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    例談極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

    2015-05-29 07:40:38高純標(biāo)
    新課程·上旬 2015年19期
    關(guān)鍵詞:木棍分母長(zhǎng)方形

    高純標(biāo)

    (安徽省阜陽市潁東區(qū)老廟鎮(zhèn)老廟小學(xué))

    極限思想是近代數(shù)學(xué)中一種重要的思想,主要是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。即用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn),把所考查的對(duì)象看作是某個(gè)對(duì)象在無限變化過程中變化結(jié)果的思想。它體現(xiàn)了“從有限中找到無限,從暫時(shí)中找到永久,并且使之確定起來”的一種運(yùn)動(dòng)辯證思想。數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終。可以說,數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開極限。

    在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》課程目標(biāo)中的“總目標(biāo)”明確指出:“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?!睆摹半p基”到“四基”的變化上可以看出,課程標(biāo)準(zhǔn)重視在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的基本思想,重視數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生思維發(fā)展的作用。

    縱觀小學(xué)教材,極限思想蘊(yùn)含在小學(xué)數(shù)學(xué)諸多知識(shí)領(lǐng)域中。如何在小學(xué)生的頭腦中播下極限思想的“種子”,讓其“生根”“發(fā)芽”,為以后成長(zhǎng)為枝繁葉茂數(shù)學(xué)分析的“參天大樹”打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)呢?本文將立足于小學(xué)數(shù)學(xué)這一特定的教育階段,針對(duì)“極限思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾個(gè)特例進(jìn)行初步探索,為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考。

    學(xué)生在學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)后的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,我出示了這樣一道題。

    下面有兩組數(shù),請(qǐng)大家比較大?。?/p>

    師:你們說的似乎都有一定的道理,我們比較兩數(shù)的大小還可以采用作差的方法。(師順勢(shì)板書)

    討論交流:①減數(shù)0.99…的小數(shù)點(diǎn)后面有多少個(gè)9?②你認(rèn)為差的小數(shù)點(diǎn)后面的0有多少個(gè)?③差的最后一位會(huì)出現(xiàn)1嗎?

    生1:減數(shù)0.99…的末尾有無數(shù)多個(gè)9,差的小數(shù)點(diǎn)后面有無數(shù)多個(gè)0,差的最后一位可能不會(huì)出現(xiàn)1。

    生2:差的最后一位一定不會(huì)出現(xiàn)1,因?yàn)橐恢睖p下去,有無限多個(gè)0,永遠(yuǎn)也不會(huì)出現(xiàn)0。

    生3:我感覺0.99…無限接近1。

    師:是呀,無限接近1,最后等于1了,你們信嗎?

    (生有的點(diǎn)頭贊成,有的臉上充滿迷茫。)

    而 3÷3=1

    通過上面的教學(xué),改變了學(xué)生總以為在那遙遠(yuǎn)的地方一定還有一個(gè)9的思維定式吧。其實(shí),既然是無限,哪有末尾。正如“時(shí)間無所謂始終”“宇宙無邊無際”一樣。學(xué)生在思考解決問題的過程中,初步體會(huì)了“無限逼近”的含義,基本上知道0.99…無限接近1,最后就真的等于1的本質(zhì)。

    二、“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”真的取不完嗎

    在北師大版義務(wù)教育教科書五年級(jí)《數(shù)學(xué)》(下)中有以下兩個(gè)數(shù)學(xué)情境:

    ●讀一讀,想一想,剩下的部分占這張紙條的幾分之幾?

    我國古代著名哲學(xué)著作《莊子·天下》中有這樣一段話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭?!币馑际钦f:一尺長(zhǎng)的木棍,每天截一半,永遠(yuǎn)也截不完。

    “一尺之棰,日取其半,萬世不竭?!苯氐阶詈笳娴慕夭煌陠??

    第一個(gè)情境是用圖形直觀地幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位的意義,即單位量與單位數(shù)都是分?jǐn)?shù)單位,表示一個(gè)分?jǐn)?shù)單位的幾分之一,分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)單位的積仍然是一個(gè)分?jǐn)?shù)。第二個(gè)情境主要向?qū)W生滲透極限思想。怎樣幫助學(xué)生感悟出木棒所剩部分的長(zhǎng)度會(huì)趨向于0,體會(huì)到初步的極限思想,而且受到一定的傳統(tǒng)文化的熏陶呢?

    師:同學(xué)們,你們還記得在第三單元中學(xué)的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的含義嗎?

    生:它的含義就是說“一尺長(zhǎng)的木棍,每天截去它的一半,千秋萬代也截不完”。

    師:你能說一說把這根木棍截1次、2次、3次還剩這根木棍的幾分之幾嗎?

    師:你能直接說出截4次,8次,100次還剩這根木棍的幾分之幾嗎?

