基爾霍夫定律

王學(xué)品

【摘 要】基爾霍夫定律 （Kirchhoff laws） 闡明集總參數(shù)電路中流入和流出結(jié)點(diǎn)的各電流間以及沿回路的各段電壓間的約束關(guān)系的定律，是 1845 年由德國(guó)物理學(xué)家 G·R·基爾霍夫提出。本文對(duì)基爾霍定律及其應(yīng)用進(jìn)行了一定的探索?；鶢柣舴蚨墒请娐返幕径桑欠治鲇?jì)算電路的重要工具。本文闡述如何正確利用基爾霍夫定律對(duì)電路進(jìn)行分析計(jì)算。

【關(guān)鍵詞】結(jié)點(diǎn) 支路 回路 網(wǎng)孔

1 基爾霍夫定律

（1）基爾霍夫定律是闡明集總參數(shù)電路中流入和流出節(jié)點(diǎn)的各電流間以及沿回路的各段電壓間的約束關(guān)系的定律。1845年由德國(guó)物理學(xué)家G.R.基爾霍夫提出。集總參數(shù)電路指電路本身的最大線性尺寸遠(yuǎn)小于電路中電流或電壓的波長(zhǎng)的電路，反之則為分布參數(shù)電路?；鶢柣舴蚨砂娏鞫珊碗妷憾伞＃?）基爾霍夫定律的內(nèi)容：一個(gè)輻射體向周圍發(fā)射輻射能時(shí)，同時(shí)也吸收周圍輻射體所發(fā)射的能量。在平衡輻射狀態(tài)下，該物體的發(fā)射總能量等于它的吸收總能量。輻射體在溫度T、波長(zhǎng)為λ的總能量與吸收本領(lǐng)的比值等于處在平衡輻射態(tài)時(shí)吸收總能量，它與物體的性質(zhì)無(wú)關(guān)，而是波長(zhǎng)和溫度的普適函數(shù)。（3）基爾霍夫定律的結(jié)論：一個(gè)發(fā)射本領(lǐng)大的輻射體，它的吸收本領(lǐng)也一定大。當(dāng)吸收系數(shù)為1時(shí)，表示物體吸收了全部發(fā)射到它上面輻射能量，是一個(gè)理想的輻射體。只有黑體才能夠在任何溫度下及在任何波長(zhǎng)上吸收本領(lǐng)恒為1 。一般輻射體的吸收本領(lǐng)總是小于黑體的，即吸收系數(shù)小于1。

2 在基爾霍夫定律中的幾個(gè)概念

（1）支路：一個(gè)二端元件視為一條支路，其電流和電壓分別稱為支路電流和支路電壓。下圖1 所示電路共有6條支路。

圖 1 圖 2

（2）結(jié)點(diǎn)：電路元件的連接點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。圖2所示 電路中，a、b、c點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)，d點(diǎn)和e點(diǎn)間由理想導(dǎo)線相連，應(yīng)視為一個(gè)結(jié)點(diǎn)。該電路共有4個(gè)結(jié)點(diǎn)。

（3）回路：由支路組成的閉合路徑稱為回路圖3

圖 3 圖 4

（4）網(wǎng)孔：將電路畫在平面上內(nèi)部不含有支路的回路，稱為網(wǎng)孔。圖4電路中的{1，2}、{2，3，4}和{4，5，6}回路都是網(wǎng)孔。

3 基爾霍夫定律的內(nèi)容

3.1 基爾霍夫電流定律（KCL）

基爾霍夫電流定律又稱節(jié)點(diǎn)電流定律（KCL） 任一集總參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任一瞬間流出（流入）該節(jié)點(diǎn)的所有電流的代數(shù)和恒為零，即就參考方向而言，流出節(jié)點(diǎn)的電流在式中取正號(hào)，流入節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號(hào)?；鶢柣舴螂娏鞫墒请娏鬟B續(xù)性和電荷守恒定律在電路中的體現(xiàn)。它可以推廣應(yīng)用于電路的任一假想閉合面。

即對(duì)任一節(jié)點(diǎn)有：∑i =0 。

3.2 基爾霍夫電壓定律（KVL）

基爾霍夫電壓定律（KVL）任一集總參數(shù)電路中的任一回路，在任一瞬間沿此回路的各段電壓的代數(shù)和恒為零，即電壓的參考方向與回路的繞行方向相同時(shí)，該電壓在式中取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)?；鶢柣舴螂妷憾墒请娢粏沃敌院湍芰渴睾愣稍陔娐分械捏w現(xiàn)。它可推廣應(yīng)用于假想的回路中。

即對(duì)任一閉合回路有：∑u =0 。

4 基爾霍夫定律的應(yīng)用

KVL可以從由支路組成的回路，推廣到任一閉合的結(jié)點(diǎn)序列，即在任一時(shí)刻，沿任一閉合結(jié)點(diǎn)序列的各段電壓（不一定是支路電壓）的代數(shù)和等于零。對(duì)圖5 電路中閉合結(jié)點(diǎn)序列abca和 abda列出的 KVL方程分別為：

