純粹數(shù)學(xué)的興起

胡作玄

理解任何一門學(xué)問(wèn)，不僅應(yīng)該知道它屬于哪個(gè)領(lǐng)域，還要曉得它同這個(gè)領(lǐng)域其他學(xué)科有什么不同。以數(shù)學(xué)而論，它被公認(rèn)是門科學(xué)，可是它和典型的自然科學(xué)——物理學(xué)是否一回事呢？其實(shí)，這是個(gè)哲學(xué)問(wèn)題，有不同觀點(diǎn)是很自然的。19世紀(jì)很多數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)和物理沒(méi)什么區(qū)別，甚至到20世紀(jì)，許多大數(shù)學(xué)家，例如榮獲菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的小平邦彥以及今年（2015年）獲得數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)阿貝爾獎(jiǎng)的尼倫伯格（L_Nirenberg，1925-）都是這么想的。但是，許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為兩者有很大差別，不妨舉出其中三點(diǎn)。

（1）物理研究的是客觀的物質(zhì)世界，數(shù)學(xué)研究的是人想出來(lái)的理念世界。

（2）物理的真理是靠觀察、實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)，有一定的局限性（誤差），而數(shù)學(xué)的真理帶有“絕對(duì)”的性質(zhì)。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：圓周率盯的小數(shù)點(diǎn)后第100位、第1000位乃至任何一位都是唯一的數(shù)碼：而物理中的普適常數(shù)——光速或普朗克常量，無(wú)論用什么單位，不用說(shuō)100位靠不住，第50位、第30位是否能準(zhǔn)確達(dá)到還很難說(shuō)。

（3）從方法上講，數(shù)學(xué)全靠拍腦袋，而物理學(xué)要靠實(shí)驗(yàn)，正因?yàn)槿绱?，牛頓以后的物理學(xué)形成三大分支：理論物理、實(shí)驗(yàn)物理、數(shù)學(xué)物理。數(shù)學(xué)只有在極其個(gè)別的情形才有人提到理論數(shù)學(xué)、實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)（不少人做過(guò)擲硬幣的試驗(yàn)）。不過(guò)在自然科學(xué)幾乎沒(méi)人談起的純物理、純化學(xué)，卻有數(shù)學(xué)的對(duì)應(yīng)物——純粹數(shù)學(xué)。

純粹數(shù)學(xué)的出現(xiàn)

純粹數(shù)學(xué)一詞正式出現(xiàn)在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中是在19世紀(jì)初，當(dāng)時(shí)有三種專業(yè)數(shù)學(xué)期刊正式標(biāo)有純粹數(shù)學(xué)的字樣，它們是：1810年法國(guó)數(shù)學(xué)家熱爾戈納（J.D.Gergonne，1771-1859）創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年刊》；1826年德國(guó)數(shù)學(xué)家克雷勒（A.L.Crelle，1780-1855）創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，常簡(jiǎn)稱為《克雷勒雜志》；1836年法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾（J.Liouville，1809-1882）創(chuàng)辦的、與《克雷勒雜志》競(jìng)爭(zhēng)的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。

這三種數(shù)學(xué)期刊不約而同地選用“純粹數(shù)學(xué)”的稱謂表明：純粹數(shù)學(xué)的概念已經(jīng)成熟；純粹數(shù)學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的對(duì)立面；純粹數(shù)學(xué)取得一定的合法地位，為其不斷擴(kuò)張打下基礎(chǔ)。

請(qǐng)注意，這些都是與當(dāng)時(shí)整個(gè)社會(huì)的革命形勢(shì)分不開(kāi)的，具體到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家開(kāi)始職業(yè)化、專業(yè)化，他們不僅要教學(xué)，還要搞科研，搞科研就要有專業(yè)雜志發(fā)表成果，沒(méi)有成果不用說(shuō)提職提級(jí)，可能連飯碗都保不住。200年來(lái)，純粹數(shù)學(xué)的旗幟為許多天才數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新提供了機(jī)會(huì)。在這個(gè)意義下，挪威人阿貝爾（N.H.Abel，1802-1829）可以說(shuō)是第一位純粹數(shù)學(xué)家。時(shí)至今日，純粹數(shù)學(xué)已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)的主流。

