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    一道自主招生試題的拓展

    2015-05-30 10:48:04曹建娣林楚標(biāo)
    關(guān)鍵詞:傾斜角焦點(diǎn)四邊形

    曹建娣 林楚標(biāo)

    [摘要]縱觀2005年、2007年高考卷及2011年的卓越聯(lián)盟試題,都涉及橢圓內(nèi)以兩條相互垂直的焦點(diǎn)弦為對角線的四邊形面積的最值問題.對這類問題進(jìn)行了深入思考,從而進(jìn)行推廣,得到一般的結(jié)論.

    [關(guān)鍵詞]橢圓最值問題拓展

    [中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058(2015)140036

    2005年高考全國卷II理科第21題、2007年高考全國卷I理科第21題和2011年卓越聯(lián)盟試題第13題這三道題目均是求橢圓內(nèi)以兩條相互垂直的焦點(diǎn)弦為對角線的四邊形面積的最值.限于篇幅,在此僅呈現(xiàn)2011年卓越聯(lián)盟的第13題.

    題目:(2011·卓越聯(lián)盟)已知橢圓的兩個焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)1(1,0),且橢圓與直線y=x-3相切.(1)求橢圓的方程;(2)過F1作兩條相互垂直的直線l1,l2,與橢圓分別交于P,Q及M,N,求四邊形PMQN面積的最大值與最小值.

    受上述三題的啟發(fā),筆者思考如何求拋物線內(nèi)以兩條相互垂直的焦點(diǎn)弦為對角線的四邊形面積的最值.鑒于此時四邊形面積的最大值是不存在的,故僅討論最小值.筆者編制了如下一題.

    題1:過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A、B和C、D兩點(diǎn),且xAxB=4.(1)求拋物線的方程;(2)求四邊形ABCD面積的最小值,并求此時弦AB、CD所在直線的傾斜角.

    解:(1)∵xAxB=p24=4,∴p=4,則拋物線的方程為y2=8x.

    (2) 設(shè)弦AB所在直線的傾斜角為θ,則

    S四邊形ABCD=12|AB||CD|sinπ2=12×2psin2θ×

    2psin2(θ±π2)=

    2p2sin2θcos2θ=

    2p2

    14sin22θ

    8p2=128

    .

    此時弦AB、CD所在直線傾斜角分別為π4,3π4或3π4,π4.

    筆者對題1進(jìn)行深入思考,并對其進(jìn)行變式,得到題2.

    題2:過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作夾角為π3的兩條直線分別交拋物線于A、B和C、D兩點(diǎn),且xAxB=4.(1)求拋物線的方程;(2)求四邊形ABCD面積的最小值,并求此時弦AB、CD所在直線的傾斜角.

    解:第一問解答如題1.(2)設(shè)弦AB所在直線的傾斜角較小,為θ(0<θ<2π3),則弦CD所在直線的傾斜角為θ+α(0<θ+α<π),則α=π3或α=π-π3=2π3.

    S四邊形ABCD=12|AB||CD|sinα=12×2psin2θ×

    2psin2(θ+α)×

    sinα=

    2p2sinα{-12[cos(2θ+α)-cosα]}2

    =8p2sinα[cos(2θ+α)-cosα]2.

    ①當(dāng)α=π3時,則當(dāng)2θ+α=π時,θ=π-α2=

    π3

    ,四邊形ABCD的面積取得最小值,

    Smin=8×42×sinπ3(cosπ-cosπ3)2

    =25639

    ,此時弦AB所在直線的傾斜角為π3,弦CD所在直線的傾斜角為2π3.

    ②當(dāng)α=2π3時,則當(dāng)2θ+α=2π時,θ=2π-α2=

    2π3

    ,四邊形ABCD的面積取得最小值,但0<θ<2π3,故此時最小值取不到.

    綜上,四邊形ABCD面積的最小值為25639,此時弦AB所在直線的傾斜角為π3,弦CD所在直線的傾斜角為2π3,傾斜角互補(bǔ).

    反思:若將直線AB與CD的夾角π3改為其他度數(shù),方法同上,亦可求得四邊形ABCD面積的最小值,且此時直線AB與直線CD的傾斜角互補(bǔ).若將y2=2px(p>0)改為y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),方法亦同上.對此類題目進(jìn)行推廣,可得到一般的結(jié)論,在此不展開證明,留給有興趣的讀者去證明.

    對于題1,直線AB與直線CD垂直,即kAB·kCD=-1,即拋物線兩條焦點(diǎn)弦所在直線斜率的乘積為定值,求四邊形ABCD面積的最小值.筆者對題1進(jìn)行變式,得到題3.

    題3:過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作兩條直線分別交拋物線于A、B和C、D兩點(diǎn),且xAxB=4,kAB·kCD=-4.(1)求拋物線的方程;(2)求四邊形ABCD面積的最小值,并求此時弦AB、CD所在直線的斜率.

    題3留給有興趣的讀者去求解.

    [參考文獻(xiàn)]

    蘇進(jìn)文.橢圓焦點(diǎn)弦四邊形面積的最值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2008(4).

    (責(zé)任編輯鐘偉芳)

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