圖5

4.1 KVL定律的一個(gè)重要應(yīng)用是

根據(jù)電路中已知的某些支路電壓，求出另外一些支路電壓，即集總參數(shù)電路中任一支路電壓等于與其處于同一回路（或閉合路徑）的其余支路電壓的代數(shù)和，即：

或集總參數(shù)電路中任兩結(jié)點(diǎn)間電壓uab等于從a點(diǎn)到b點(diǎn)的任一路徑上各段電壓的代數(shù)和，即：

由支路組成的回路可以視為閉合結(jié)點(diǎn)序列的特殊情況。沿電路任一閉合路徑（回路或閉合結(jié)點(diǎn)序列）各段電壓代數(shù)和等于零，意味著單位正電荷沿任一閉合路徑移動(dòng)時(shí)能量不能改變，這表明KVL是能量守恒定律的體現(xiàn)。

綜上所述，可以看到：（1）KCL對(duì)電路中任一結(jié)點(diǎn)（或封閉面）的各支路電流施加了線性約束。（2）KVL對(duì)電路中任一回路（或閉合結(jié)點(diǎn)序列）的各支路電壓施加了線性約束。（3）KCL和KVL適用于任何集總參數(shù)電路、與電路元件的性質(zhì)無(wú)關(guān)。

KCL不僅適用于結(jié)點(diǎn)，也適用于任何假想的封閉面，即流出任一封閉面的全部支路電流的代數(shù)和等于零。例如對(duì)圖6 電路中虛線表示的封閉面，寫出的KCL方程為：

4.2 KCL定律的一個(gè)重要應(yīng)用是

根據(jù)電路中已知的某些支路電流，求出另外一些支路電流，即集總參數(shù)電路中任一支路電流等于與其連接到同一結(jié)點(diǎn)（或封閉面）的其余支路電流的代數(shù)和，即：

結(jié)點(diǎn)的 KCL方程可以視為封閉面只包圍一個(gè)結(jié)點(diǎn)的特殊情況。根據(jù)封閉面 KCL對(duì)支路電流的約束關(guān)系可以得到：流出（或流入）封閉面的某支路電流，等于流入（或流出）該封閉面的其余支路電流的代數(shù)和。由此可以斷言：當(dāng)兩個(gè)單獨(dú)的電路只用一條導(dǎo)線相連接時(shí)（圖7），此導(dǎo)線中的電流必定為零。在任一時(shí)刻，流入任一結(jié)點(diǎn)（或封閉面）全部支路電流的代數(shù)和等于零，意味著由全部支路電流帶入結(jié)點(diǎn)（或封閉面）內(nèi)的總電荷量為零，這說(shuō)明KCL是電荷守恒定律的體現(xiàn)。

圖 6 圖 7

5 在解題方法上的應(yīng)用

以圖8 所示電路為例：來(lái)說(shuō)明基爾霍夫定律在幾種解題方法上的應(yīng)用，此電路有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，三個(gè)網(wǎng)孔，6條支路。

圖 8

5.1 以支路電流為未知量的支路電流法：根據(jù)電路列出方程

I1+I2=I4，I3+I4=I5，I1+I6=I5（電流定律）

E1=I1×r1+I4R1+I5R2

E2-E3=I2×r2+I4R1-I3×r3（電壓定律）

E3=I3×r3+I5R2+I6R3

以上為6個(gè)方程，聯(lián)立求解，得出6個(gè)未知電流。

5.2 回路電流法：根據(jù)電路列出方程

E1=IⅠ（r1+R1+R2）+IⅡR1+IⅢR2

E2–E3=I1R1+IⅡ（r2+ r3+R1）-IⅡ×r3（電壓定律）

E3=IⅠR2- IⅡ×r3+ IⅢ（r3+R2+R3）

以上為3個(gè)方程，聯(lián)立求解，得出三個(gè)電流IⅠ、IⅡ、IⅢ，這三個(gè)電流分別為IⅠ= I1，IⅡ= I2，IⅢ= I6，然后應(yīng)用電流定律可求出另外三個(gè)電流。

5.3 節(jié)點(diǎn)電壓定律：根據(jù)電路設(shè)a點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，列出方程

Uao（1/r1+1/r2+1/R1）-Ubo1/R1-Uco1/r1=E2/r2+E1/r1

-Uao1/R1+Ubo（1/R1+1/R2+1/r3）-Uco1/R2=E3/r3（電流定律）

-Uao1/r1-Ubo1/R2+Uco（1/r1+1/R2+1/R3）=-E1/r1

聯(lián)立求解方程得節(jié)點(diǎn)電壓Uao、Ubo、Uco，然后根據(jù)電壓定律求出各知路電流。

參考文獻(xiàn)：

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