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    論向量在立體幾何和平面解析幾何中的應(yīng)用

    2015-05-30 10:48:04劉川鋒
    中國(guó)校外教育(下旬) 2015年11期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)數(shù)形平面

    劉川鋒

    平面向量的運(yùn)用作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容之一,具有幾何與代數(shù)的雙重性質(zhì),向量工具為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決提供了新的有效方法與思路。同時(shí)向量也是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂改革過(guò)程中的重要舉措。在解決立體幾何與平面解析幾何問(wèn)題時(shí)運(yùn)用平面向量法能夠幫助學(xué)生更加明晰代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此,教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)幾何法的解題模式,貫徹“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念,為學(xué)生學(xué)習(xí)論證與度量問(wèn)題掃清障礙。

    向量立體幾何平面解析幾何在數(shù)學(xué)中,向量即具有方向、大小且遵循平行四邊形法則的量,根據(jù)向量方向與大小的不同,可以將其分為固定向量與自由向量。將向量法應(yīng)用在立體幾何與平面解析幾何的問(wèn)題中是一種很好的思路與方法,學(xué)生通過(guò)利用向量代數(shù)的方法能夠有效避免思維障礙,將邏輯推理的難度降低,利用坐標(biāo)運(yùn)算法及“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思維提高解題效率。

    1向量概述

    1.1概念

    求向量差:通過(guò)將兩個(gè)向量的始點(diǎn)重合,將減向量的終點(diǎn)作為始點(diǎn),將被減向量的終點(diǎn)作為終點(diǎn),兩點(diǎn)之間的差即兩向量之間的差。

    1.3向量與實(shí)數(shù)的積

    向量與實(shí)數(shù)的乘積仍表示向量,零向量與任何向量及實(shí)數(shù)的積均為零向量。

    1.4向量的坐標(biāo)運(yùn)算

    向量表示的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)與始點(diǎn)坐標(biāo)的差即向量的坐標(biāo),兩個(gè)向量的坐標(biāo)之和則為向量和的坐標(biāo),同樣的,兩個(gè)向量的坐標(biāo)之差就為向量差的坐標(biāo)。

    2平面向量法在立體幾何和平面解析幾何中的應(yīng)用

    2.1運(yùn)用圖形,建立數(shù)形結(jié)合思維

    在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中,利用傳統(tǒng)的解題方法,即綜合推理法,由于立體幾何中的角度、距離等問(wèn)題具有較強(qiáng)的技巧性,需要學(xué)生具有極強(qiáng)的邏輯推理思維能力以及抽象的空間想象力,并且此類題目沒(méi)有一成不變的規(guī)律,從而使得學(xué)生智力受到了很大考驗(yàn),在思考問(wèn)題時(shí)面臨很大挑戰(zhàn)。這個(gè)時(shí)候就需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維來(lái)處理這些問(wèn)題。

    在數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)際應(yīng)用中,我們都要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,并將這種能力應(yīng)用于立體幾何問(wèn)題解決中去。學(xué)生建立好空間概念,畫好正確的立體圖形是解決立體幾何問(wèn)題的第一步。教師要培養(yǎng)學(xué)生的空間概念,可以通過(guò)制作幾何課件和幾何模型的方法,讓學(xué)生從不同角度近距離觀察并繪圖,從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)立體空間的理解能力,并提高學(xué)生的作圖能力。

    利用平面向量法處理中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題,是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思維的很好體現(xiàn),平面向量法能夠?qū)⒘Ⅲw幾何中的空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,有效避免了傳統(tǒng)解題過(guò)程中添加輔助線等方式,削弱了抽象推理論證帶來(lái)的難度,為學(xué)生提供了更加便捷、高效的解題方法。在求解立體幾何中平面角的問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)分析題意判斷所求的角為銳角還是鈍角,然后通過(guò)計(jì)算取“相等角”或者“補(bǔ)角”。

