基于插值法波面擬合的球面光學(xué)元件檢測

郭巧雙，王 敏，廖曉東

（福建師范大學(xué) 光電與信息工程學(xué)院 醫(yī)學(xué)光電科學(xué)與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州350007）

引言

目前國內(nèi)外干涉儀如Zygo干涉儀、移相式數(shù)字波面激光干涉儀等對干涉圖樣進(jìn)行波面擬合采用的都是Zernike多項(xiàng)式擬合算法［1－2］，但是直接影響擬合精度的Zernike多項(xiàng)式的階數(shù)較難確定［3］，文獻(xiàn)［4］中則定性地說明了Zernike多項(xiàng)式邊界誤差對擬合結(jié)果存在影響，在文獻(xiàn)［5］中，采用對干涉圖分別進(jìn)行行插值和列插值，再將兩次的插值結(jié)果進(jìn)行加權(quán)擬合出干涉圖的波面，但仍存在的問題就是由于插值法不具有Zernike多項(xiàng)式的單位圓正交性質(zhì)，不能限制插值邊界，邊界存在突變，給計算結(jié)果帶來一定的誤差且計算速度慢。隨著徑向基理論的發(fā)展，徑向基函數(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于大地測量學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自由曲面重構(gòu)等領(lǐng)域，在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中很多類型的徑向基函數(shù)都能得到很好的結(jié)果，尤其是以multi－quadric函數(shù)（簡稱MQ函數(shù)）為基底函數(shù)的徑向基函數(shù)在散亂數(shù)據(jù)插值中可以得到理想的結(jié)果［6］，因此根據(jù)一般球面光學(xué)元件基本為圓形孔徑［7］，本文先采取最小二乘法對數(shù)據(jù)邊界點(diǎn)進(jìn)行擬合得到邊界圓［8］，確定出數(shù)據(jù)邊界點(diǎn)的中心和半徑值，并用樣條插值確定邊界波像差，解決由于邊界數(shù)據(jù)少，誤差大的問題；然后用multi－quadric函數(shù)插值法對已知數(shù)據(jù)直接進(jìn)行插值擬合，既能克服Zernike多項(xiàng)式的階數(shù)不易確定的問題，又可在不需要確定波面方程的情況下，直接給出任意指定點(diǎn)的波像差，進(jìn)而還原出波面，計算出波面峰谷偏差EPV值及均方根偏差ERMS值。

本文主要是在Matlab軟件平臺上，分別對國標(biāo)干涉圖、Zygo干涉儀采集的干涉圖進(jìn)行擬合，并將擬合結(jié)果所得的面形偏差與國標(biāo)面形偏差、Zygo干涉儀檢測的面形偏差進(jìn)行對比。由于美國Zygo公司的GPI系列干涉儀，其測量結(jié)果得到 國 內(nèi) 外 同 行 的 公 認(rèn)［1－2，9］，因 此 本 文 方 法 的 擬 合精度主要通過與Zygo干涉儀測量結(jié)果比較為準(zhǔn)。

1 圖像處理過程

干涉圖樣通過裁剪、格式轉(zhuǎn)換、雙臂旋濾波等預(yù)處理后，通過Otsu方法的最佳全局閾值處理進(jìn)行圖像分割，提取出干涉圖樣的明（暗）條紋，再通過數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)細(xì)化算法提取明（暗）條紋的骨架得到干涉條紋中心線，由于骨架提取后存在毛刺，采用形態(tài)學(xué)方法對骨架的毛刺進(jìn)行去除，避免對波面擬合引進(jìn)誤差，接下來通過級次標(biāo)定，即可確定每條明（暗）條紋的相位為2nπ或光程差為nλ［10］。最后通過已知的相位或光程差對波面進(jìn)行插值擬合。圖像處理步驟見圖1，國標(biāo)干涉圖中馬鞍形光圈（文獻(xiàn)［10］附錄B.9）處理結(jié)果如圖2所示。