是什么使人人都懂、人人都會(huì)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)變成很少人才能理解的純粹數(shù)學(xué)呢？答案是微積分。

從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)

微積分是17世紀(jì)末由英國(guó)科學(xué)家牛頓（I.Newton，1643-1727）和德國(guó)科學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leib-niz.1646-1716）獨(dú)立發(fā)明的。我們習(xí)慣于把之前的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，而把微積分及其后的發(fā)展特別是微分方程（包括常微分方程及方程組，偏微分方程及方程組，變分法等）稱為高等數(shù)學(xué)。為了保持歷史連貫性，不妨把初等數(shù)學(xué)歸納為十大學(xué)科：

（1）算術(shù)，

（2）數(shù)值代數(shù)；

它們可稱為中國(guó)的算學(xué)。

（3）幾何，

（4）三角；

它們可稱為希臘的幾何。

下面六個(gè)學(xué)科則是17世紀(jì)的產(chǎn)物，這里把每個(gè)學(xué)科的創(chuàng)立者列在其后。

（5）符號(hào)代數(shù)：韋達(dá)（F.Viete，1540-1603）；

（6）初等數(shù)論：費(fèi)馬（P.de Fermat，16017-1665）；

（7）解析幾何：笛卡兒（R.Descartes，1596-1650）與費(fèi)馬：

（8）射影幾何：德薩格（G.Desargues，1591-1661）與帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）；

（9）初等概率演算：帕斯卡與費(fèi)馬；

（10）初等組合學(xué)：帕斯卡。

初等數(shù)學(xué)的主要特色是它構(gòu)成基礎(chǔ)教育的重要組成部分，它是面向大眾的，雖說(shuō)有些部分對(duì)一些人有一定難度，但多數(shù)人還是能夠理解，就像炒股的大媽也懂得股票的漲落圖表示什么意思一樣。與之對(duì)立，高等數(shù)學(xué)可就高得多了。首先是學(xué)起來(lái)很難，盡管微積分經(jīng)過(guò)300年的簡(jiǎn)化和普及，大多數(shù)高中生還是不易搞明白。更重要的是，微積分可能解決的問(wèn)題不是初等數(shù)學(xué)方法所能應(yīng)付的。

微積分的偉業(yè)

微積分、微分方程及其后來(lái)的發(fā)展可以說(shuō)成果累累、戰(zhàn)績(jī)輝煌。一句話，它推動(dòng)了科學(xué)革命。具體講，它建立了各門學(xué)科體系，解決大量的實(shí)際問(wèn)題。它的威力顯示在下面的程式上：

建立物理模型一依據(jù)物理定律或假說(shuō)提出數(shù)學(xué)模型（主要是微分方程）一求解方程一結(jié)果與實(shí)際情形的比對(duì)。

無(wú)論哪一門學(xué)科，最驚人的成就在于不僅能夠圓滿解釋已發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，更能預(yù)見(jiàn)或預(yù)言前所未知的事實(shí)。舉三個(gè)例子來(lái)說(shuō)明靠求解微分方程得出的重大預(yù)言。

海王星的發(fā)現(xiàn)

世界各地很早就都知道地球之外的五大行星：水、金、火、木、土，而第七大行星天王星和第八大行星海王星是靠完全不同方法發(fā)現(xiàn)。天王星是赫歇爾（w.Hershel，1738-1822）在1781年發(fā)現(xiàn)的，他靠的是改進(jìn)望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行巡天普查。海王星的情況則是先用數(shù)學(xué)算出其大致在某時(shí)刻出沒(méi)的區(qū)域，再用望遠(yuǎn)鏡看到的。

