構造法在高中數(shù)學解題中的應用

莊喜

[摘 要]在長期的教學實踐中，構造法作為一種嶄新的數(shù)學教學方法，將數(shù)學條件向數(shù)學結(jié)論轉(zhuǎn)化，利用條件和結(jié)論的關聯(lián)性，構造解題對象.尤其是在目前的高中數(shù)學競賽中，構造法作為考查學生開放性思維的重要依據(jù)，得到廣泛的重視.

[關鍵詞]高中數(shù)學 構造法 解題應用

構造法是指為了解決數(shù)學問題而構造的一種數(shù)學形式，可以是數(shù)學圖形、代數(shù)式、方程、函數(shù)等，利用構造出的形式尋求構造與問題之間的深層聯(lián)系，從而起到簡化求解過程、轉(zhuǎn)化數(shù)學思路等目的.數(shù)學構造法包含化歸、類比、推理等眾多數(shù)學思想，常常對數(shù)學問題的解決有創(chuàng)造性的建議.在本文中，我們將從數(shù)列構造、圖形構造、方程構造等高中數(shù)學問題出發(fā)，探究構造法在數(shù)學解題中的應用.

一、構造法在數(shù)列中的應用

在高中數(shù)列教學中，數(shù)列的通項公式如同函數(shù)的解析式一樣重要.一旦我們求得了數(shù)列的解析式，那么該數(shù)列的任一項以及前n項和都可以被我們求得.可以說，數(shù)列的通項公式是解決一切數(shù)列問題的根本.在處理一些關于自然數(shù)n的數(shù)列問題時，我們常?？梢岳锰鎿Q、假設等方式，構造出與題設相關的數(shù)列，從而起到幫助解題的作用.

【例1】 已知數(shù)列{an}滿足a1=14，an=an-1（-1）n·an-1-2（n≥2，n∈N*），試求通項an.

解析：本題已經(jīng)明確要求我們求出數(shù)列通項，這是典型的給出首項和關系式，要求通項的題型.對此，教師必須引導學生明確解題思路：欲求通項，可以構造新的首項和等差、等比關系.在本題中，給出的通項關系式是解決該題的核心條件，也是唯一條件.那么，在明確解題思路之后，接下來就是構造關系數(shù)列的過程.由已知條件可得： 1an=（-1）n-2an-1 ，觀察等式兩端，尋找相同部分構造類似結(jié)構.于是，等式兩端同時加上（-1）n，并提取公約數(shù)-2，可得 1an+（-1）n=（-2） [1an-1+（-1）n-1]. 此時，我們便實現(xiàn)了對等比數(shù)列的構造，從該等比數(shù)列的形式可以看出，該等比數(shù)列是以 1a1+（-1）=3 為首項，以-2為公比的等比數(shù)列.于是，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，我們可以得到 1an+（-1）n =3·（-2）n-1，通過簡單的化簡后，我們可以得到通項an=13·（-2）n-1-（-1）n.在本例中，難點在于構造出等比數(shù)列的形式，將學生未曾見過的等式關系轉(zhuǎn)變成他們所熟知的等比、等差的形式.學生需要考慮到拼湊、提取、化歸的思路，最終才能構造出解題所需的等比數(shù)列.在實際教學過程中，教師可以為學生總結(jié)出常見的數(shù)列求解類型，將構造方法總結(jié)給學生，實現(xiàn)數(shù)列教學的舉一反三.

二、構造法在幾何圖形中的應用

傳統(tǒng)的高中數(shù)學包含幾何與代數(shù)兩個部分，但隨著數(shù)學的發(fā)展進步，教師逐漸發(fā)現(xiàn)這兩者難以分割，更別說進行分開式的教學了.從日常的數(shù)學教學中，教師不難發(fā)現(xiàn)，很多問題不僅僅可以利用代數(shù)的方法求解，也可以利用幾何的方法求解.有時，通過構造幾何圖形的方法，往往還能起到出乎意料的作用，可以極大地簡化解題過程.

【例2】 已知函數(shù)f（x）=x2+4 +x2+2x+2 ，求該函數(shù)的最小值.

