高中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的探究

鄒青

【摘要】數(shù)學(xué)建模對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革，全面推進(jìn)高中數(shù)學(xué)教育具有重要作用。本文探討了如何在日常教學(xué)中開(kāi)展高中數(shù)學(xué)建模的方法，以期將使數(shù)學(xué)建模在高中階段更容易開(kāi)展，使學(xué)生更容易體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，從而更好地將數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)以致用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用

1 引言

現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會(huì)，信息技術(shù)高速發(fā)展，促使了數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用取得巨大的成功，數(shù)學(xué)幾乎滲透到了社會(huì)的每一個(gè)領(lǐng)域和學(xué)科，發(fā)揮了實(shí)質(zhì)性的作用。任何一門(mén)學(xué)科走向科學(xué)的過(guò)程都是形式化、符號(hào)化、建立數(shù)學(xué)模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪^(guò)程。不同學(xué)科構(gòu)建符合自身研究對(duì)象特性的形式、符號(hào)和數(shù)學(xué)模型的方法，就是這門(mén)學(xué)科特有的思維方法和工作方法。新一輪的課程改革非常關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，而數(shù)學(xué)建模無(wú)疑是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)與社會(huì)自然和生活實(shí)際的聯(lián)系，推動(dòng)學(xué)生關(guān)心現(xiàn)實(shí)，了解社會(huì)，解讀自然，體驗(yàn)人生。整個(gè)建模的過(guò)程充滿(mǎn)了思考、調(diào)研、試探、操作以及實(shí)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生有著非常大的綜合性挑戰(zhàn)和強(qiáng)烈的鞭策。

2 高中數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)述

數(shù)學(xué)模型是一種抽象的模擬，它用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖和表等刻畫(huà)客觀(guān)事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是現(xiàn)實(shí)世界的簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描述。數(shù)學(xué)模型是為一定目的，對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界而做出的抽象的、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型不是對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的簡(jiǎn)單的模擬，它是人們用以認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)和解決實(shí)際問(wèn)題的工具。數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息通過(guò)提煉、分析、歸納以及翻譯的結(jié)果，它使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確地表達(dá)了對(duì)象的內(nèi)在特征，通過(guò)數(shù)學(xué)上的演繹推理和分析求解，使得我們可以深化對(duì)所研究的實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的一般性思考方法。從科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、管理等角度看，數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)建模的一般步驟為：

1）準(zhǔn)備：考慮問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的，掌握必要的數(shù)據(jù)資料，分析問(wèn)題所涉及的量的關(guān)系，弄清其對(duì)象的本質(zhì)特征；

2）假設(shè)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言進(jìn)行假設(shè)，選擇有關(guān)鍵作用的變量和主要因素；

3）建模：根據(jù)模型假設(shè)，著手建立數(shù)學(xué)模型，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量間的定量或定性關(guān)系，初步形成數(shù)學(xué)模型，盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具；

4）求模：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；

5）檢驗(yàn)：把求得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到實(shí)際問(wèn)題中去檢驗(yàn)，判斷其真?zhèn)?，是否可靠，必要時(shí)給予修正。

高中數(shù)學(xué)建模具有其獨(dú)特的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模不一定有唯一正確的答案，對(duì)同一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，不同的人卻可能建立起完全不同的模型而都符合實(shí)際問(wèn)題的基本要求。數(shù)學(xué)建模沒(méi)有統(tǒng)一的方法，面對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生可以任意選定建模方法，因此應(yīng)該向?qū)W生說(shuō)清楚常用的建模方法，譬如機(jī)理分析法、測(cè)試分析法、擬合法等。高中數(shù)學(xué)所建模型還具有逼真性、可行性、漸進(jìn)性和可轉(zhuǎn)移性的特點(diǎn)，建模時(shí)不必追求模型的完美無(wú)缺而只要符合實(shí)際問(wèn)題的基本要求即可，建模會(huì)出現(xiàn)反復(fù)幾次建模過(guò)程，包括由簡(jiǎn)到繁，也包括由繁到簡(jiǎn)，所建模型完全可能轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域中去。