電磁波的預(yù)言

19世紀(jì)最偉大的科學(xué)成就無(wú)疑是電磁學(xué)。由于麥克斯韋（J.C.Maxwell，1831-1879）歸結(jié)為十個(gè)方程的麥克斯韋方程組，求解方程得出電磁波的預(yù)言，其成果之偉大是怎么說(shuō)也不過(guò)分的。它是科學(xué)中完美的三結(jié)合：法拉第（M.Faraday，1791-1867）的實(shí)驗(yàn)，麥克斯韋的理論思維，以及數(shù)學(xué)的求解。

數(shù)值天氣預(yù)報(bào)

天氣預(yù)報(bào)根據(jù)的是極其復(fù)雜的偏微分方程組。即使經(jīng)過(guò)明顯的簡(jiǎn)化也很難求出精確解（也就是能預(yù)報(bào)出某時(shí)某刻在你家門口能見(jiàn)到“東邊日出西邊雨”的景象）。對(duì)此，數(shù)學(xué)家會(huì)去求近似解、數(shù)值解。1922年數(shù)學(xué)家已找到近似方法，但預(yù)報(bào)明天的天氣得等到后天之后。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世之后，第一件普惠的事業(yè)就是在1954年實(shí)現(xiàn)短期天氣預(yù)報(bào)。

上面三個(gè)例子顯示出數(shù)學(xué)的超前預(yù)測(cè)能力，當(dāng)然也有“事后諸葛亮”的情形。1834年，一位叫拉塞爾（J.S.Russell.1808-1882）的英國(guó)土木工程師，在一條水道上看到“孤立波”的現(xiàn)象，他稱之為“平移波”（translation wave）。他求教于一些大科學(xué)家如斯托克斯（G.Stokes，1819-1903），也沒(méi)能得到很好的解釋。1894年，兩位荷蘭數(shù)學(xué)家提出淺水波方程，即著名的KdV方程。這方程高度非線性.沒(méi)人會(huì)解。一直到1966年，一組美國(guó)數(shù)學(xué)家居然成功地得出該方程的精確解，該解被稱為孤立子（solitons）。它不僅成功解釋拉塞爾發(fā)現(xiàn)的平移波現(xiàn)象，而且?guī)?dòng)一套數(shù)理方程的求解，還發(fā)現(xiàn)方程和解與純粹數(shù)學(xué)（代數(shù)幾何）的關(guān)聯(lián)。

微積分（以及微分方程）帶來(lái)眾多重要成果，但它也不是十全十美的。它至少有三方面不足之處，而正是這些不足之處引導(dǎo)純粹數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展。

微積分的三方面不足之處

微積分（和微分方程）威力如此之大，它還有什么不足之處呢？

微分方程難于求解

如前所述，一門學(xué)科中得出微分方程是關(guān)鍵一步，然而要取得具體結(jié)果就要求解方程。但這是極為困難的事。這時(shí)出現(xiàn)兩種不同的態(tài)度：科學(xué)家采用近似方法、數(shù)值方法等力求得出具體的結(jié)果——這可以說(shuō)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的傾向；同時(shí)也有少數(shù)數(shù)學(xué)家堅(jiān)持求精確解的觀點(diǎn)，雖然暫時(shí)辦不到，但他們?nèi)パ芯糠匠膛c解的關(guān)系，如果有解應(yīng)該有什么性質(zhì)，解的存在性、唯一性、正則性等等。正是這些研究導(dǎo)致純粹數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展。越來(lái)越多的成果也使得從牛頓時(shí)代以來(lái)就難解的問(wèn)題取得突出的進(jìn)步。牛頓解決了二體問(wèn)題，但“三體問(wèn)題”（如太陽(yáng)、地球、月亮之間的相對(duì)位置和速度）一直是大難題，在18世紀(jì)靠近似方法解決一些特殊情形。純粹數(shù)學(xué)家有足夠耐心進(jìn)行各種理論探討，建立起微分方程定性理論乃至拓?fù)鋵W(xué)這樣的大理論，其應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出狹窄具體問(wèn)題的范圍。20世紀(jì)，對(duì)付難解的非線性方程也取得重大進(jìn)展。因《美麗心靈》而揚(yáng)名天下的納什（J.F.Nash，1928-2015）不僅在博弈論方面為人所知，而且在非線性分析中取得突出進(jìn)展，與尼倫伯格一起榮獲2015年阿貝爾獎(jiǎng)。正是由于這些純粹數(shù)學(xué)家的工作，數(shù)學(xué)保持它那“精密科學(xué)”的盛名。

