函數(shù)備考策略

王朝璇

【閱讀關(guān)鍵詞】 進(jìn)入一輪復(fù)習(xí)，本期五篇文章從備考策略、技巧解讀、核心考點(diǎn)三個方面對函數(shù)部分加以分析，提示解題技巧和優(yōu)化復(fù)習(xí)策略，提高同學(xué)們的復(fù)習(xí)效率.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，函數(shù)的觀點(diǎn)和方法貫穿高中數(shù)學(xué)的始終. 下面分8個內(nèi)容進(jìn)行闡述.

函數(shù)的表達(dá)式

考點(diǎn)1 函數(shù)的概念

重點(diǎn)掌握函數(shù)的三要素.

考點(diǎn)2 函數(shù)的定義域

解題策略 建立使解析式有意義的不等式（組）求解，取交集時可借助于數(shù)軸.

易錯提醒 已知[f（x）]的定義域是[[a，b]]，求[f（g（x））]的定義域，是指滿足[a≤g（x）≤b]的[x]的取值范圍；而已知[f（g（x））]的定義域是[[a，b]]，指的是[x∈[a，b]].

考點(diǎn)3 求函數(shù)的解析式

解題策略 （1）配湊法：由已知條件[f（g（x））=F（x）]，可將[F（x）]改寫成關(guān)于[g（x）]的表達(dá)式，然后以[x]替代[g（x）]，便得到[f（x）]的表達(dá)式.

（2）換元法：已知復(fù)合函數(shù)[f（g（x））]的解析式，可用換元法.

（3）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可用待定系數(shù)法.

易錯提醒 求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法求出的解析式，不注明定義域往往是錯誤的.

考點(diǎn)4 分段函數(shù)

解題策略 （1）對于根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值的問題：首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.

（2）對于已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍的問題：應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

函數(shù)的單調(diào)性和最值

考點(diǎn)1 函數(shù)單調(diào)性的判斷

解題策略 （1）利用定義（取值、作差或作商、變形、判斷）求解.

（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷，但是對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，只能采用定義法進(jìn)行判斷.

考點(diǎn)2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

解題策略 （1）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.

（2）定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義求解.

（3）圖象法：如果[f（x）]是以圖象形式給出的，或者[f（x）]的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.

（4）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

易錯提醒 單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示. 如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫出，不能用并集符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

考點(diǎn)3 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

解題策略 （1）對于比較大小的問題，先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.

（2）對于解不等式問題，在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“[f]”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.

（3）利用單調(diào)性求最值，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值.

函數(shù)的奇偶性和周期性

考點(diǎn)1 函數(shù)奇偶性的判斷

解題策略 判定函數(shù)奇偶性的常用方法：定義法和性質(zhì)法，注意性質(zhì)法. （1）“奇+奇”是奇，“奇-奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；（2）“偶+偶”是偶，“偶-偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；（3）“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.

易錯提醒 （1）判斷函數(shù)是否具有奇偶性時，首先要考慮定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，否則是非奇非偶函數(shù).

（2）“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.

考點(diǎn)2 函數(shù)的周期性

解題策略 判斷函數(shù)周期性的兩個方法：定義法和圖象法.

掌握周期性三個常用結(jié)論：對[f（x）]定義域內(nèi)任一自變量[x]的值，（1）若[f（x+a）=-f（x）]，則[T=2a]；（2）若[f（x+a）=1f（x）]，則[T=2a]；（3）若[f（x+a）=-1f（x）]，則[T=2a].（以上均有[a>0]）

易錯提醒 應(yīng)用函數(shù)的周期性時，應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi).

考點(diǎn)3 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

解題策略 （1）函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合. 注意函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.

（2）周期性與奇偶性結(jié)合. 此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性和周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合. 解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.

函數(shù)的圖象

考點(diǎn)1 作函數(shù)的圖象

解題策略 （1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出.

（2）圖象變換法：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換.

考點(diǎn)2 識圖和辨圖

解題策略 （1）定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性分析，從而得出圖象升或降的趨勢，利用這一特征解決問題.

（2）定量計算法：通過定量的計算來解決問題.

（3）函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來解決問題.

考點(diǎn)3 函數(shù)圖象的應(yīng)用

解題策略 （1）利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對應(yīng)關(guān)系. 如：圖象的左、右范圍對應(yīng)定義域；上、下范圍對應(yīng)值域；上升、下降趨勢對應(yīng)單調(diào)性；對稱性對應(yīng)奇偶性.

（2）有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的圖象交點(diǎn)個數(shù)問題，利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值.

（3）有關(guān)不等式的問題常常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系來解決.

二次函數(shù)和冪函數(shù)

考點(diǎn)1 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)

掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).

考點(diǎn)2 求二次函數(shù)的解析式

解題策略 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：（1）已知三個點(diǎn)坐標(biāo)，宜選用一般式；（2）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大（?。┲档?，宜選用頂點(diǎn)式；（3）已知圖象與[x]軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式.

考點(diǎn)3 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

解題策略 （1）二次項系數(shù)含參數(shù)的二次函數(shù)、方程、不等式問題，應(yīng)對參數(shù)分類討論. 分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是二次項系數(shù)與0的關(guān)系.

（2）當(dāng)二次函數(shù)的對稱軸不確定時，應(yīng)分類討論. 分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是對稱軸在區(qū)間的左、中、右三種情況.

（3）求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結(jié)果是否符合要求.

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

考點(diǎn)1 指數(shù)、對數(shù)的化簡和求值

解題策略 變形后根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.

考點(diǎn)2 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用問題

解題策略 （1）畫指數(shù)函數(shù)[y=ax（a>0，a≠1）]和對數(shù)函數(shù)[y=logax]的圖象時，抓住關(guān)鍵點(diǎn).

（2） 注意圖象的平移和對稱變換.

考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問題

解題策略 （1）比較大小問題，常利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值（0或1）求解.

（2）解決指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的綜合問題時，要把指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)結(jié)合起來，同時要特別注意底數(shù)不確定時，對底數(shù)的分類討論.

（3）一些指數(shù)、對數(shù)型方程和不等式問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

易錯提醒 解決指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)綜合問題時，無論是討論函數(shù)的性質(zhì)，還是利用函數(shù)的性質(zhì)，都要注意：（1）無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行；（2）如果需要將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤.

函數(shù)與方程

考點(diǎn)1 函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間的判定

解題策略 （1）利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[[a，b]]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有[f（a）·f（b）<0]. 若有，則函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[（a，b）]上必有零點(diǎn).

（2）數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察在給定區(qū)間上圖象與[x]軸是否有交點(diǎn)來判斷.

考點(diǎn)2 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)

解題策略 （1）解方程法：若對應(yīng)方程[f（x）=0]可解時，通過解方程，有幾個解就有幾個零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在性定理法：不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間[[a，b]]上是連續(xù)不斷的曲線，且[f（a）·f（b）<0]，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).

（3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題. 先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)，其中交點(diǎn)的個數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

考點(diǎn)3 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

解題策略 （1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.

函數(shù)模型及其應(yīng)用

考點(diǎn)1 用圖象刻畫實(shí)際問題中兩變量的變化

解題策略 （1）構(gòu)建函數(shù)模型法：根據(jù)題意容易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

（2）驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

考點(diǎn)2 應(yīng)用所給模型解決實(shí)際問題

解題策略 （1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該模型求解實(shí)際問題.

考點(diǎn)3 構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

解題策略 （1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型.

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義.

易錯提醒 注意問題反饋. 在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個結(jié)果在實(shí)際問題中的合理性.