探究過兩點的圓的方程的求法

李晶 李德安

求圓的方程的問題是常見的題目。圓的普通方程有兩種形式：（1）標準方程，即（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）；（2）一般方程，即x2+y2+Dx+Ey+F=O（D2+E2-4F>O）。無論通過哪種形式求方程，都需要確定三個量（a、b、r或D、E、F），為此，需要列出三個方程。較常見的已知條件有：（1）圓經(jīng)過已知的三點；（2）圓經(jīng)過已知的兩個點，再加上另外一個條件；（3）圓經(jīng)過已知的一個點，再加上另外兩個條件。其中，圓所經(jīng)過的點，經(jīng)常以所求圓經(jīng)過兩圓的交點或經(jīng)過直線與圓的交點的形式闡述。現(xiàn)通過典型例題，探究過兩點的圓的方程的求法。

評析：變式3轉(zhuǎn)化為變式2后，之所以還有解法6和解法7兩種解法，是由于利用了已知條件OM⊥ON，利用該條件不僅可求出m的值，還說明所求圓C經(jīng)過坐標原點，據(jù)此，可以反映出更多的信息特征。

通過例題與變式題的分析與解答，撥云去霧，我們解決了求過已知兩點的圓的方程問題，已知的兩點可以直接給出，但通常給出的會“委婉”些：過已知兩圓的交點，或過已知直線與圓的交點等。解題時，我們可以將“委婉”的條件顯化出來（求出具體的點），也可以繼續(xù)“委婉”下去，看看它還意味著什么。與此同時，已知中一定還有其他條件，可以獨立地進一步發(fā)展條件，亦可與已知的兩點綜合起來考慮。

現(xiàn)結(jié)合例題與變式題的解答，談談解題的四部曲。

一、解什么題

平時解題訓練中，只做簡單的題目達不到高考的要求，一味地追求難題無疑于在浪費時間，同…類題目做得太多又過猶不及。通過解題，我們要將復雜問題簡單化，簡單問題規(guī)律化（本文中的題目是簡單的，我們不能草草處理，要究其本質(zhì)，探其規(guī)律）。同時，要注重解題的質(zhì)量，提高解題的效率，多關注一題多解及多題一解，通過題目的變式訓練，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)相關題目的內(nèi)在聯(lián)系。在選擇題目時，還要注意到：題目的難易程度；單一性題目與綜合性題目的安排；不同的內(nèi)容所采用的不同題型及難易程度等。

二、怎樣解題

我們不能靠背題、背答案來解題，重要的是要掌握科學、有規(guī)律的解題方法，形成正確的解題習慣。

（1）要研究和掌握不同類型的試題的不同解法。

①知識性的題需要在記憶的基礎上去解答，對能力要求高的試題要總結(jié)規(guī)律。

②分析、總結(jié)各種題型解題方法上的異同。

（2）弄清每種解題方法都可以解決哪些問題。

三，重視解題反思

不能答完題就萬事大吉，重要的是認真總結(jié)得失、總結(jié)規(guī)律。對平時的每一次考試及練習，要不斷地進行對比、分析。

（1）分析自己的水平，確定進一步努力的側(cè)重點。

（2）分析自己各部分內(nèi)容的得分及失分情況。

（3）針對某一題，答對了要分析方法是否科學、是否符合要求、是否還有更簡便的方法、是否可將解法一般化，答錯了要總結(jié)失分的原因，弄清楚錯誤的步驟及思維受阻的原因。

（4）要與以前解同類題的情況進行比較，看是否進步了，以及進步了多少。

四、提高解題速度

要有意識地訓練自己的解題速度，合理安排考試時間。提高解題速度，需要熟悉各種方法、把握解題規(guī)律、增強題感。

上述的解題四部曲似乎很費時間，但做好了會取得事半功倍的效果。（責任編輯 袁偉剛）