微積分不嚴(yán)格

微積分之前的初等數(shù)學(xué)，沒(méi)有人懷疑它們的可靠性。初等數(shù)學(xué)的可靠性有兩個(gè)標(biāo)桿：一個(gè)是正整數(shù)與正分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，另一個(gè)是歐幾里得幾何。后一個(gè)比較復(fù)雜，先談第一個(gè)，為了嚴(yán)密可靠，這里的運(yùn)算先不考慮減法，只談加法、乘法和除法，為了保證運(yùn)算的確定性、嚴(yán)密性、可靠性、存在性、唯一性等，設(shè)置了三個(gè)禁區(qū)：（1）計(jì)算的對(duì)象只是正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)；（2）只進(jìn)行有限次運(yùn)算；（3）如果把O也“定義”為正整數(shù)，那么0不可以做除數(shù)，0/0無(wú)意義。

可是牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分時(shí)，都跨過(guò)禁區(qū)的紅線，最突出的是引入所謂“無(wú)窮小量”。本來(lái)無(wú)理數(shù)的引入就產(chǎn)生麻煩，何況這個(gè)莫名其妙的無(wú)窮小量呢？可是沒(méi)有它又不行，微分即無(wú)窮小量，導(dǎo)數(shù)就是無(wú)窮小量相除，而積分則是無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量的和。正因?yàn)槿绱?，微積分最早被稱為“無(wú)窮小演算”。牛頓的術(shù)語(yǔ)有所不同，但本質(zhì)上沒(méi)什么差別。難怪他們兩位打一場(chǎng)“哲學(xué)家的戰(zhàn)爭(zhēng)”。整個(gè)18世紀(jì)，有些人大膽使用，并取得豐碩成果，也有人表示懷疑大加批判。這使得數(shù)學(xué)家處于兩難困境：微積分應(yīng)用巨大成功與計(jì)算過(guò)程完全不可靠。

19世紀(jì)的純粹數(shù)學(xué)家開(kāi)始打掃戰(zhàn)場(chǎng)，為原來(lái)不允許的運(yùn)算立下規(guī)矩，首先是無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散問(wèn)題。正是阿貝爾首先認(rèn)真談到這個(gè)問(wèn)題并率先給出收斂性判據(jù)（準(zhǔn)則），其后出現(xiàn)幾十個(gè)判據(jù)。很少人想到。為什么難懂的微積分17世紀(jì)就有了，而容易懂的無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散到19世紀(jì)才出現(xiàn)，其實(shí)這正是19世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)要把不嚴(yán)格的微積分嚴(yán)格化的第一步。其后，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy，1789-1857）把模糊的無(wú)窮小概念從微積分中清除出去，最后，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass，1815-1897）完全清除掉微積分中幾何直觀的痕跡，他構(gòu)造出處處連續(xù)、處處不可微的函數(shù)（對(duì)應(yīng)一條連續(xù)曲線處處沒(méi)有切線），他把微積分完全建立在嚴(yán)格基礎(chǔ)上，保留數(shù)學(xué)可靠性的特色。

