中日高中教材“圓與方程”教學內容比較研究

周苗苗　葉立軍

1問題的提出

我國的數學課程改革已實施了十余年，數學教材作為實現數學課程目標、實現數學教學的重要資源和數學教學內容的主要依據，在我國的數學課程改革中起著非常重要的作用.近二十年來，日本數學課程進行了多次頗有成效的改革，發(fā)展并形成了自己的特色和優(yōu)勢.在日本出版教材首先要拿給文部省審查，合格后才能出版.日本教材的共同點是比較強調掌握基本知識和技能，培養(yǎng)學生的數學素質.通過兩國教材的比較，幫助我們客觀的認識我國數學教材的不足和問題，有助于我國數學課程建設的健康發(fā)展.

“圓”教學內容設置于日本數研出版社出版的系列高中數學教材《新編數學Ⅱ》中（以下簡稱新編數學教材）的第三章的第二節(jié)，章節(jié)名稱為“圓”，單元名稱為“圖形與方程”，與之相應，我國人民教育出版社出版的系列高中數學教材《必修2》（以下簡稱人教A版教材）的第四章也有相似內容，單元名稱為“圓與方程”，二者存在一定的可比性.

2兩種教材整體比較——編排方式比較

兩種教材對此部分內容的處理方式存在著較大的差異，為了更好地說明這種差異，我們首先將新編數學教材第三章第二節(jié)，與我國人教版教材必修2第四章，以及他們的上行與下行單元的整體內容進行了對比，得出表1.

空間兩點間的距離公式

下行單元第三節(jié)軌跡與領域第一章解三角形*

（注：參考現行浙江省普通高中授課次序，*為必修五的內容）

可以發(fā)現新編數學教材“圓”與人教A版教材“圓與方程”在教學內容編排方式上存在著以下差異：

首先，值得一提的是，人教A版教材對“圓”這一教學內容安排了一個完整的章節(jié)，即必修2第四章圓與方程.而新編數學教材僅僅安排在第三章圖形與方程的一個小節(jié)，即第二小節(jié)圓.

其次，從前后聯系上來看，新編數學教材“圓”的下行章節(jié)“軌跡與領域”涉及了點在坐標平面上的軌跡，是直線與圓上的點的軌跡的一般化.此外，在學習完幾何圓與直線之后，引入不等式，進行不等式表示范圍的探討，實現了知識的綜合運用；而人教A版教材“圓與方程”的下行單元與本單元無顯著聯系.

最后，從知識呈現的目的上看，新編數學教材安排此部分內容的用意，重在用方程式表示圓，用解析幾何的方法考察直線和圓等平面圖形的性質和關系.而人教A版教材的目的是通過圓的方程研究直線與圓，圓與圓的位置關系，讓學生逐步形成數形結合的思想，掌握用坐標解決平面幾何的方法.此外，人教A版教材增加了空間直角坐標系的內容，使學生掌握用解析方法研究空間幾何對象的基礎.3兩種教材具體內容分析

3.1兩種教材知識內容范圍和編排順序的比較

我們首先根據知識點對本節(jié)內容進行了劃分，對兩種教材在本節(jié)的內容和編排順序進行比較.

我們發(fā)現，新編數學教材在“圓”這節(jié)設計了四個知識點：（1）圓的方程式.本節(jié)中只給出了圓的方程式，并沒有給出圓的標準方程和一般方程的定義.（2）直線與圓的交點的坐標.這一知識點在人教A版該章教材中則是以例題的形式一筆帶過.（3）圓與直線的位置關系.這一知識點在人教A版教材“圓、直線的位置關系”中有相關的內容.但新編數學教材采用表格的形式具體的呈現出判定圓與直線的位置關系的兩種方法，人教A版教材則是在例題中給出兩種相應的解法，讓學生自己歸納總結.（4）圓的切線方程.這一知識點在人教A版教材中沒有給出.最后還引入了通過圓和直線交點的圓這一拓展知識.

人教A版教材在“圓與方程”這一章節(jié)中涉及了較多的知識，分了三大類展開知識的教學：（1）圓的方程：在該類知識中，分別給出了圓的標準方程和一般方程的定義以及求法步驟，并進一步探討了方程x2+y2+mx+ly+n=0表示圓所需滿足的條件.（2）直線與圓的位置關系：通過例題的形式得出直線與圓位置關系，圓與圓位置關系的判定方法，更進一步的引入了直線與圓的方程的應用這一知識點，增加了知識的實際運用.（3）空間直角坐標系.這一知識點在新編數學教材“圓”這一章節(jié)中沒有提及.隨著空間直角坐標系的引入，可以將平面解析幾何的基本思想方法推廣到空間去解決空間幾何問題.

