淺議兩個(gè)“假設(shè)”

徐永紅

[摘 要]反證法與數(shù)學(xué)歸納法都用到了“假設(shè)”，認(rèn)清兩個(gè)“假設(shè)”的內(nèi)涵，有助于對兩個(gè)方法的理解以及應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]反證假設(shè) 歸納假設(shè) 推理論證

反證法與數(shù)學(xué)歸納法是用得較少的兩種推理論證的方法.反證法常常用于直接證明有困難的問題，而與正整數(shù)有關(guān)的問題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.由于兩者的特殊性，特別是兩種證法都用到了“假設(shè)”，兩者之間會(huì)產(chǎn)生相互干擾，一些學(xué)生難以把握，甚至?xí)岢觥皟蓚€(gè)‘假設(shè)怎么區(qū)別”“它們是假的嗎”等問題.下面筆者就此談一點(diǎn)粗淺之見.（下稱兩種“假設(shè)”分別為“反證假設(shè)”和“歸納假設(shè)”）

一、反證假設(shè)

應(yīng)用反證法時(shí)，首先提出與待證命題的結(jié)論相反的判斷，即“假設(shè)命題的結(jié)論不成立”，由此產(chǎn)生一個(gè)新命題（待證命題的否命題），并將該新命題應(yīng)用于后續(xù)的推理中.

【命題1】如上圖，若⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)T， 則連心線過切點(diǎn)T.

證明（反證法）：

假設(shè)O1O2不過點(diǎn)T.（新命題：⊙O1、 ⊙O2外切于點(diǎn)T，則連心線不過切點(diǎn)T），分別連接O1T、O2T，則在 △TO1O2中，|O1T-O2T|則⊙O1與⊙O2相交，這與⊙O1與⊙O2外切矛盾，因此假設(shè)不成立，

所以，連心線過切點(diǎn).

【命題2】（假命題）如果a>b>0，那么a≤b.

證明（反證法）：

假設(shè)a>b，（新命題：如果a>b>0，那么a>b）.

∵a>0，∴a>0，

又∵a>b，∴aa>ba.

同理，ab>bb.

∴aa>bb，即a>b，不可能產(chǎn)生矛盾，

∴原命題為假命題.

應(yīng)用反證法時(shí)，必須產(chǎn)生矛盾，該方法才有效.需要指出的是，在推理過程中未出現(xiàn)任何差錯(cuò)的前提下，才能將矛盾“歸罪”于“假設(shè)”，否則矛盾可能是推理時(shí)出錯(cuò)造成的.事實(shí)上，由“假設(shè)”產(chǎn)生的新命題若是假命題，把它應(yīng)用于正確推理中必然要出問題，即推出矛盾;反之，由“假設(shè)”產(chǎn)生的新命題若是真命題，把它應(yīng)用于正確推理中就推不出矛盾，上述命題2的證明就是這種情況.

二、歸納假設(shè)

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)分為兩步：第一步為歸納奠基.驗(yàn)證自然數(shù)n=n0時(shí)，命題成立;第二步為歸納遞推.假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，由此產(chǎn)生一個(gè)新命題，并將該新命題應(yīng)用于后續(xù)的推理中.

【命題3】n∈N*，1+3+5+…+（2n-1）=n2.

證明（數(shù)學(xué)歸納法）：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立;

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2.（新命題：k∈N*，1+3+5+…+（2k-1）=k2）

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有1+3+5+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=k2+（2k+1）=（k+1）2.

由（1）（2）可知，命題對n∈N*成立.

【命題4】（假命題）n∈N*，1+3+5+…+（2n-1）=n2+1.

證明（數(shù)學(xué)歸納法）：

（1）略;

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2+1.（新命題：k∈N*，1+3+5+…+（2k-1）=k2+1）

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有1+3+5+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=（k2+1）+（2k+1）=（k+1）2+1.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.至此也不能說明命題4的真假.

數(shù)學(xué)歸納法必須兩步都完成后才有效.第一步驗(yàn)證一般比較簡單，但不能沒有，因?yàn)樵诘诙阶C明中要先作出假設(shè)來產(chǎn)生一個(gè)新命題，并應(yīng)用于后續(xù)的推理中.若新命題是假命題，用它推出的結(jié)果則是錯(cuò)誤的（命題4就是這種情況）.那么新命題在什么情況下為真呢？這就必須驗(yàn)證第一步.因?yàn)?，若n=n0時(shí)，命題成立，則第二步假設(shè)n=k中的“k”至少有“n0”為保證.

綜上所述，反證假設(shè)與歸納假設(shè)的相同之處是它們都產(chǎn)生一個(gè)新命題，并將它應(yīng)用于后續(xù)的推理之中;不同之處是，若待證命題是真命題，反證假設(shè)產(chǎn)生假命題，而歸納假設(shè)產(chǎn)生真命題.