啟用數(shù)學(xué)軟件講授高職數(shù)學(xué)的新思路

◆黃毓先 黃艷茹

作者：黃毓先，北京電子科技職業(yè)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)；黃艷茹，北京電子科技職業(yè)學(xué)院講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)（100029）。

1 引言

通過近些年來的高職數(shù)學(xué)教學(xué)，及對(duì)以往學(xué)生的了解，北京電子科技職業(yè)學(xué)院生源層次復(fù)雜，分三年制及五年制高職。三年制又分為本地生源和外地生源，兩者也存在差異。五年制高職，普遍來講，文化基礎(chǔ)更差。整體而言，高職學(xué)生思想較活躍，但上課注意力不集中，自我約束能力差。課堂上，大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏信心和興趣。按照高職院校學(xué)生的培養(yǎng)方向與要求，結(jié)合學(xué)校高職學(xué)生的狀況與特點(diǎn)和對(duì)課堂教學(xué)模式的分析與研究，在教學(xué)中采用適宜的教學(xué)方式，對(duì)探求適合職業(yè)學(xué)院學(xué)生的教學(xué)之路有著重要意義。

隨著高等教育從精英型向大眾型轉(zhuǎn)化，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式及方式已經(jīng)很難適應(yīng)當(dāng)前形勢(shì)，正面臨越來越多的問題和困難。多年來，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、方法和手段變化較少，不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)在科技和現(xiàn)實(shí)生活中所起的重要作用，學(xué)生缺乏運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來解決實(shí)際問題的能力。

2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展及為了適應(yīng)新的形勢(shì)，數(shù)學(xué)教學(xué)也面臨改革，特別是在信息化時(shí)代，要求數(shù)學(xué)教學(xué)增強(qiáng)實(shí)踐性，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是基于此而產(chǎn)生的。

物理實(shí)驗(yàn)和化學(xué)實(shí)驗(yàn)是知道的，就是利用儀器設(shè)備，通過實(shí)驗(yàn)來了解物理現(xiàn)象和化學(xué)物質(zhì)等的特性。同樣可通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來了解數(shù)學(xué)問題的特性并解決對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。過去，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)設(shè)備、條件、手段的問題，難以解決數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)問題。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，軟件功能的增強(qiáng)，許多數(shù)學(xué)問題都可以由計(jì)算機(jī)來解決，也為教師利用計(jì)算機(jī)為工具，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題提供了可能。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件平臺(tái)由若干數(shù)學(xué)軟件組成，它提供各種強(qiáng)大的運(yùn)算、統(tǒng)計(jì)、求解、作圖等功能。數(shù)學(xué)軟件按用途，一般可分為通用數(shù)學(xué)軟件和專用數(shù)學(xué)軟件兩大類。有關(guān)數(shù)學(xué)軟件的類型及選用這里不再詳述，見相關(guān)方面的介紹。

本文的目的在于探討高職數(shù)學(xué)課的教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用，啟用Mathematica 軟件講解一元微積分為主線，根據(jù)高職學(xué)生理論基礎(chǔ)差的特點(diǎn)，改變教學(xué)模式，通過數(shù)學(xué)軟件的使用，跨過微積分傳統(tǒng)教學(xué)中的若干環(huán)節(jié)，使得所要求解的問題變得簡(jiǎn)單化。因?yàn)閷W(xué)生基礎(chǔ)差的原因，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用為主、邏輯推理為輔的主導(dǎo)思想，某種程度上講可以達(dá)到事半功倍的效果，促進(jìn)理實(shí)一體化教學(xué)。

從某種意義上講，Mathematica 是一個(gè)復(fù)雜的、功能強(qiáng)大的解決計(jì)算問題的工具，主要功能包括是三個(gè)方面：符號(hào)演算、數(shù)值計(jì)算和圖形。它可以自動(dòng)地完成許多復(fù)雜的計(jì)算工作。顯然，針對(duì)高職數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容，尤其是涉及有關(guān)微積分方面的知識(shí)，通過Mathematica 三大功能，幾乎很多問題都能很輕易解決，這是筆者選用它進(jìn)行課程改革的主要原因。

3 啟用數(shù)學(xué)軟件教學(xué)模式

本文就一元微積分主要內(nèi)容引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用后，探討兩種教學(xué)模式的優(yōu)劣。傳統(tǒng)的教學(xué)模式是：數(shù)學(xué)概念的背景→定義→幾何意義→推導(dǎo)公式或介紹相關(guān)定理→性質(zhì)→例題→作業(yè)等。

筆者的總體思路在于講解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念來源，類似的問題拿來，用數(shù)學(xué)軟件直接解決，省去若干繁瑣的中間步驟，得到期望的結(jié)果。這和過去秀水街賣衣服的小販，雖然自身文化水平很低，小學(xué)沒畢業(yè)，有的還沒上過學(xué)，口算心算很困難，但能用簡(jiǎn)易計(jì)算器不耽誤掙錢一個(gè)道理。某種意義下，要的是結(jié)果，不注重過程，有些情況下，過程其實(shí)已經(jīng)不再重要。