新編數學教材各類知識點分類較細，我們還可以發(fā)現，兩種教材雖然在內容的范圍和編排上有一定的差異，但也不乏相似之處.整體內容編排設計的總體思路還是遵循知識點由淺入深，難度梯度逐級上升的安排方式.

32兩種教材教學內容編寫模式的比較

通過比較，我們發(fā)現兩種教材“圓”與“圓與方程”教學內容編寫模式主要存在以下差異：

（1）兩種教材在知識引入模式上存在不同.新編數學教材：直接給出定義，或者根據例題直接給出知識，注重對概念本身的掌握；人教A版教材：通過思考、探究，得到定義以及相應的知識，注重對概念的理解.

（2）兩種教材在知識延展模式上存在不同.新編數學教材運用了統一的呈現模式：定義——例題——練習.而人教A版教材則沒有特定的規(guī)律，注重知識的探索和理解.

（3）兩種教材在知識點聯系上不同.新編數學教材：較少涉及相關知識，注重強化訓練本節(jié)知識；人教A版教材：盡量多地涉及相關知識，重視點與坐標、曲線與方程之間的聯系.

（4）兩種教材在例題和習題呈現順序上不同.新編數學教材：每一個例題后都會有相應的練習加以鞏固.人教A版教材：先講解一節(jié)內容中的所有例題，再統一給出練習題.4例題與習題比較分析

4.1習題綜合難度的比較

借鑒[1]對習題綜合難度的分析，本文主要從習題的類型及數量、習題的性質、習題背景及知識點含量四個維度進行考慮.為了對兩種教材的習題難度在上述四個維度進行綜合考慮做細致分析和全面比較，下面有必要對兩種教材的習題數量與類型進行統計.

4.2習題的類型及數量

通過對兩種教材文本的分析，可以得到：新編數學教材習題類型為：練習、補充問題、章末問題.人教A版教材習題類型為：隨堂練習、單元練習A、B組、復習參考A、B組題.

由于習題有大題與小題之分，不同數量的習題之間，其分量不同.故

（1）含有關聯密切的多問的習題，算作1道題，按照最難的一問，判斷其深度級別.，

（2）包含多道小題的題目，每道小題均算作1道題.

通過對兩種教材隨堂練習、單元練習統計，得出兩種教材習題的數量和各自所占的百分比如下：

4.3習題的性質

借鑒[1]，本文對兩種教材習題性質做了詳細的統計，具體如下表.（習題性質分為3個級別，即模仿、遷移與應用、探究，分別賦值1、2、3.）

4.4習題背景

借鑒[1]，本文對兩種教材習題背景做了詳細的統計，詳見下表.（習題背景分為3個級別，即無背景、生活與常識、科學背景，分別賦值1、2、3）

4.5知識點含量

借鑒[1]，本文對兩種教材習題知識點含量做了詳細的統計，詳見下表.（知識點含量分為3個級別，即1個知識點，2～3個知識點、4個及以上知識點，分別賦值1、2、3.）

4.6習題綜合難度的計算

本文中，習題綜合難度計算所采用的的模型為：

φ=α1·X+α2·B+α3·H

其中，X表示習題性質，B表示習題背景，H表示習題的知識點含量，α1、α2、α3分別表示習題性質、背景、知識點含量的權重，分別為05，03，02.

根據上文對習題難度三個維度的統計，利用該習題難度模型，可以計算出每道習題的難度，再求和即可得到習題的綜合難度.根據以上模型，本文利用MATLAB軟件對數據進行計算，得到了三個維度對習題綜合難度的影響，見下表：

5結論與啟示

5.1從教材的編排方式上來看：新編數學教材重視知識結構的連續(xù)性和系統性，人教A版教材重視數學思想和方法的掌握.

新編數學教材在圓這一節(jié)內容后，進一步學習軌跡與領域，這兩節(jié)知識具有一定的連續(xù)性，并通過下一節(jié)“軌跡與領域”中講解軌跡、區(qū)域等內容的聯系，加深對圓及相關知識的理解，形成較為系統的知識結構.而人教A版教材在圓與方程的學習中，引入空間直角坐標系，強調用坐標法解決平面以及空間幾何問題的思想和方法.此外，在圓與方程這章內容的學習后，直接學習解三角形.可見人教A版教材中知識點的連貫性不強.

