數(shù)學(xué)解題反思—反思題意的理解過程

摘 要：數(shù)學(xué)解題的思維過程是從理解問題開始的，G.波利亞在他的“怎樣解題”表中提出數(shù)學(xué)思維過程的四個(gè)階段：弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。其中“弄清問題”就是我們通常所說的“理解題意”，是解題能否取得成功的關(guān)鍵的第一步。本文就題意的理解進(jìn)行反思。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；理解題意；解題反思

數(shù)學(xué)解題的思維過程是從理解問題開始的，G.波利亞在他的“怎樣解題”表中提出數(shù)學(xué)思維過程的四個(gè)階段：弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。其中“弄清問題”就是我們通常所說的“理解題意”，是解題能否取得成功的關(guān)鍵的第一步?！袄斫忸}意”的一種表現(xiàn)形式就是從問題的情景中“獲取信息”和“加工信息”?！袄斫忸}意”的第一步是從題意中“獲取信息”，“獲取信息”的主要方法是檢索信息和搜索信息?！凹庸ば畔ⅰ本褪且园l(fā)散性加工的方式或收斂性加工的方式解釋、組織和轉(zhuǎn)化信息。要用自己的語言對(duì)問題重新描述，用自己的理解實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的重構(gòu)。事實(shí)上，學(xué)生在解題活動(dòng)中往往欠缺的首先是這一點(diǎn)。

一、案例解析

例1：設(shè)集合A={x|x2+（b+2）x+1=0，b∈R}，求A中所有元素的和。

誤解：由韋達(dá)定理，得方程x2+（b+2）x+1=0，b∈R的兩根之和為：x1+x2=-（b+2），∴A中所有元素之和為-（b+2）

教師引導(dǎo)學(xué)生反思：集合表示什么？該一元二次方程有什么特點(diǎn)？含有參數(shù)b在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的根的情況有哪些？沒有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，這三種情況可以通過什么來反映？

方程x2+（b+2）x+1=0，b∈R的根的判別式Δ=（b+2）2-4（b+1）=b2≥0。

用集合來表示一元二次方程的實(shí)數(shù)根時(shí)，應(yīng)全面理解為A={x|x2+（b+2）x+1=0，b∈R}

={

，

}（Δ=b2-4ac>0）（二元集）

{

}（Δ=0）（一元集）

Φ（空集）

回到題目中去，未知量是什么？——求集合中所有元素之和。

“求集合A中所有元素之和”與“求一元二次方程的兩根之和”有區(qū)別嗎？有什么區(qū)別？

當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，根據(jù)集合中元素的互異性，僅表示為一元集，在該題中當(dāng)b=0時(shí)，A={-1}，而不是{-1，-1}。因此b=0時(shí)，A中元素的和不等于方程的兩個(gè)根之和，也就不能用-（b+2）且b=0來表示。

二、理解題意存在偏差的原因分析

學(xué)生在解答上述問題時(shí)，在理解題意的過程中發(fā)生了什么偏差呢？——理解題中的“兩根之和”條件時(shí)，擴(kuò)大為“不相等兩根”，附加了并不屬于題設(shè)的個(gè)人主觀含義。

理解題意是正確解題的前提，正確理解題意就是將題目所提供的信息全部消化吸收并進(jìn)行分解和編碼。如分清題目的“已知”與“未知”，“條件”與“結(jié)論”，透徹地理解其中每個(gè)概念的含義，揭示它們之間的聯(lián)系。消除似是而非，顧此失彼的思想狀態(tài)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己最初理解題目的過程進(jìn)行反思，也就是在解題活動(dòng)完成以后，要求學(xué)生對(duì)“獲取信息”和“加工信息”的過程進(jìn)行思考，長(zhǎng)此以往，有助于學(xué)生在理解題意上有所長(zhǎng)進(jìn)，從而積累更多的經(jīng)驗(yàn)。

理解題意的另一種表現(xiàn)形式就是問題表征，“理解的一個(gè)重要指標(biāo)就是看一個(gè)人能否用平常的語言把問題陳述出來，并通過對(duì)問題的陳述產(chǎn)生關(guān)于問題的內(nèi)部表征?！焙芏鄬W(xué)生對(duì)這些也是不易想象到的，對(duì)抽象符號(hào)理解的最有效方法就是“具體化”，先取一兩個(gè)，兩三個(gè)具體的數(shù)代進(jìn)去試驗(yàn)一下看看。

數(shù)學(xué)知識(shí)是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，探尋知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系是解題思維的重要出發(fā)點(diǎn)和解題思維活動(dòng)過程的重要方面，解題過程能有效展示知識(shí)之間的聯(lián)系。反思解題所用知識(shí)點(diǎn)，尋找知識(shí)間的聯(lián)系，能使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)系和聯(lián)系的理解，逐步向縱向和橫向形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，擴(kuò)充知識(shí)結(jié)構(gòu)，并在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系，促使解題活動(dòng)中的知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生“連鎖反應(yīng)”效應(yīng)，優(yōu)化解題過程。

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作者簡(jiǎn)介：王玉花（1976— ），女，內(nèi)蒙古巴彥淖爾人，碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。