圖1 圖像處理步驟Fig.1 Image processing steps

圖2 處理后的干涉條紋Fig.2 Preprocessed interferogram

2 邊界處理

由于Zernike多項(xiàng)式是互為正交、線性無關(guān)的，而且可以唯一地、歸一化描述系統(tǒng)圓形孔徑的波前邊界，所以在Zernike多項(xiàng)式波面擬合過程中不需要考慮邊界問題。而插值法擬合波面不具有自然約束邊界的條件，故必須考慮邊界問題.基于一般球面光學(xué)元件都是圓形孔徑［7］，且非閉合型的干涉條紋的端點(diǎn)位于干涉圖樣的邊界，所以邊界的處理主要根據(jù)非閉合型干涉條紋的端點(diǎn)來擬合邊界圓，并根據(jù)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的波像差擬合出整個邊界圓的波像差，即可實(shí)現(xiàn)對插值邊界進(jìn)行約束。

2.1 查找干涉條紋的端點(diǎn)

根據(jù)干涉條紋提取的骨架為單像素寬度的圖像，則在骨架像素中8鄰域范圍內(nèi)只存在1個像素點(diǎn)的像素為骨架的端點(diǎn)（如圖3所示，中心像素a即為端點(diǎn)）。根據(jù)端點(diǎn)定義通過掃描遍歷各個像素點(diǎn)確定其8鄰域的像素個數(shù)即可查找出干涉條紋骨架的端點(diǎn)。

圖3 中心像素a為端點(diǎn)的8鄰域示意圖Fig.3 8－adjacent areas with center pixel ato be endpoint

2.2 確定邊界圓及邊界波像差

將查找出的邊界點(diǎn)的行索引值及列索引值作為已知邊界點(diǎn)坐標(biāo)（xi，yi），以已知邊界點(diǎn)到擬合圓心的距離與擬合圓半徑的平方差最小為擬合邊界圓的判斷依據(jù)，采用最小二乘法進(jìn)行擬合圓，即可確定圓心和半徑，擬合邊界圓的結(jié)果如圖4所示。過Matlab進(jìn)行矩陣的左除即最小二乘法解法便可確定（D，E，F(xiàn)）參數(shù)使取得最小值，再根據(jù)（2）式便可確定擬合圓的參數(shù)（x0，y0，r）。

圖4 擬合示意圖及邊界擬合圓Fig.4 Schematic diagram and boundary fitting circle

對于邊界波像差，可根據(jù)圓的參數(shù)（圓心和半徑）將已知邊界點(diǎn)的坐標(biāo)（xi，yi）轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)（ρ，θi），再根據(jù)已知邊界點(diǎn)的極坐標(biāo)θi及相對應(yīng)的波像差zi進(jìn)行一維的樣條插值，采用 Matlab中interp1函數(shù)選用擬合效果較平滑的“spline”分段樣條插值方法，即可得到整個邊界的位置及波像差，計算出的邊界波像差如圖5所示。

圖5 邊界波像差Fig.5 Wave aberrations of boundary

如圖4所示已知邊界點(diǎn)到擬合圓圓心的距離為di，擬合半徑為r，根據(jù)圓的一般方程：

可得：

則已知邊界點(diǎn)到擬合圓心的距離與擬合圓半徑的平方差為

根據(jù)（3）式由已知邊界點(diǎn)建立線性方程組，通

通過邊界點(diǎn)確定邊界圓的圓心及半徑的大小即可確定插值的有效范圍，因?yàn)椴逯抵写嬖谕獠迤畲髥栴}，通過插值擬合確定邊界波像差既可減小外插帶來的影響，又可以增加采樣點(diǎn)提高波面擬合精度。

3 MQ函數(shù)插值

MQ 函數(shù)的表達(dá)式［12－14］為

其中zk為已知點(diǎn)的波像差。即已知波像差的點(diǎn)為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…，（xn，yn，zn）

其中c為形狀參數(shù)。插值計算前應(yīng)先用提取出的干涉條紋中心線及其對應(yīng)的波像差根據(jù)先行方程組（5）式計算最小二乘法計算系數(shù)ai的值：

