完美數(shù)與梅森素?cái)?shù)

蔡天新

上期，我們講了公元前5世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯所定義的完美數(shù)、友好數(shù)及其現(xiàn)狀。完美數(shù)等于自身的真因數(shù)之和，其中最小的是6，因?yàn)橛?=1+2+3。第二小的完美數(shù)是28，因?yàn)?8=1+2+4+7+14。自誕生以來。完美數(shù)就具有一種誘人的魔力，吸引了眾多的數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者。他們像淘金客一樣“趨之若鶩”，永不停歇地去尋找完美數(shù)。

我們也曾提到，1747年，客居柏林的瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉證明了，一個(gè)偶數(shù)n要成為完美數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它是下列形式的數(shù)：

n=2^p-1（2^p-1），

①其中p和2^p-1-1均為素?cái)?shù)。

可是，在這中間約有2300年。這中間數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者們都去干了些什么呢？難道什么也沒做嗎？

事實(shí)上，公元前3世紀(jì)問世的歐幾里得的《幾何原本》中便提到并證明了公式①是偶完美數(shù)的充分的條件。但這個(gè)充分條件很可能是由柏拉圖的弟子阿契塔首先發(fā)現(xiàn)的，他生活在公元前4世紀(jì)。相傳，風(fēng)箏也是他發(fā)明的。當(dāng)p取2和3時(shí)，分別對應(yīng)于6和28這兩個(gè)完美數(shù)；而當(dāng)p取5和7時(shí)，則分別對應(yīng)于496和8128。對于比較小的p，2^p-1-1是素?cái)?shù)不難驗(yàn)證。但并非總是如此。

大約在1000年，巴士拉（今伊拉克）出生的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家海桑猜測，①也是偶完美數(shù)的必要的條件。可他當(dāng)時(shí)無法給出證明。這不禁讓我們想起了非歐幾何學(xué)的那些最早的探索者，他們也是幾位阿拉伯和波斯的數(shù)學(xué)家。海桑還是中世紀(jì)的最重要的一位物理學(xué)家，尤以光學(xué)方面的貢獻(xiàn)最大。古希臘的希羅和托勒密認(rèn)為，人能看見物體是靠眼睛發(fā)射出的光線被物體反射的結(jié)果。海桑對此予以糾正，他認(rèn)為光是由太陽或其他發(fā)光體發(fā)射出來的，然后通過被看見的物體反射人人眼。

巴士拉位于巴比倫河的人海處，它是伊拉克戰(zhàn)爭期間美英聯(lián)軍首先攻占的城市。海桑生前被尊稱為“巴士拉先生”，但他的學(xué)術(shù)生涯主要是在開羅度過的。他的生活并不如意。一次，他為了惹人注意。聲稱自己能夠調(diào)控經(jīng)常泛濫的尼羅河水，結(jié)果被國王下令去完成調(diào)控任務(wù)。海桑在明白這個(gè)任務(wù)不可能完成以后，便對自己的生命感到了擔(dān)憂，遂開始裝瘋賣傻，直到國王去世才恢復(fù)“正?！薄?/p>

第5個(gè)完美數(shù)姍姍來遲，與第4個(gè)差不多相隔了13個(gè)半世紀(jì)，橫跨了中世紀(jì)漫長的黑暗年代。直到15世紀(jì)，確切地說是在1456年到1461年間，它才由一位無名氏發(fā)現(xiàn)。這第5個(gè)完美數(shù)是一個(gè)8位數(shù)：33550336，對應(yīng)于p=13。但在歐拉的證明之前，人們還不能斷定這就是第五小的完美數(shù)，因?yàn)橛锌赡艽嬖诒贿z漏的完美數(shù)，也即在第4個(gè)完美數(shù)和第5個(gè)完美數(shù)中間可能會(huì)有別的完美數(shù)。

1588年，博洛尼亞的意大利數(shù)學(xué)家卡塔迪找到了第6個(gè)完美數(shù)8 589 869 056和第7個(gè)完美數(shù)137 438 691 328，分別對應(yīng)于p=17和p=19。至此，完美數(shù)研究的領(lǐng)先優(yōu)勢又重新回到了歐洲。有趣的是。在卡塔迪之前，至少有19個(gè)人聲稱找到了所謂的第6個(gè)完美數(shù)。而第7個(gè)完美數(shù)所包含的那個(gè)素?cái)?shù)2¹⁹-1=524287，在此后的兩個(gè)世紀(jì)里竟然一直是人類所知曉的最大的素?cái)?shù)。

在卡塔迪發(fā)現(xiàn)第6個(gè)和第7個(gè)完美數(shù)的同一年，法國天主教神父梅森（1588-1648）誕生了。他的故鄉(xiāng)在巴黎西部盧瓦河大區(qū)的薩爾特省。梅森研究了形如M_n=2ⁿ-1的整數(shù)，這類整數(shù)被后人稱為梅森數(shù)。當(dāng)梅森數(shù)為素?cái)?shù)時(shí)，則稱為梅森素?cái)?shù)。顯而易見，有多少個(gè)梅森素?cái)?shù)，就有多少個(gè)完美數(shù)。但在那個(gè)年代。這個(gè)命題的逆命題是否成立，尚不得而知。

當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)M₂=3，M₃=7，M₅=31，M₇=127都是素?cái)?shù)時(shí)，自然會(huì)聯(lián)想并猜想所有的M_p（p為素?cái)?shù)）都是素?cái)?shù)。但這個(gè)猜想?yún)s是錯(cuò)誤的，事實(shí)上，

