xiàn)出向量數(shù)量積的核心價值.

雖然向量法和

常規(guī)的線性規(guī)劃求解方法都是動態(tài)求解（線性規(guī)劃是平移直線；向量數(shù)量積是作垂線），但兩者運(yùn)動的多寡和難易程度是不同的.相比較來說，向量法更具可操作性，更易于學(xué)生理解.

圖2

【例2】 （2015·河南模擬）已知在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），M（1，12），N（1，0），Q（2，3），動點(diǎn)P（x，y）滿足不等式0≤OP·OM≤1，0≤OP·ON≤1，則w=OP·OQ的最大值為 .

解析：運(yùn)用向量的投影作出可行域.

在線段OM上取點(diǎn)A，使OA=25，過O、A分別作OM的垂線，過O、N分別作ON的垂線，如圖2，兩個帶型區(qū)域的公共部分（平行四邊形OBCD）即為可行域.過C作OQ的垂線，垂足為E，則w的最大值為OQ·OE.

易求得A（45，25），∴AC的方程為y-25=-2（x-45），

與NC：y=1聯(lián)立得C（12，1）.

∵OE為OC在OQ上的投影，∴OE=OC·OQ|OQ|=413，

∴w的最大值為OQ·OE=|OQ|·|OE|=4.

點(diǎn)評：向量投影法作可行域，避開了可行域的判斷過程，充分運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義——投影作出可行域.運(yùn)用投影作可行域的方法是找準(zhǔn)投影，將可行域轉(zhuǎn)化為垂線所夾的區(qū)域.在求w的最大值時，仍是運(yùn)用投影.這種算法也可以利用解直角三角形，避開求直線與直線的交點(diǎn).

運(yùn)用向量的投影作可行域的過程：先由向量數(shù)量積的范圍找到動向量在定向量上的投影范圍（投影是一條線段或射線），如本題中，由0≤OP·OM≤1得動向量OP在定向量OM上的投影滿足0≤OP·OM|OM|

≤25.因此，在向量OM上取點(diǎn)A，使OA=25，所以O(shè)P在定向量OM上的投影是線段OA；再由投影的邊界點(diǎn)作定向量的垂線，根據(jù)所找的投影確定區(qū)域，同理確定其他條件對應(yīng)的區(qū)域，最后其公共部分就是可行域.這種確定可行域的方法避開了判斷直線上方還是下方的過程.另外，從直線的方程來看，過點(diǎn)A與向量OM垂直的直線的法向量就是OM，該垂線的方程為y-25=-2（x-45），即2x+y-2=0，與轉(zhuǎn)化后的直線方程一致.

運(yùn)用向量的投影求向量數(shù)量積的最大值（最小值）的解釋：w=OQ·OP=|OQ|·|OP|cos，因?yàn)閨OQ|為定值，所以當(dāng)且僅當(dāng)|OP|cos取最大值（最小值）時，w取最大值（最小值），即當(dāng)且僅當(dāng)OP在OQ上的投影取最大值（最小值）時，w取最大值（最小值）（注意：在OQ正方向上的投影為正值，在OQ負(fù)方向上的投影為負(fù)值）.

總之，巧構(gòu)向量，利用向量的數(shù)量積求解線性規(guī)劃問題，可使解答過程簡潔明了，避免常規(guī)的線性規(guī)劃求解方法中容易出現(xiàn)的錯誤，體現(xiàn)了向量的功能.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）