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    辨析互斥事件與對立事件

    2015-05-30 10:48:04萬青
    高中生學習·高二版 2015年11期
    關鍵詞:空集射中骰子

    萬青

    日常生活中,經(jīng)常會遇到一些無法事先預測結果的隨機事件,事件與事件的關系是研究概率的基礎,而互斥事件與對立事件是事件的關系中兩個易混淆的概念,同學們在學習過程中一定要正確理解. 這樣才能夯實基礎,有條理地思考,從而準確地分析問題,解決問題.

    互斥事件和對立事件都是對兩個事件而言的,它們既有區(qū)別又有聯(lián)系.在一次試驗中,兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生,也可能有一個發(fā)生,而兩個對立事件則必有一個發(fā)生,但不可能同時發(fā)生. 從集合的角度看:幾個事件彼此互斥,是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此交集是空集,而事件A的對應事件[A]包含的結果組成的集合,是全集中由事件A所包含的結果組成的集合的補集. 下面通過實例對這兩個概念進行辨析:

    例1 ?在擲一枚骰子的試驗中,可以定義許多事件:

    C1={出現(xiàn)1點};C2={出現(xiàn)2點};C3={出現(xiàn)3點};

    C4={出現(xiàn)4點};C5={出現(xiàn)5點};C6={出現(xiàn)6點};

    D1={出現(xiàn)的點數(shù)不大于1};D2={出現(xiàn)的點數(shù)大于6};D3={出現(xiàn)的點數(shù)小于5};

    E={出現(xiàn)的點數(shù)小于7};F={出現(xiàn)的點數(shù)大于6};G={出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)};

    H={出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)}…

    (1)判斷下列各對事件是否是互斥事件,并說明理由.

    ①事件C1與事件C2

    ②事件C1與事件D3

    ③事件E與事件F

    分析 ?判斷兩個事件是否為互斥事件就是考查它們能否同時發(fā)生,如果不能同時發(fā)生則是互斥事件,反之就不是互斥事件.

    解 ?①是互斥事件. 因為擲一枚骰子每次只能出現(xiàn)一個數(shù),出現(xiàn)1點就不可能同時出現(xiàn)2點,所以是一對互斥事件.

    ②不可能是互斥事件. 因為“出現(xiàn)的點數(shù)小于5”包含“出現(xiàn)1點”,所以事件C1與事件D3可同時發(fā)生.

    ③是互斥事件. 因為事件E為必然事件,它一定會發(fā)生的,而事件F為不可能事件,它一定不會發(fā)生的,即二者不可能同時發(fā)生,用集合的觀點分析:事件E為全集,事件F為空集,二者的交集是空集,即不可能同時發(fā)生.

    點撥 ?互斥事件是概率知識中的重要概念,可以從兩個方面來說明:用定義看是否同時發(fā)生;類比集合的運算,看交集是否為空集,若為空集,則兩事件是互斥的.如果事件A1,A2…An中的任何兩個都是互斥事件,則稱事件A1,A2…An彼此互斥,如題目中的C1,C2…C6是彼此互斥的,反映在集合上,表現(xiàn)為由各個事件所含的結果組成的集合彼此交集為空集.

    (2)判斷下列各對事件是否構成對立事件?

    ①事件G與事件H ②事件E與事件F

    分析 ?判斷兩事件是否構成對立事件,關鍵看兩事件所含結果組成的集合是否互為補集,若是互為補集則兩事件是對立事件.

    解 ?①因為骰子的出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù),“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”所組成的集合的補集就是“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”所組成的集合.所以事件G與事件H構成對立事件.

    ②因為在集合中,全集的補集為空集.事件E所含結果構成的集合是全集,而事件F所含結果構成的集合是空集,所以二者也是對立事件.

    點撥 ?對立事件是概率中又一個重要概念,要正確理解,就要清楚對立事件是對兩個事件而言的,這兩個事件中必須有一個發(fā)生而另一個不發(fā)生. 從集合角度看,由事件A所含結果組成的集合,是全集中事件A所含結果組成的集合的補集.

    (3)判斷下列給出的每對事件,是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明理由.

    ①事件F與事件G ②事件G與事件H

    解 ?①是互斥事件,不是對立事件.因為事件F是不可能事件,它與事件G不可能同時發(fā)生,所以二者是互斥事件,同時不能保證其中必有一個發(fā)生這是由于骰子還可能出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù),因此,二者不是對立事件.

