淺析排列組合中的三類問題

董新青

摘 要：排列、組合問題的背景豐富，情景陌生，題型多彩，變化萬千，方法多樣，似乎無特定的模式和規(guī)律可循，學生學習起來，大多無從下手，難度很大。本文從萬千題型中，歸納總結出三類問題，這三類問題，雖遠不能涵蓋所有的排列組合問題，但掌握了它，通過“舉一反三”，對于學好排列組合問題將大有裨益。

關鍵詞：合并；取法數(shù)；模型

1 涂色問題

涂色問題是排列、組合問題中的一類，也是近年來高考的熱點，下面就幾例高考題淺談一下這類題型的解法。

例1 將3種農(nóng)作物種植在如下圖的5塊試驗田里，每塊種植一種農(nóng)作物且相鄰的試驗田不能種植同一農(nóng)作物，不同的種植方法共有多少種。

解： 第一步，根據(jù)題目要求，將5塊[A＼&B＼&C＼&D＼&E＼&]試驗田合并為3塊，有如下7種方法：

①（A、C）、（B、D）、E；②（A、C）、（B、E）、D；③（A、D）、（B、E）、C； ④（A、D）、（C、E）、B；⑤ （A、E）、（B、D）、C；⑥ （B、D）、（C、E）、A；⑦ （A、C、E）、B、D

第二步，將3種農(nóng)作物種在如上 “3塊”試驗田里，有種方法。

根據(jù)乘法原理，故不同的種植方法種數(shù)為：7A=42。

例2 如圖，一地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色。現(xiàn)有4種顏色供選擇，則不同的著色方法共有多少種。

解：本題有二類涂法。

第一類：用3種顏色涂。

第一步，將5個區(qū)域合并為3個區(qū)域，只有一種方法：（2、4）、（3、5）、1；

第二步，選3種顏色，共有C種方法；

第三步涂色，3種顏色涂在3個區(qū)域，共有A種方法；由乘法原理，不同的著色方法種數(shù)為：C·A=24

第二類：用4種顏色涂。

第一步，將5個區(qū)域合并為4個區(qū)域，只有2種方法：（2、4）、1、3、5，（3、5）、1、2、4；

第二步，用4種顏色為“4個區(qū)域”涂色，共有A種方法，由乘法原理，不同的涂色方法種數(shù)為：2A=48。

綜上，涂法總數(shù)為：24+48=72。

由上例可知，求解涂色問題，先要根據(jù)題意，理清完成涂色任務至少需要幾種顏色，然后按所需顏色種數(shù)進行分類。解每一類，根據(jù)題意把所有區(qū)域合并，其合并數(shù)為所用顏色數(shù)，然后進行涂色（排列），得出這一類的不同涂色種數(shù)。最后由加法原理得出涂法總數(shù)。

2 分組問題

分組問題是排列組合問題中較為重要的一個問題，它是解決某些分配問題的基礎，要求學生必須掌握。

例1 4個不同的小球，放入編號為1、2、3、4的4個盒子里，恰有一個空盒的放法共有多少種

解：依題意，4個不同的小球放入3個盒子里，必有一個盒子有2球，其余2個盒子各一球。第一步，4個小球分為3組，共有種方法，第二步，從4個盒子中取3個，共有C種方法；第三步，3組小球放入3個盒子里，共有A種放法。因而不同的放法總數(shù)為：CA=144種。

例2 6本不同的書分給4個人，每人至少一本，共有多少不同的分法。

解：依題意，有兩類分法，一類為：一人2本，一人2本，一人1本，一人1本；另一類為：一人3本，其余3人各1本。

第一類：第一步，將6本書按上述要求分成4組，共有種方法；第二步，將4組書分給4個人，共有A種方法。故不同的分法種數(shù)為：A=1080種。

第二類：第一步，將6本書按上述要求分成4組，共有種分法；第二步，將4組書分給4個人，共有A種分法。故不同的分法種數(shù)為A=480種。

綜上，不同的分法總數(shù)為：1080+480=1560種。

解決分配問題的原則是：先分組后分配（排列），因而，掌握分組的規(guī)律至關重要。

3 相同元素的分配問題——隔板法

排列、組合針對的是不同元素的分配問題，因而，有些相同元素的分配問題不能直接利用排列、組合求解。它的解法比較特殊，需要我們建立合適的數(shù)學模型。下面就幾個具體實例說明這類題型的解法。

例1 12個相同的小球放入編號為1、2、3、4的4個盒子里：①每個盒子至少一個小球的不同放法有多少種；②如果允許每盒可空，那么不同的放法有多少種；③如果要求每個盒子中的小球數(shù)不小于其編號數(shù)，則不同的放法有多少種？

解：①將這12個小球排成一排，則其中間產(chǎn)生11個空檔；利用3個隔板放入小球之間，可將小球方分成4部分。因而，從11個空檔中選出3個來放隔板，不同的放法，對應不同的分法。故分法種數(shù)為：C=165種。

②因為每盒可空，所以隔板之間允許無球，插入法不再適應?，F(xiàn)建立如下數(shù)學模型：將3個隔板（把球分成4部分，需3隔板）和12個球排成一排，共需15個位置，從這15個位置中任取3個放隔板（當然，其余位置放小球），不同的放法，對應不同的分法。（例：一排排列如又所示：000—00000——0000，則1盒放3個，2盒放5個，3盒放0個，4盒放4個）因而，小球不同的放法種數(shù)為：C=455種。

③解法一：用①的處理方法。

首先，4個盒子里分別放入0個、1個、2個、3個小球，則剩余6個小球，它們之間產(chǎn)生5個空檔。然后，利用插入法，從5個空檔中取3個放隔板，則共有不同的分法：C=10種。

解法二：用②的處理方法。

首先，每個盒子里放入與其編號數(shù)相同的小球，用去10個小球，還剩2個小球，此時允許每個盒子可空。2個小球與3個隔板排成一排，共需5個位置。然后，從5個位置中任取3個放隔板，則不同的分法共有：C=10種。

例2 某校高二有7個班，從中選擇10人參加數(shù)學競賽：①每班至少一人，共有多少不同的選法；②如果允許有的班無人參賽，共有多少不同的選法？

解：參賽的10人，在此題中為10個名額，它們是相同的元素。因而，需用隔板法來處理。

①10個名額之間產(chǎn)生9個空檔，從中任取6個放隔板，可將10個名額分成7部分。則不同的選法數(shù)共有：C=C=84種。

②10個名額和6個隔板（把10個名額分成7部分只需6個隔板）排成一排，共占用16個位置，從中任取6個位置放隔板，則不同的選法數(shù)共有：C種。

參考文獻：

[1]劉強主編.《輕巧奪冠》.

[2]高峰主編.《狀元之路》.