微積分缺少完美的理論體系

微積分與過(guò)去整數(shù)、分?jǐn)?shù)的代數(shù)運(yùn)算完全不同，涉及許多全新的概念，這些概念一直模糊不清，更不用說(shuō)完美的理論體系了。這些概念包括實(shí)數(shù)、函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分、可微、解析、偏導(dǎo)數(shù)等等。經(jīng)過(guò)18世紀(jì)特別是19世紀(jì)一些大數(shù)學(xué)家的努力，微積分及其后微分方程逐步建成一個(gè)嚴(yán)格的理論體系，其中最核心的是函數(shù)論，不僅有建立在實(shí)數(shù)理論上的實(shí)變函數(shù)論，而且出現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)論，它們連同微分方程的各種理論形成了分析數(shù)學(xué)這個(gè)龐大的純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域。到20世紀(jì)中，分析數(shù)學(xué)一直是數(shù)學(xué)的主流，它一直顯示數(shù)學(xué)的兩大本質(zhì)特征：內(nèi)涵的豐富性與應(yīng)用的廣泛性，其應(yīng)用也不僅限于自然科學(xué)，還進(jìn)入像經(jīng)濟(jì)學(xué)這類學(xué)科。

結(jié)語(yǔ)

微積分經(jīng)過(guò)200年的發(fā)展，純粹數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)100年的發(fā)展，到19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)的面貌已經(jīng)產(chǎn)生巨大的變化，就連對(duì)純粹數(shù)學(xué)的看法也有戲劇性的改變?！犊死桌针s志》仍是權(quán)威的數(shù)學(xué)雜志（2015年已出到第700卷），只是應(yīng)用數(shù)學(xué)那部分名不符實(shí)，因此有人把刊名中的d去掉，戲稱之為“純粹無(wú)用數(shù)學(xué)雜志”（Journal fur die reine unangewandte Mathematik）。它不僅不考慮實(shí)際應(yīng)用，而且清除掉初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，變得高不可攀。純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)只有對(duì)立，沒(méi)有統(tǒng)一。今天的數(shù)學(xué)已成為純粹數(shù)學(xué)的一統(tǒng)天下，“純粹”的帽子已經(jīng)很少有人提起了。

純粹數(shù)學(xué)的作用，通過(guò)從18世紀(jì)末和19世紀(jì)末的對(duì)比，就可以看得十分清楚。18世紀(jì)末，所有大數(shù)學(xué)家都有共識(shí)：數(shù)學(xué)思想已差不多窮盡，幾十年內(nèi)數(shù)學(xué)停滯不前，剩不下三位大數(shù)學(xué)家。有人甚至說(shuō)，數(shù)學(xué)地位同阿拉伯語(yǔ)差不多，而這正是基礎(chǔ)教育課的特色。實(shí)際上，所有基礎(chǔ)教育無(wú)非是語(yǔ)文和初等數(shù)學(xué)，它們都是老一套，不會(huì)有太多新意。沒(méi)想到從19世紀(jì)初起，關(guān)于數(shù)學(xué)的看法都被證明大錯(cuò)特錯(cuò)。正是純粹數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)提高到一個(gè)博大精深的科研領(lǐng)域，就像物理、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等一樣，之所以取得這樣成果，源于下面三個(gè)方面取得突破。

（1）在少量初等對(duì)象（如數(shù)、三角形、圓等）之外，提出大量人工研究對(duì)象，例如函數(shù)、極限等，并構(gòu)作其理論（如代數(shù)方程論、微分方程論等）。

（2）提出大量難易不等的問(wèn)題。問(wèn)題是任何學(xué)科的生命，過(guò)去初等數(shù)學(xué)只有一些平凡無(wú)聊的問(wèn)題，也有一些極難問(wèn)題，如費(fèi)馬大定理和哥德巴赫猜想等，直到很晚才解決或至今未解決。

（3）方法上的突破。微積分和微分方程成為研究幾何的有力工具（微分幾何），復(fù)分析推動(dòng)解析數(shù)論大進(jìn)步。

正因?yàn)槿绱恕?9世紀(jì)數(shù)學(xué)著作的體量是1800年以前全部數(shù)學(xué)著作的10倍，并形成數(shù)論、代數(shù)、幾何、分析四大分支。