從系統(tǒng)的高度探究求向量數(shù)量積的方法

曾松林

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，有一個(gè)很常見的問題，他們總是認(rèn)為題目解出來就算了.他們喜歡憑著感覺和記憶做題，喜歡簡(jiǎn)單的方法，他們不喜歡或者說根本不會(huì)從系統(tǒng)的角度去分析、去思考問題.然而當(dāng)他們擅長(zhǎng)的某種方法失敗后，除了放棄就沒有其他想法了.究其原因，筆者認(rèn)為教師總是順著學(xué)生的思路，求解出題目就過去了，沒有從題目的系統(tǒng)高度去分析、去思考，是出現(xiàn)這個(gè)問題的癥結(jié).這樣久而久之，學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)是片面的.為了解決這個(gè)問題，就需要教師在講題的時(shí)候，能引導(dǎo)學(xué)生從系統(tǒng)的高度去思考問題，讓解題過程“慢”一會(huì)兒.

在復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積時(shí)，筆者給學(xué)生留了個(gè)思考題：

師：這種思路的依據(jù)是平面向量的基本定理，它的關(guān)鍵是選擇合適的基向量.

生2：過點(diǎn)C作直線AD的垂線CE交直線AD于點(diǎn)E，則AC·AD=AD·AE=AE.而由△ABD～△CED，得BDCD=ADDE，容易求出AE=3.

學(xué)生分析：這種思路是因?yàn)橄氲紸C·AD的幾何意義.

師：這個(gè)方法很簡(jiǎn)便，但是添加輔助線是難點(diǎn).這要求我們對(duì)這個(gè)方法有堅(jiān)定的信念，同時(shí)也說明幾何意義（投影）是多么有用.

師：還有其他解法嗎？

學(xué)生思考，議論，似乎一點(diǎn)頭緒都沒有.于是筆者嘗試著和學(xué)生一起分析：學(xué)生1的方法是利用數(shù)量積的定義，學(xué)生2的方法是利用數(shù)量積的幾何意義，除此之外求數(shù)量積還有什么方法呢？

學(xué)生：建立坐標(biāo)系？（有點(diǎn)不自信）

師：試試嘛！

通過巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然有了思維方向，也都在認(rèn)真思考，但學(xué)生只能在建立（1）、（2）兩種坐標(biāo)系后，望“圖”生嘆.

筆者意識(shí)到學(xué)生做不下去的原因，是本題要求設(shè)的未知數(shù)過多，學(xué)生不敢下筆.此時(shí)，筆者肯定了這兩種建立坐標(biāo)系的方法的可行性，并鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探索.幾分鐘后，有幾位學(xué)生示意自己做好了.筆者讓一位學(xué)生到黑板上板演.

之后筆者與學(xué)生一起進(jìn)行了總結(jié)：用坐標(biāo)法解決問題，關(guān)鍵是用坐標(biāo)體現(xiàn)出各種幾何關(guān)系.這樣問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，我們就可以通過解方程等方法去解決它.

坐標(biāo)法解題成功后，學(xué)生對(duì)自己的表現(xiàn)很滿意，對(duì)這種解題方法也表示了認(rèn)可，臉上露出了微笑.同時(shí)筆者也建議學(xué)生在課后能用另一種建立坐標(biāo)系的方法求解該題目，目的是讓他們?nèi)ジ惺苓@種復(fù)雜的運(yùn)算過程，逐漸消除其“畏煩”的心理，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣.此時(shí)我注意到有位學(xué)生有點(diǎn)激動(dòng)地舉起了手.

生4：我不是這樣建立坐標(biāo)系的！我覺得已知條件中已經(jīng)有一個(gè)垂直關(guān)系了，為什么不直接建立直角坐標(biāo)系呢.（教師打斷了他）

師：其他同學(xué)覺得呢？

班里頓時(shí)議論紛紛，有些已經(jīng)開始這樣操作，去嘗試，但也有一些同學(xué)面露難色.我走過去，了解到他們認(rèn)為這樣的圖看著很別扭，歪的！.然后我叫生4給出解釋.只見他面露微笑，然后把自己的草稿紙轉(zhuǎn)了一個(gè)角度.剛才有些糾結(jié)的學(xué)生，驚嘆一聲，豁然開朗，個(gè)個(gè)都躍躍欲試.幾分鐘后，絕大多數(shù)學(xué)生就解出了答案.

由于生4的回答正中教師下懷，很多教師會(huì)迫不及待地說“好！很好！非常好！”之類的話對(duì)生4表示肯定和贊賞.所以，我打斷生4的回答，目的是要去發(fā)現(xiàn)其他學(xué)生對(duì)這種處理方法的困惑.

在用坐標(biāo)方法求解問題時(shí)，學(xué)生其實(shí)很困惑，這種方法這么復(fù)雜，而且很難想到.相對(duì)來說，前面兩種方法更簡(jiǎn)單，更容易想到.為什么要用坐標(biāo)方法呢？為此，筆者又舉了一個(gè)用坐標(biāo)方法比較簡(jiǎn)便的例子.

在日常教學(xué)中，教師要做一個(gè)有心人，如果上課能對(duì)一些問題多一點(diǎn)的系統(tǒng)分析，那么學(xué)生哪怕少做些題也能掌握系統(tǒng)的知識(shí)，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)解決問題的整體思考.