圖1 解析：對于本題，學生拿到手的第一想法就是化簡、去根號.當然，這樣的方法也是可行的，但需要學生具備較強的函數(shù)處理能力和推導能力.對此，我們不妨換個角度看問題，從該函數(shù)的幾何意義出發(fā)，尋求圖形化的解決策略.首先，由f（x）= x2+4+x2+2x+2 可以得到f（x）=x2+22+（x+1）2+12 .然后，我們進一步分析該式的幾何意義，即是平面內(nèi)一點P（x，0）到平面內(nèi)定點A（0，2）和B（-1，-1）的距離之和.從點P我們不難看出，該點在x軸上.A、B點則分別是位于y軸正半軸上的點與位于第三象限的點，直線AB與x軸交于C點.于是，可知當P點與C點重合時，該函數(shù)取得最小值，即線段AB的長度.于是可知f（x）min= |AB|=（0+1）2+（2+1）2=10 .通過構造圖形的方法，原本復雜的代數(shù)求解與證明過程就被簡化成直線圖形與直線長度問題，實現(xiàn)了求解過程的簡化.

圖2 【例3】 （2010年江蘇卷）已知函數(shù)f（x）= x2+1，x≥0

1，x<0 ，則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的取值范圍是什么？

解析：該函數(shù)類型屬于分段函數(shù)，學生可以想到用分段討論的方法進行求解.但這樣的分段討論過程過于復雜，且很容易出現(xiàn)錯誤.對此，我們不妨利用該分段函數(shù)的圖形進行構造法求解.作出如圖2的

函數(shù)圖像，欲使f（x1）>f（x2），必須保證x1>x2，同時x1>0.于是，我們便可以得到x取值范圍的判斷條件為 1-x2>2x

1-x2>0 ，最終可以求出x的取值范圍為（-1，2-1）.在本題中，通過構造出的分段函數(shù)圖像，我們將原本純粹的取值范圍的求解轉(zhuǎn)化成了圖像閱讀與函數(shù)分析的綜合，簡化了求解思路，提高了求解的準確性.

三、構造法在方程中的應用

方程是高中數(shù)學的重要考點之一，常常與數(shù)學函數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系.在數(shù)學高考中，方程問題往往是作為壓軸大題，與不等式、數(shù)學函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容綜合起來考查的.在實際的解題過程中，數(shù)學方程根的構造常常需要結(jié)合題中所給的數(shù)量關系和結(jié)構特征進行妥善選擇，實現(xiàn)數(shù)學解題方法上的最簡化.

【例4】 已知實數(shù)x、y、z滿足x+y=5，z2=xy+y-9，試求x+2y+3z的值.

解析：從方程形式上來看，該題屬于三元二次的形式，而只有兩個關系式，必然難以求解.從已知的兩式中，我們可以得到 （x+1）+y=6

（x+1）y=z2+9 .于是，我們可以將y與x+1視為方程的兩個根，則上式就類似于方程的韋達定理.此時，我們可以得到構造函數(shù)m2-6m+z2+9=0.結(jié)合已知條件我們可以確定，該方程含有實根，得到Δ=-4z2≥0.由于x、y、z是實數(shù)，故有Δ=z=0.利用方程的根的性質(zhì)可知，該方程含有兩個相等的實根，即m1=m2.將z=0代入方程m2-6m+z2+9=0，可以求出m1=m2=3.結(jié)合題中給出的已知形式，有x+1=y=3，最終我們可以解出x=2、y=3、z=0，再將它們的值代入代數(shù)式x+2y+3z，得到其值為8.從本題的解題過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學方程中，構造法的使用有著舉足輕重的作用，當遇到利用常規(guī)方法難以求解的題型時，學生必須及時聯(lián)想到構造法，如：方程的根的構造、方程的Δ值的構造、方程局部的構造等.構造法往往會對我們的求解起到顯著的簡化作用.

總之，高中數(shù)學解題離不開構造法，教師必須在日常的數(shù)學解題中積極滲透此類思想.構造法體現(xiàn)出了數(shù)學學科的靈活性和創(chuàng)新性，同時，這種創(chuàng)新是有依據(jù)的，不是憑空捏造的.在高中數(shù)學解題中，構造法的類型遠遠不止本文中的幾類，構造法的進一步深化還需要教師在日常的數(shù)學教學中積極探究，不斷創(chuàng)新