淺談抽象函數(shù)的性質(zhì)

田鈺

【摘要】抽象函數(shù)指一類只給出具有某類特征或性質(zhì)，用一種符號(hào)表示的函數(shù)，這類函數(shù)沒有給出或沒有具體的函數(shù)解析式，是高中函數(shù)部分的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn).學(xué)生在此之前已經(jīng)對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性和周期性有了初步的理解，但是認(rèn)識(shí)比較膚淺，缺乏全面深入的研究.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；單調(diào)性

抽象函數(shù)指一類只給出具有某類特征或性質(zhì)，用一種符號(hào)表示的函數(shù)，這類函數(shù)沒有給出或沒有具體的函數(shù)解析式，是高中函數(shù)部分的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn).做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力.由于抽象函數(shù)的抽象性和隱蔽性，讓大多數(shù)學(xué)生感到無從下手，本文對(duì)抽象函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)的歸納小結(jié)，有助于從總體上把握抽象函數(shù)的性質(zhì).

一、抽象函數(shù)的定義域

解決抽象函數(shù)定義域問題，必須明確抽象函數(shù)的定義，運(yùn)用整體等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.

若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，2]，則函數(shù)f（x-1）的定義域?yàn)?

分析 由題意知-1≤x-1≤2，求出x的范圍并用區(qū)間表示，是所求函數(shù)的定義域.

解 ∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，2]，∴-1≤x-1≤2，解得0≤x≤3.∴所求函數(shù)的定義域是[0，3].

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是抽象函數(shù)的定義域的求法，有兩種類型：

1.已知f（x）定義域?yàn)镈，則f（g（x））的定義域是使g（x）∈D有意義的x的集合；

2.已知f（g（x））的定義域?yàn)镈，則g（x）在D上的值域，即為f（x）定義域.

二、抽象函數(shù)的值域

求解抽象函數(shù)的值域首先明確值域由定義域和對(duì)應(yīng)法則決定，然后結(jié)合抽象函數(shù)的其他性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）進(jìn)行求解.

例2 已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足2x=a1-f（x）-1，則f（x）的值域是.

分析 先由f（x）為奇函數(shù)求出a，得到f（x）表達(dá)式，由2x>0及函數(shù)的單調(diào)性可求出f（x）的值域.

解 由2x=a1-f（x）-1，得f（x）=1-a[]2x+1.因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0.所以0=1-a2，解得a=2，f（x）=1-2[]2x+1.因?yàn)?x>0，所以0<2[]2x+1<2，-2<-2[]2x+1<0，-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題，難度不大.

三、抽象函數(shù)的單調(diào)性

解決抽象函數(shù)問題單調(diào)性問題，可以緊扣基本定義（作差或作商），進(jìn)行合理的拼湊即可解決問題.

例3 對(duì)于函數(shù)f（x）=a-2[]2x+1（a∈R），探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析 （1）設(shè)x1

解 （1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x1

∵x10.

∴f（x1）-f（x2）<0，

即f（x1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵.

四、抽象函數(shù)的奇偶性

解抽象函數(shù)奇偶性問題時(shí)，一定要先考察其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后緊扣奇偶性定義進(jìn)行合理的賦值，即可求解問題.

例4 若函數(shù)f（x）對(duì)一切x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）.

（1）試判斷f（x）的奇偶性；

（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）.

分析 （1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對(duì)x，y都賦值為0.

（2）由于知曉f（-3）=a，故解本題關(guān)鍵是找出f（12）與f（-3）之間的關(guān)系，注意用（1）的結(jié)論.

解 （1）顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又∵函數(shù)對(duì)一切x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0.再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）.∴f（x）為奇函數(shù).（2）∵f（-3）=a且f（x）為奇函數(shù)，∴f（3）=-f（-3）=-a.又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R，

∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a.

故f（12）=-4a.

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時(shí)本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)常用的一種探究的方式，在第二問的求值中根據(jù)恒等式的結(jié)構(gòu)把已知用未知表示出來，做題時(shí)注意體會(huì)抽象函數(shù)恒等式的用法規(guī)律.

我們研究抽象函數(shù)主要從抽象函數(shù)的概念和性質(zhì)進(jìn)行研究，可類比初等函數(shù)的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，雖然抽象函數(shù)的抽象性和多邊性使得抽象函數(shù)的求解非常困難，但事實(shí)上抽象函數(shù)與諸多基本函數(shù)的性質(zhì)有著非常緊密的聯(lián)系，只要在解題過程中不斷地進(jìn)行歸納和總結(jié)，挖掘其中的隱含條件，運(yùn)用以上歸納的策略進(jìn)行求解，可達(dá)到事半功倍的效果.