則有

即可通過最小二乘法計算得到系數(shù)向量A。

徑向基為

采用函數(shù)插值給定的點(diǎn)集，即可擬合出各個點(diǎn)的位相得到被測波面的輪廓。

4 處理結(jié)果分析

EPV值是被測波面上相對于參考波面的峰值與谷值之差；ERMS值是被測波面相對于參考波面各點(diǎn)偏差值的均方根［11］。通過波面擬合結(jié)果即可得到波面相對于參考波面各點(diǎn)偏差值Ei，則通過（11）式便可計算出波面的峰谷偏差：

由于國家標(biāo)準(zhǔn)光圈給出的是半徑偏差N，計算出的EPV值無法與國標(biāo)給定的半徑偏差值直接進(jìn)行比較，則根據(jù)（12）式即可實(shí)現(xiàn)EPV與N 的轉(zhuǎn)化［15］，其中λ為波長。

通過（13）式計算波面的均方根偏差ERMS：

本文采用國標(biāo)干涉圖及Zygo公司GPI－XP／D4干涉儀采集的圖片進(jìn)行測試對比。圖6所示圖a和圖b分別為國標(biāo)干涉圖參照文獻(xiàn)［8］附錄B.9、附錄B.19測試結(jié)果的MQ插值擬合波面圖。

Fig.6 國標(biāo)干涉圖擬合結(jié)果圖Fig.6 Fitting results of national standard interferograms

計算結(jié)果如表1所示：

表1 國標(biāo)干涉圖測試數(shù)據(jù)Table 1 Test data of national standardinterferograms

表1給出了MQ插值方法對國標(biāo)干涉圖的檢測結(jié)果，從國標(biāo)干涉圖的檢測結(jié)果看，MQ函數(shù)插值方法檢測出的EPV誤差約為0.2λ，基本在測量誤差范圍內(nèi)。由于國標(biāo)干涉圖主要是用來作為光學(xué)車間樣板法定性檢測的標(biāo)準(zhǔn)，精度有限，且國標(biāo)圖在實(shí)測中較難采集到相同的圖樣用于驗(yàn)證。因此通過ZygoGPI系列干涉儀的采集圖樣進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

圖7為Zygo公司GPI－XP／D4干涉儀采集的圖片的擬合結(jié)果。

圖7 Zygo干涉圖擬合結(jié)果圖Fig.7 Fitting results of Zygo interferograms

表2則給出了MQ插值方法與Zygo干涉儀對Zygo干涉儀采集圖的檢測結(jié)果，從表2有無擬合邊界波像差的檢測結(jié)果可得，通過邊界波像差的擬合可有效地減小插值誤差；從MQ函數(shù)插值方法（有擬合邊界波像差）與Zygo干涉儀的檢測結(jié)果比較可得，峰谷值EPV和均方根偏差ERMS差異約為0.03λ，與Zygo干涉儀的檢測結(jié)果較接近，即驗(yàn)證了采用MQ函數(shù)插值擬合波面可基本滿足非接觸在線檢測光學(xué)鏡片的精度帶求并具有可行性。

表2 Zygo干涉儀采集圖測試數(shù)據(jù)Table 2 Test data of Zygo interferometer λ

5 結(jié)論

采用最小二乘法進(jìn)行邊界擬合可精確地確定數(shù)據(jù)取值邊界點(diǎn)，即確定插值的有效范圍；采用MQ函數(shù)插值基本實(shí)現(xiàn)了對干涉圖波面面形的重建，且重建的波面光滑度較高；將MQ函數(shù)插值與邊界波像差擬合相結(jié)合，也有效地提高了檢測精度。雖然前期圖像處理環(huán)節(jié)引入一定的誤差，導(dǎo)致根據(jù)干涉條紋提取的相位信息精度有限，使得檢測結(jié)果仍存在一定的誤差，但是測量誤差能夠滿足球面光學(xué)元件非接觸在線檢測的精度要求，且采用MQ函數(shù)插值方法與不同的邊界擬合方法有望實(shí)現(xiàn)對橢圓形、方形孔徑的光學(xué)元件進(jìn)行檢測。

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