傳統(tǒng)的教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)的是中間過程（背景、定義、定理等，注重邏輯推理等），當(dāng)然對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)要求較高，但不同的教學(xué)對(duì)象應(yīng)采用不同的教學(xué)思路。今天的學(xué)生是不同層次的高職學(xué)生，采用的教學(xué)模式應(yīng)該有很強(qiáng)的針對(duì)性，尤其是對(duì)基礎(chǔ)差的高職學(xué)生，省去理論上的若干環(huán)節(jié)，用數(shù)學(xué)軟件直接得到相應(yīng)的結(jié)果，在筆者看來，不失為一種高效的方法。當(dāng)然，對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生，附加上相應(yīng)的理論升級(jí)教學(xué)方法。

下面就用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 來講解一元微積分涉及的主要內(nèi)容。一元微積分涵蓋的教學(xué)內(nèi)容包括函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用。在使用Mathematica 軟件的環(huán)境下，由于篇幅所限，將相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容（極限、不定積分）及后面章節(jié)基礎(chǔ)會(huì)用到的內(nèi)容（導(dǎo)數(shù)與微分）略去。

總體思路：介紹簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)概念→數(shù)學(xué)軟件使用→軟件求解結(jié)果。

圖中涉及的Mathematica 操作命令有定義函數(shù)、作圖、求導(dǎo)數(shù)、求解方程、化簡(jiǎn)、求積分、求面積、有關(guān)分析等。實(shí)際操作過程中，可根據(jù)需要選擇相關(guān)命令，有些命令順序相關(guān)性不大。格式除本文介紹的以外，詳見有關(guān)書籍或Mathematica 軟件幫助。

案例1：函數(shù)及函數(shù)作圖（見圖1）。

案例2：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（見圖2 及圖3）。

案例3：定積分及定積分應(yīng)用（見圖4）。

以上用Mathematica 的解法描述了一元微積分的主要內(nèi)容，可從實(shí)際案例體會(huì)授課方式上帶來的變化，再與理論教學(xué)對(duì)比這些案例。

4 數(shù)學(xué)理論課與實(shí)驗(yàn)課的結(jié)合方式

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課主要有三種形式：集中培訓(xùn)、與理論課同步進(jìn)行（理實(shí)一體化）、先培訓(xùn)Mathematica 基礎(chǔ)后再與理論課同步進(jìn)行。

1）集中培訓(xùn)。由于這種形式需要某一集中時(shí)間段，不能及時(shí)反映數(shù)學(xué)理論課的教學(xué)內(nèi)容，從而使得教學(xué)中常常僅涉及數(shù)學(xué)軟件本身，因而達(dá)不到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課所應(yīng)起到的作用。

2）數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)理論課同步進(jìn)行。從理論上講，可使數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)隨時(shí)有數(shù)學(xué)軟件的幫助，但軟件的操作要占用相當(dāng)?shù)臅r(shí)間，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課要用機(jī)房，上機(jī)時(shí)間必須固定，硬件環(huán)境不夠的學(xué)校會(huì)有些問題。課時(shí)安排（1:1）或（1:2），先理論后實(shí)驗(yàn)，安排不當(dāng)有間隔，可能會(huì)使得理論課與實(shí)驗(yàn)課脫節(jié)。

3）軟件基礎(chǔ)先行。在入學(xué)后進(jìn)行集中培訓(xùn)，講述基本的軟件操作規(guī)則，理論課教學(xué)中再根據(jù)內(nèi)容隨時(shí)補(bǔ)充，并伴有機(jī)房開放時(shí)間內(nèi)的（學(xué)生自己的）隨時(shí)練習(xí)和輔助學(xué)習(xí)，應(yīng)該更能發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件對(duì)數(shù)學(xué)理論課教學(xué)的輔助作用。

另外，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課應(yīng)不排除與專業(yè)課結(jié)合，形成一種結(jié)合專業(yè)應(yīng)用而進(jìn)行的數(shù)學(xué)應(yīng)用課程設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

綜上所述，本文以Mathematica 作為軟件工具，結(jié)合一元微積分的數(shù)學(xué)內(nèi)容，用數(shù)學(xué)軟件求解來組織教學(xué)內(nèi)容，省略了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)理論上難懂的過程，定義、定理、性質(zhì)等推導(dǎo)過程，直接用數(shù)學(xué)軟件解題，讓問題變得簡(jiǎn)單化，在學(xué)生能夠體會(huì)的計(jì)算機(jī)環(huán)境下，應(yīng)用軟件解決問題。這里推薦采用“案例教學(xué)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法講解知識(shí)與訓(xùn)練技能，適用于理論、實(shí)踐一體化教學(xué)，以此Mathematica為基礎(chǔ)，為將來問題的提出、解決或后面各門課程講解打下一定的基礎(chǔ)?？梢灶A(yù)見，通過計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算、圖形功能和方便的數(shù)學(xué)軟件，使學(xué)生可以自由地選擇算法和軟件，在屏幕上通過數(shù)值的、幾何的觀察、聯(lián)想、類比，去發(fā)現(xiàn)線索，探討規(guī)律，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣，為他們的成長(zhǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為學(xué)校的課程改革提供一種可行的模式。

[1]孫平，張忠毅，范廣玲.高等數(shù)學(xué)及其實(shí)驗(yàn)[M].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社，2013.

[2]黃毓先.高職數(shù)學(xué)教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用方案探析[M].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2015(10):133-136.