5.2從教材的內容上來看：新編數學教材的知識點少且簡單，體現了較強的基礎性；而人教A版教材更加注重數學思想的滲透和數學知識的實際背景和應用.

新編數學教材關于“圓”這一知識點只是“圖形與方程”這一章節(jié)中的一節(jié)內容.而人教A版教材安排了一章的內容.人教A版教材所講授的知識點不僅多于新編數學教材，而且在知識點的難度上也明顯高于新編數學教材.人教A版教材注重數學思想方法的滲透.比如：對于圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，新編數學教材僅限于滿足圓的方程一種形式的講解.而人教A版教材則引入分類思想，對圓的一般方程進行研究：（1）當D2+E2-4F>0時，表示以（-D2，-E2）為圓心，以12D2+E2-4F為半徑的圓；（2）當D2+E2-4F=0，表示一個點（-D2，-E2）；（3）當D2+E2-4F<0，方程沒有實數解，不表示任何圖形.此外，新編數學教材中專門設置了“圓的切線方程”這一知識點，雖然人教A版教材沒有設置專門的內容講解，但由于圓的切線方程這一概念在初中就已經提及，人教A版教材還是要求掌握用解析幾何的方法求解圓的切線方程的.由此可以看出，人教A版教材注重對數學思想方法的掌握.在教學中注意滲透數形結合思想，培養(yǎng)學生將代數結果與幾何意義相互轉化的能力，讓學生掌握借助坐標系研究幾何問題的代數方法，體會這種方法所體現的數形結合思想.人教A版教材在“圓的方程”這一小節(jié)內容結束后，設置了《閱讀與思考》這一內容，并在“圓與方程”這章內容中，專門設置了“直線與圓的方程的應用”這一小節(jié)，可見人教A版教材對數學知識的實際背景和應用的重視.

5.3從知識呈現的方式上看，新編數學教材注重對知識的應用，人教A版教材注重知識發(fā)生發(fā)展的過程.

新編數學教材在各節(jié)內容的一開始便采用符合學生心理水平的圖形和表格等直觀說明方式將各種概念定義直接給出，在定義中穿插典型事例加以具體說明，并在每一知識點后會設置相應的例題和習題加以鞏固，增強知識的應用.而人教A版教材普遍采用探究性學習的方法，在提出某一概念和定義前會提出具體的問題讓學生思考、回答，啟發(fā)引導學生運用類比等數學思想學習新的概念和知識，調動學生學習的積極性和主動性.通過例題的形式，逐步啟發(fā)、幫助學生主動探索問題的求解過程，展示知識形成的過程，讓學生自己歸納方法，從而促進學生主動去建構和獲取新知識.有助于學生深化對知識的理解，領悟思想方法，強化情感體驗.但是由于許多結論沒有直接給出，是由學生在教師的引導下討論，找到正確答案，自行歸納整理得出的，可能會造成學生對這些知識的忽視，甚至遺漏.因此，人教A版教材在發(fā)揚、繼承其優(yōu)勢的基礎上，可適當借鑒新編教材的簡潔明了.人教A版教材注重信息技術的引入，因此在教學中，可以借助信息技術工具，通過觀察、操作、實驗，發(fā)現數學規(guī)律，形成猜想，并對猜想進行證明，加深對問題的理解，幫助學生簡潔、直觀的研究幾何圖形以及位置關系.

5.4從習題分析上看，新編數學教材習題量小，難度低，注重本節(jié)基礎知識的掌握，體現“對知識點深度要求較低的”特點.

兩種教材習題的分類均具有層次性，符合循序漸進的認知特點且有利于學生分不同程度掌握內容.

新編數學教材：（1）總題量少，各例、習題都是對所學知識點的直接鞏固，加深對基本概念和基本定理的理解.（2）習題和例題極為相似，注重對學生自信心的培養(yǎng).（3）與生活實際相聯系的習題數較少，數學在實際生活中的應用程度較低.（4）拓展類習題數較少，只注重本節(jié)知識的鞏固，但不利于學生數學思維的拓展.

人教A版教材：（1）總習題量相對較多，提供學生反復鞏固知識點的素材.（2）例題是對上述所講知識點的進一步擴充與延伸，甚至有些知識點是通過習題的方式呈現，讓學生通過例題自行歸納.（3）習題類型多樣化，有利于從多方面考查學生的能力.（4）相當一部分的習題會涉及到其他知識點，有助于加強各數學學科知識點的聯系，但不利于知識系統性的構建.

參考文獻

[1]劉少平.中美高中數學教材函數內容的比較研究[D].長春：東北師范大學，2013.3.