淺談定積分的計算方法

李永紅

摘 要：本文通過實例，討論了定積分計算的方法和技巧，有助于提高學生定積分的計算能力。

關鍵詞：定積分；計算

一、定積分計算的重要性

定積分是微積分三大基本運算之一，也是計算重積分、曲線和曲面積分的基礎。我們熟知的牛頓——萊布尼茨公式是求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，但是在習題中我們經(jīng)常會碰到所求原函數(shù)很復雜或者根本無法求出的情形。因此定積分的計算，除使用求不定積分的換元法、分部積分法等之外，還有自己的特色。這里列舉幾例供同學們參考。

二、計算定積分的方法

（一）利用定積分的幾何意義

例1

解：令x-1=t，原式

對于一些被積函數(shù)是分段函數(shù)或含絕對值符號等情形，如果被積函數(shù)圖象易于作出， 可以利用作圖簡化計算。

（二）利用對稱區(qū)間上定積分的性質(zhì)

對稱區(qū)間上的定積分有偶倍奇零的結(jié)論，但當被積函數(shù)非奇非偶，且f（x）+f（-x）可化為易于積分的函數(shù)，有以下結(jié)論：

，

例2

解： 令 ，

原式=

三、利用周期函數(shù)定積分的性質(zhì)

如果f（x）是周期為T（T>0）的連續(xù)函數(shù)，α為常數(shù)，則

。

例3 求

解： 為周期函數(shù)，周期為π，則令nx=u，ndx=du，

如果被積函數(shù)有周期性，而積分區(qū)間又是周期的整數(shù)倍，可以用此結(jié)論簡化計算。

四、利用變量代換

變量代換在定積分的計算中很常見，有根式代換、倒數(shù)代換等，技巧性強，解無定法。這里給出兩例供參考。

例4 計算

解： 記r=■，令x=■-μ則有

因此， ，

。

例5 計算

分析： 本題除考慮無理代換 外，作代換

x=sin2t計算更簡便。

解：令x=sin2t，dx=2sintcostdt。

原式= 。

三、結(jié)束語

當然定積分的計算還有冪級數(shù)法、待定系數(shù)法、二重積分和數(shù)值方法等。希望同學們在解題實踐中不斷總結(jié)，提高計算定積分的能力。

參考文獻：

[1] 毛綱源.考研數(shù)學三常考題型解題方法技巧歸納（第二版）[M] . 武漢：華中科技大學出版社， 2013.

[2] 陳兆斗等.大學生數(shù)學競賽習題精講.北京，清華大學出版社，2010年.