3 高中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

形成數(shù)學(xué)建模的能力需要較長(zhǎng)時(shí)間，雖然數(shù)學(xué)建模有基本程序，但是數(shù)學(xué)建模過(guò)程不是機(jī)械的套路，數(shù)學(xué)建模能力是伴隨著數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)和實(shí)踐活動(dòng)逐漸形成的，是伴隨著對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感悟的加深、用數(shù)學(xué)的意識(shí)的增強(qiáng)、綜合知識(shí)的拓寬逐漸提高的。教師可以把一些較小的數(shù)學(xué)建模等應(yīng)用問(wèn)題，通過(guò)把數(shù)學(xué)建模過(guò)程分解后，切入放到正常教學(xué)的局部環(huán)節(jié)上去做，而且經(jīng)常這樣做我們可以用“化整為零”、“細(xì)水長(zhǎng)流”來(lái)描述這種做法。比如在新知識(shí)的引入、復(fù)習(xí)課時(shí)，可以用一點(diǎn)時(shí)間穿插介紹一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用或數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題，讓學(xué)生在課堂上通過(guò)討論僅僅完成“問(wèn)題數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。

切入的內(nèi)容應(yīng)該和正常的教學(xué)內(nèi)容、教材的要求比較接近，以便于學(xué)生的理解和對(duì)教材知識(shí)的掌握，如現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在著最優(yōu)化問(wèn)題——最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題；現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在著數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，如投資決策、人口控制、資源保護(hù)、生產(chǎn)規(guī)劃、交通運(yùn)輸、水土流失等問(wèn)題中涉及的有關(guān)數(shù)量問(wèn)題，常歸結(jié)為不等式問(wèn)題。限于篇幅舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子如下：

汽車(chē)在行駛過(guò)程中，由于慣性作用，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，該段距離一般稱(chēng)之為“剎車(chē)距離”。剎車(chē)距離是分析事故的一個(gè)重要因素。在一個(gè)限速40km/h以?xún)?nèi)的彎道上，A、B兩輛汽車(chē)相向而行發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)但還是碰車(chē)了，事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得A車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)12m，B車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m，又知A、B兩種車(chē)型剎車(chē)距離s（m）與車(chē)速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：

，

問(wèn)超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰(shuí)？

分析思路：要弄清主要責(zé)任者需分析行駛速度，要弄清速度問(wèn)題，就要運(yùn)用剎車(chē)距離函數(shù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，構(gòu)建一元二次不等式，即建立數(shù)學(xué)模型。

，

分別求解不等式，得 （舍）， （舍），經(jīng)比較，易知乙車(chē)超過(guò)限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任。學(xué)生在教學(xué)中熟悉了數(shù)學(xué)建模，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。教師也可以自己根據(jù)所教的內(nèi)容，結(jié)合自己的知識(shí)領(lǐng)域，收集并設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模方面的問(wèn)題，用于課堂教學(xué)。

4 結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)建模有別于傳統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，教師不是要教學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，而是要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)。高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例應(yīng)符合學(xué)生的學(xué)情和學(xué)力，依托已有知識(shí)基礎(chǔ)，參考教學(xué)進(jìn)度，結(jié)合社會(huì)熱點(diǎn)和生活實(shí)際，分專(zhuān)題、分階段、分層次的設(shè)計(jì)選取。建模過(guò)程中對(duì)模型的探索沒(méi)有固定的模式和準(zhǔn)則，需要合理的假設(shè)、敏銳的洞察、必要的遷移、準(zhǔn)確的判斷，需要?jiǎng)?chuàng)新能力、信息雙向翻譯能力、查閱資料使用技術(shù)手段能力等共同協(xié)作。數(shù)學(xué)建模為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)開(kāi)啟了一扇窗，讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，培養(yǎng)了學(xué)生的建模意識(shí)和建模能力，學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)、探究、解決問(wèn)題的過(guò)程中有不同層次的收獲，提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]沈文選.簡(jiǎn)析中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教育性質(zhì)[J].當(dāng)代教育論壇，2002，（10）.

[2]姜啟元.數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004年.