M_n=2¹¹=2047=23×89。

不管怎么說吧，自從梅森素?cái)?shù)出現(xiàn)以后，完美數(shù)的歷史便與梅森素?cái)?shù)掛上了鉤。

17世紀(jì)。兩位多才多藝的大數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬對人類文明作出了巨大的貢獻(xiàn)。對完美數(shù)問題，他們也悄悄予以關(guān)注，并傾注了心血，不過卻收效甚微。笛卡爾曾公開預(yù)言：“能找出的完美數(shù)是不會(huì)很多的。就好比人類一樣，要找一個(gè)完美的人并非易事?！?638年，笛卡爾在給梅森的信中寫到：“我想我能夠證明，除了歐幾里得所給出的以外，再也沒有別的偶完美數(shù)了；而一個(gè)奇數(shù)要成為完美數(shù)，必然是一個(gè)素?cái)?shù)與若干個(gè)不同素?cái)?shù)的平方的乘積……”但笛卡爾的預(yù)言要再過一個(gè)多世紀(jì)才能實(shí)現(xiàn)呢。

1640年，經(jīng)過數(shù)年的探索以后，費(fèi)馬在給梅森的信中聲稱他可以證明：當(dāng)指數(shù)n是合數(shù)時(shí)，2ⁿ-1必然也是合數(shù)。自那以后不久，費(fèi)馬寫信給另一個(gè)朋友，宣布了著名的費(fèi)馬小定理：若p是素?cái)?shù)，p不整除a，則p必整除a^p-1-1。不難看出，費(fèi)馬是從完美數(shù)的研究過程中得到了費(fèi)馬小定理的。后者在現(xiàn)今流行的密碼學(xué)理論中正發(fā)揮著極其重要的作用。這里再說個(gè)小插曲：據(jù)說微積分學(xué)的兩個(gè)發(fā)明人之一、德國數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家萊布尼茲就曾荒謬地認(rèn)為，2ⁿ-1是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)。

梅森收到費(fèi)馬的來信以后，非常高興，對不超過257的所有素?cái)?shù)p，研究了2^p-1形的素?cái)?shù)，并在1644年把結(jié)果公之于眾。梅森是著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，還被譽(yù)為“聲學(xué)之父”。梅森是17世紀(jì)前半葉法國科學(xué)界和數(shù)學(xué)界的中心人物，法國科學(xué)院的雛形其實(shí)是他舉辦的沙龍。

現(xiàn)在，輪到瑞士出生的大數(shù)學(xué)家歐拉（1707-1783）登場了。

1747年，客居柏林的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉終于證實(shí)了海桑的猜想，即凡是偶完美數(shù)其必具有①的形式。從今天來看，這個(gè)證明并不難。這一充分而且必要的條件今天也被稱作歐幾里得一歐拉定理。

至此，偶完美數(shù)的問題比較清晰了，其存在性歸結(jié)為梅森素?cái)?shù)的判斷。又過了25年，65歲的歐拉此時(shí)早已返回俄國彼得堡。但他雙目失明了。他在助手的幫助下，竟然用心算找到了第8個(gè)完美數(shù)：

2 305 843 008 139 952 128。共19位（對應(yīng)于p=31）。此時(shí)，距離上一個(gè)完美數(shù)的發(fā)現(xiàn)。已過去了184年。這也就是說，雖然17世紀(jì)被英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家懷特海譽(yù)為“天才的世紀(jì)”，并且有多位偉大的數(shù)學(xué)家沉湎于完美數(shù)的問題，但仍然沒有找到哪怕一個(gè)新的完美數(shù)！

時(shí)光又流逝了一個(gè)多世紀(jì)，1883年，在俄國烏拉爾山以東（隸屬于亞洲），離葉卡捷琳堡250公里的一座小村莊里，56歲的東正教牧師普沃茨米找到了第9個(gè)完美數(shù)（共37位，對應(yīng)于p=61）。不過，他的出生地是烏拉爾山西側(cè)的彼爾姆州（隸屬于歐洲）。

此前7年，即1876年，法國數(shù)學(xué)家盧卡斯從15歲開始，經(jīng)過長達(dá)19年的努力，手工檢驗(yàn)出M₁₂₇是素?cái)?shù)（77位）！在隨后的四分之三個(gè)世紀(jì)里，M₁₂₇一直是人類所知的最大的素?cái)?shù)，直到計(jì)算機(jī)時(shí)代來臨（所以，M₁₂₇可能永遠(yuǎn)是手工驗(yàn)算出來的最大的素?cái)?shù)了）。

1911年和1914年，美國科羅拉多州的一位鐵路公司職員鮑威爾又發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)新的（第10個(gè)和第11個(gè)）完美數(shù)，共54位和65位，對應(yīng)于p=89和p=107。而盧卡斯找到的那個(gè)完美數(shù)依照大小是第12個(gè)。

鮑威爾有所不知的是，在他于加州小鎮(zhèn)去世的頭一天晚上，即1952年1月30日，加州大學(xué)伯克利分校的羅賓遜教授利用計(jì)算機(jī)，找到了另外兩個(gè)新的完美數(shù)（第13個(gè)和第14個(gè)），對應(yīng)于p=521和p=607。當(dāng)年，羅賓遜又找到了另外3個(gè)完美數(shù)。從那時(shí)起。完美數(shù)便進(jìn)入了計(jì)算機(jī)時(shí)代，尋找完美數(shù)和梅森素?cái)?shù)的競爭也變成計(jì)算機(jī)間的競爭了。