數(shù)形結合的典范

徐傳勝

數(shù)與形是數(shù)學中兩個最基本的研究對象，我們在研究問題時，往往喜歡把數(shù)與形結合起來.

借助圖形思維將代數(shù)學與幾何學完美結合者首推法國數(shù)學家笛卡兒（ 1596-1650）和費馬（1601-1665）.

1.笛卡兒與解析兒何.

笛卡兒是一位杰出的近代哲學家，是近代生物學的奠基人，是一流的物理學家，

笛卡兒試從三種不同途徑研究數(shù)學：從哲學角度，把數(shù)學方法看作是在一切科學領域建立真理的基礎：從自然科學角度，廣泛研究了力學、靜力學、光學和生物學等，其《幾何學》就有一部分涉及光學；從數(shù)學應用角度，致力于尋找數(shù)學的應用價值，這迥別于古希臘學者，

笛卡卜兒對當時幾何學和代數(shù)學的研究方法進行了較為詳盡的分析和比較.雖然幾何圖形易于展示某些事物的性質，但他認為“古人幾何學”只限于形象，尤其對歐兒里得幾何的每個證明都要求某種奇巧想法而深感不安，

笛卡兒看到了代數(shù)學具有作為普遍科學方法的潛力，認識到其程序機械化和減少工作量之價值.他認為當時的代數(shù)學嚴重受到了公式和法則之束縛，完全不像一門改進思想的科學.鑒于此，笛卜兒對幾何學、代數(shù)學進行了有機融合，從而創(chuàng)立了解析幾何，

笛卡兒解析兒何思想有兩個基本觀點：一是坐標觀點，用坐標表爪點的位置，從而把坐標通過點動成線具體運川到曲線（或直線）方程建立上：二是把有關聯(lián)的兩個變數(shù)的任意代數(shù)方程，看成平面上的一條曲線（或直線）.這樣運動就進入了數(shù)學，從而為微積分產(chǎn)生奠定了理論基礎.

2.費馬與解析幾何，

費馬出身于商人家庭，有幸接受了良好教育并當上圖盧茲大法官.為避免社會動蕩時期政治風波之影響，費馬將業(yè)余時間全都用于閉門讀書，被稱為“業(yè)余數(shù)學家之王”.他只對能夠創(chuàng)造未被他人觸及的定理所帶來的那種愉悅而感到滿足.解析幾何、微積分、概率論和數(shù)論，不管是哪個數(shù)學分支的成就都可以讓費馬在數(shù)學殿堂占有一席之地.

費馬的相關研究不僅使網(wǎng)錐曲線從圓錐附屬地位解放出來，而且構建了曲線（或直線）和代數(shù)方程的對應關系，給l代數(shù)方程的一般表示方法和研究工具.

雖然笛卡兒和費馬都研究了解析幾何，但其基本思想、研究目的和研究方法卻有著不同.費馬主要是繼承古希臘幾何學思想，未能完全擺脫阿波羅尼奧斯靜態(tài)研究幾何曲線的影響，而笛卡兒則是從批評古希臘傳統(tǒng)出發(fā)，為幾何學注入了新活力.雖然用方程表示曲線（或直線）之思想在費馬的研究中較為明顯，但真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法威力者應是笛卡兒，

后來，解析幾何得以迅速發(fā)展.至19世紀80年代，古典解析幾何已逐步向向量分析或向量代數(shù)方向發(fā)展.歷史研究表明：笛卡兒方法論原理旨在尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，其《幾何學》思路與傳統(tǒng)方法大相徑庭.他主張“汲取幾何學和代數(shù)學中一切最好的東西，互相取長補短”.而解析幾何像一座橋梁，使得兩個彼此相隔的領域（即幾何學與代數(shù)學）在笛卡兒、費馬那里實現(xiàn)了和諧統(tǒng)一，使之互相吸取了新鮮的活力：既可使幾何目的通過代數(shù)達到，又可給代數(shù)概念以幾何解釋.解析幾何方法由于具有解決各類問題的普遍性，現(xiàn)已成為幾何研究中的基本方法之一。