    在高中數(shù)學(xué)中,平面解析幾何問(wèn)題主要涉及圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題。由于向量具有幾何與代數(shù)的雙重性質(zhì),能夠?qū)缀螆D形的特征與代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)同時(shí)反映出來(lái),使其成為解決平面解析幾何問(wèn)題的重要工具,對(duì)提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)與探究能力具有很好的作用。平面向量方法中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想與平面解析幾何問(wèn)題的要求十分符合,向量法作為新教材中的重要改革內(nèi)容,通過(guò)利用坐標(biāo)將平面向量刻畫出來(lái),以圖形問(wèn)題代數(shù)化的思維進(jìn)行解題,使得解題方法更具操作性。

    2.2轉(zhuǎn)換思維,增強(qiáng)學(xué)生抽象化知識(shí)理解能力

    思維轉(zhuǎn)換是學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常需要用到的一種學(xué)習(xí)方法,運(yùn)用思維轉(zhuǎn)換,可以幫助學(xué)生建立起不同知識(shí)之間的聯(lián)系,在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí),就可以充分利用這種方法,來(lái)提高學(xué)生對(duì)一些抽象知識(shí)的理解。運(yùn)用向量工具能夠較為容易的將一些復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化,利于學(xué)生解題。

    在數(shù)學(xué)平面幾何問(wèn)題中,點(diǎn)的集合形成圖形,而平面圖形中的點(diǎn)可以通過(guò)向量來(lái)表示。這樣就可以把平面幾何圖形看作是若干向量的集合,然后利用代數(shù)運(yùn)算法對(duì)平面幾何中的圖形位置關(guān)系進(jìn)行度量。通過(guò)利用向量工具解決問(wèn)題可以避免傳統(tǒng)幾何法中大量的邏輯論證過(guò)程,使得學(xué)生更容易理解抽象化的平面問(wèn)題,簡(jiǎn)便解題過(guò)程。

    在平面解析幾何的解題過(guò)程中應(yīng)用向量相等關(guān)系需注意幾方面問(wèn)題:在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)應(yīng)注意明確始點(diǎn)、終點(diǎn);在利用向量坐標(biāo)方法時(shí)通常采取設(shè)點(diǎn)而不求解的消除法進(jìn)行;當(dāng)存在多個(gè)解時(shí)應(yīng)對(duì)各個(gè)解進(jìn)行驗(yàn)證,避免增失根的問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中,解析幾何的學(xué)習(xí)是在教授了平面向量之后開展的,并不是以融合的方式進(jìn)行的,這使得平面向量與解析幾何的整合程度較低。但實(shí)際上向量法對(duì)解析幾何問(wèn)題的解決具有十分高效的作用,能夠幫助學(xué)生理清思路,簡(jiǎn)潔的解題過(guò)程有助于幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心,提高興趣。

    3結(jié)束語(yǔ)

    綜上所述,在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中,立體幾何問(wèn)題與平面解析幾何問(wèn)題是重難點(diǎn)內(nèi)容,巧妙利用平面向量法能夠幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維能力,拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí),為其在解決上述兩類問(wèn)題提供新的解題方法與思路。同時(shí),平面向量法的引入使得高中課堂數(shù)學(xué)內(nèi)容更加豐富,教師應(yīng)結(jié)合中學(xué)生的思維特征深入研究平面向量法,并與教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)結(jié)合,在新課改的要求下以簡(jiǎn)潔、優(yōu)化的解題方法提高學(xué)生的邏輯思維能力與自主探究能力。

    參考文獻(xiàn):

    [1]樊玉敏.數(shù)形結(jié)合,巧學(xué)向量——《數(shù)學(xué)》第七章“平面向量”教學(xué)建議[J].江蘇教育(職業(yè)教育版),2013,(10).

    [2]尹玲.抓好向量學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育),2012,(2).

    [3]丁益祥.談平面向量的教學(xué)⑴——數(shù)學(xué)必修4平面向量部分教材分析和教法建議[J].高中數(shù)理化,2013,(16).

    [4]龔衛(wèi)東.例說(shuō)作圖解立體幾何題[J].高中數(shù)理化,2012,(9).

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