    生:截4次,剩的木棍的分母應(yīng)該是4個(gè)2相乘,分子應(yīng)該是1……

    師:如果把這根木棍截n次,還剩這根木棍的幾分之幾嗎?

    生:還剩木棍的分母應(yīng)該是n個(gè)2相乘,分子應(yīng)該是1。

    師:你能說出把這個(gè)木棍截(n+1)次,截?zé)o數(shù)次還剩這根木棍的幾分之幾嗎?

    生 1:截(n+1)次還剩木棍的分母應(yīng)該是(n+1)個(gè) 2相乘,分子是1。

    生2:截?zé)o數(shù)次,還剩的木棍的分母應(yīng)該是無數(shù)個(gè)2相乘,分子是1。

    生3:我認(rèn)為剩的很少很少,幾乎沒有了。

    生4:還剩的木棍的分母很大很大,分子是1,應(yīng)該離0很近很近。

    師:是啊,當(dāng)截得次數(shù)無限多時(shí),分母就越來越大,分子是1,剩的就無限逼近0。

    三、真的能“化圓為方”嗎

    極限思想不但在“數(shù)與代數(shù)”方面有所滲透,而且在“圖形與幾何”也有涉及,如,北師大六年級(jí)數(shù)學(xué)(上)圓的面積公式的推導(dǎo)過程就滲透了極限的數(shù)形結(jié)合思想。在這節(jié)課上,我利用幾何畫板軟件,幫助學(xué)生直觀理解把圓分的份數(shù)越多,拼成的圖形越接近長(zhǎng)方形,下面我把在本課教學(xué)中的一個(gè)片段摘錄如下:

    師:誰能說一下平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出的?

    生:轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形。

    師:怎樣計(jì)算一個(gè)圓的面積呢?能不能把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形來計(jì)算呢?(學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手剪拼、小組討論、匯報(bào)交流)

    生1:我把一個(gè)圓平均分成4份,并剪成2個(gè)半圓,重新拼組,可以得到一個(gè)不規(guī)則的圖形。

    生2:我把一個(gè)圓平均分成8份,并剪成2個(gè)半圓,重新拼組,有點(diǎn)像平行四邊形,不過底邊是彎彎曲曲的線。

    生3:把一個(gè)圓平均分成16份,剪成2個(gè)半圓重新拼組,有點(diǎn)像長(zhǎng)方形。

    師:老師也把圓平均分成32份、64份,并剪成2個(gè)半圓,重新拼組成,會(huì)得到什么樣圖形呢?(課件演示)

    生1:近似的長(zhǎng)方形。

    生2:平均分成64份拼成的圖形比平均分成32份拼成的圖形更接近長(zhǎng)方形。

    師:請(qǐng)大家想象一下:如果老師繼續(xù)平均分成128份、256份時(shí),圓平均分的份數(shù)越多,每份就越小,拼組成的圖形會(huì)怎樣變化?

    生:越來越接近長(zhǎng)方形。

    師:如果無限分下去,拼組成的圖形會(huì)怎樣?

    生1:很像很像長(zhǎng)方形。

    生2:分成無限多份,長(zhǎng)就變成直的了,就是一個(gè)長(zhǎng)方形。

    這個(gè)過程中從“分的份數(shù)越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程,“曲的真的變成直的了,圓形真的變成了長(zhǎng)方形”就是收斂的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)歷了從無限到極限的過程,感悟了極限思想的具大價(jià)值。

    其實(shí),在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,能夠挖掘滲透極限思想的地方還很多,譬如:在學(xué)完小數(shù)的基本性質(zhì)之后,讓學(xué)生寫出和0.5相等的小數(shù);在教學(xué)“自然數(shù)”“奇數(shù)”“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí)讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的,奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無限多個(gè);在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí),可讓學(xué)生體會(huì)直線的兩端是可以無限延長(zhǎng)的;兩條平行線無論延長(zhǎng)多長(zhǎng),永遠(yuǎn)不會(huì)相交等。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案,進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí),要在學(xué)生感知有限的基礎(chǔ)上,幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)表象,結(jié)合想象讓學(xué)生體驗(yàn)無限。在感受無限的過程中,飛躍到感知極限,從而感悟極限思想。

    總之,極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶,是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)反映,是學(xué)習(xí)和研究更高深的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)。我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)善于挖掘教材中極限思想的素材,抓住時(shí)機(jī),將這一思想播種在學(xué)生的頭腦中,為其澆水、施肥。那么,在不久的將來,極限思想這株小苗一定會(huì)成長(zhǎng)為數(shù)學(xué)森林中的一棵參天大樹。

    [1]白淑珍.對(duì)極限思想的辯證理解[M].中國校外教育,2008(2).

    [2]鄭毓信.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].四川教育出版社,2004.

    [3]孔企平.現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法[M].貴州人民出版社,1994.

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