    ②既是互斥事件,又是對立事件. 因為骰子出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù),只能出現(xiàn)一個數(shù),所以這兩個事件不可能同時發(fā)生,但其中必有一個發(fā)生.

    點撥 ?互斥事件和對立事件都是就兩個事件而言的,互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件,而對立事件是在互斥事件基礎上,其中必有一個發(fā)生的互斥事件,即對立事件是特殊的互斥事件. 因此對立事件必是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件,也就是說互斥事件是對立事件的必要但不充分條件.

    例2 ?某射手射擊一次,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán),7環(huán)的概率分別為0.12,0.32,0.27,0.11. 若這名射手射擊一次,求:

    (1)射中9環(huán)或8環(huán)的概率;

    (2)至少射中7環(huán)的概率.

    解 設射手射擊一次射中10環(huán),9環(huán),8環(huán),7環(huán)分別記為事件A,B,C,D.它們是彼此互斥的,其概率分別為P(A)=0.12,P(B)=0.32,P(C)=0.27,P(D)=0.11.

    (1)射中9環(huán)或8環(huán)為事件B∪C,

    則P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.32+0.27=0.59.

    故射中9環(huán)或8環(huán)的概率為0.59.

    (2)至少射中7環(huán)為事件A∪B∪C∪D,

    則P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.82.

    故至少射中7環(huán)的概率為0.82.

    點撥 ?本題是概率計算題中的典型題型,需要辨清事件之間的關系,從而選擇正確的概率計算公式.

    例3 ?甲、乙兩人下棋,乙不輸?shù)母怕适?.7,下成和棋的概率為0.5,分別求出甲、乙獲勝的概率.

    分析 ?記甲勝為事件A,乙勝為事件B,和棋為事件C,故事件A,B,C彼此互斥,乙不輸為事件B∪C.

    解法一 ?甲、乙兩人下棋,結果只有三種:甲勝、和棋、乙勝,彼此都是互斥的. 其中乙不輸為互斥事件“乙勝”與“和棋”的并集,從而可以求出乙勝的概率,并可以求出甲勝的概率.

    P(B)=P(B∪C)-P(C),

    又根據(jù)題意有P(B∪C)=0.7,P(C)=0.5,

    故P(B)=0.7-0.5=0.2,P(A)=1-P(B∪C)=1-0.7=0.3.

    所以甲、乙獲勝的概率分別為0.3,0.2.

    解法二 ?乙不輸與甲獲勝為對立事件,故可直接求出甲獲勝的概率,從而求出乙獲勝的概率.

    乙不輸與甲獲勝是對立事件,故P(A)=1-0.7=0.3,又結果只有三種:甲勝、和棋、乙勝,且彼此互斥. 故P(B)=1-P(A)-P(C)=1-0.3-0.5=0.2,所以甲、乙獲勝的概率分別為0.3,0.2.

    總結 ?解答此類問題的關鍵,在于判斷兩事件是互斥事件還是對立事件,也就是牢記“在一次試驗中,兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生,也可能有一個發(fā)生,而兩個對立事件則必有一個發(fā)生,但不可能同時發(fā)生”. 只要我們正確理解了二者的概念,抓住了本質(zhì),再根據(jù)已經(jīng)判斷出的情況,開展后續(xù)計算求解,那么這類問題也就迎刃而解了.

    [練習]

    1.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ? )

    A.至多一次中靶 B.兩次都中靶

    C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶

    2.若P(AUB)=P(A)+P(B)=1,則事件A與B的關系是( ? )

    A.互斥不對立 B.對立不互斥

    C.互斥且對立 D.以上答案都不對

    3.從撲克牌40張(紅、黑、方、梅點數(shù)從1到10各10張)中,任取一張.判斷下列給出的每對事件,是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明理由.

    (1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;

    (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;

    (3)“抽出的牌點數(shù)為5的位數(shù)”與“抽的牌點數(shù)大于9”.

    [參考答案]

    1.D ?2.D

    3.(1)是互斥事件,不是對立事件;

    (2)既是互斥事件,又是對立事件;

    (3)不是互斥事件,更不可能是對立事件.

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